Trang chủ

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

K-lý thuyết Milnor

01-09-2022

Gửi bởi bangbang1412 trong Toán học hiện đại

Trong topic này mình muốn giới thiệu về K-lý thuyết Milnor (Milnor's K-theory) và kết nối nó với một số lý thuyết đối đồng điều như đối đồng điều Galois, nhóm Bloch-Chow, đối đồng điều motivic. Về mặt lịch sử, ban đầu K-lý thuyết đại số (algebraic K-theory) chỉ định nghĩa được cho $K_0,K_1,K_2$ (Grothendieck định nghĩa $K_0$) và các tính toán trên các nhóm này đã rất phức tạp rồi, về sau K-lý thuyết đại số chỉ được định nghĩa và nghiên cứu một cách có hệ thống từ sau Quillen khi ông đưa lý thuyết đồng luân vào các context khác của toán học. Trước đó một định lý của Matsumoto cho ta mô tả $K_2$ cụ thể dưới dạng phần tử sinh và quan hệ, Milnor dựa trên định nghĩa này đưa ra một định nghĩa ad-hoc cho một K-lý thuyết khác, gọi là K-lý thuyết Milnor, nó chứa một phần thông tin của K-lý thuyết đại số (theo nghĩa Quillen + cổ điển) theo nghĩa sau khi tensor với $\mathbb{Q}$ nó được nhúng vào $K$-lý thuyết đại số. Để thuận tiện cho người đọc, mình sẽ định nghĩa lại một số nhóm cổ điển $K_0,K_1,K_2$ và một số tính chất cơ bản (không chứng minh). Nhóm K_0 Cố định một vành $R$ (giao hoán có đơn vị). Nhắc lại rằng một module xạ ảnh là một hạng tử trực tiếp của một module tự do nào đó. Định nghĩa. Nhóm $K_0(R)$ được định nghĩa bởi công thức sau$$K_0(R) = \bigoplus \mathbb{Z}[P]/\sim,$$trong đó tổng trực tiếp lấy trên lớp đẳng cấu các $R$-module xạ ảnh hữu hạn sinh, quan hệ $\sim$ được cho bởi $[P] + [Q] = [P \oplus Q]$. Ta cũng có thể trang bị cho $K_0(R)$ một cấu t...

Ghi chú về đối đồng điều động lực

26-08-2022

Gửi bởi bangbang1412 trong Toán học hiện đại

Gửi mọi người một self-study note của mình về đối đồng điều động lực (motivic cohomology) phát triển bởi Voevodsky. Đối đồng điều động lực được dự đoán tồn tại bởi Beillinson, cụ thể, ông dự đoán tồn tại một phức $\mathbb{Z}(n)$ sao cho hypercohomology trên Zariski site này cho ta một đối đồng điều $H^{*,n}(X,\mathbb{Z})=\mathbb{H}_{Zar}^*(X,\mathbb{Z}(n))$ mà khi hạn chế tại một số bậc đặc biệt ta thu được K-lý thuyết Milnor, nhóm Bloch-Chow bậc cao và đồng thời có một dãy phổ hội tụ về K-lý thuyết Quillen sao cho sau khi tensor với $\mathbb{Q}$ dãy phổ này suy biến về $\gamma$-lọc của K-lý thuyết Quillen. Nổi tiếng hơn, giả thuyết Bloch-Kato-Milnor dự đoán tồn tại một đẳng cấu $K^M_*(F)/l \simeq H^*_{et}(F,\mu_l^{\otimes *})$ trong đó $F$ là một trường, $l$ nguyên tố sao cho $1/l \in F$ được Voevodsky chứng minh tương đương với giả thuyết Beillinson-Lichtembaum $H^{p,q}(X,\mathbb{Z}/l) \simeq H^p_{et}(X,\mu_l^{\otimes q})$. Voevodsky sau đó đã được huy chương Fields vì chứng minh trọn vẹn giả thuyết Bloch-Kato bằng cách xây dựng một lớp đa tạp dựa trên công trình của Rost. Với mình đây là thành công đầu tiên hướng tới lý thuyết motive của Grothendieck vì giả thuyết Bloch-Kato đã kết nối hai loại bất biến: transcendental (nhóm Chow) và arithmetic (đối đồng điều etale). Đối đồng điều động lực tới nay có rất nhiều cách xây dựng, có thể kể đến: Như hypercohomology trên Zarikis hoặc Nisnevich site. Như nhóm Bloch-Chow bậc cao. Như hom-set trong phạm trù motive hình học $...

Ngày hội toán học: Số nguyên tố và giải thưởng Fields

11-08-2022

Gửi bởi Nesbit trong Lịch sử toán học

[Nhân có bạn nhắc đến giả thuyết về các số nguyên tố sinh đôi, xin chia sẻ một bài viết gần đây của GS. Vũ Hà Văn viết trên blog vào dịp James Maynard nhận được Huy chương Fields năm nay. Giọng văn của giáo sư vẫn hài hước như mọi khi, đặc biệt là phần chốt hạ bằng hai câu thơ lục bát.] Nhà toán học thứ hai được giải Fields năm nay là anh J. Maynard, vỡi những công trình về số nguyên tố. Số nguyên tố có lẽ là một trong những chủ đề lâu đời nhất và được chú ý tới nhất trong toán học. Các nhà hiền triết Hy lập đáng kính đã nguyên cứu về nó, từ trước khi chúa Jesu ra đời. Rất có thể là trước cả khi Mỵ nương cưới Sơn tinh. Số nguyên tố là những số nguyên dương chỉ chia hết đươc cho chính nó. Ví dụ như 5; 6 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29, 31, 37….Số 1, thấp cổ bé họng, không được vào hội. Thật ra lý do sâu xa hơn là vì một định lý, xưa như quả đất, là tất cả các số nguyên dương đều có thể viết dưới dạng tích của một số nguyên tố, ví dụ như 6=2 nhân 3. Ai cũng biết là nhân với 1 thì chả thêm vị gì, nên chàng đã bị loại. Từ thời Napoleon, người ta đã biết là có vô hạn số nguyên tố. Tức cái dãy 2,3,5…ở trên nó sẽ kéo dài vô hạn. Một trong những câu hỏi nổi tiếng và trung tâm nhất của toán học, là cái sự kéo dài đó nó diễn ra như thế nào. Chẳng hạn bạn thấy ở trên có tới 8 số nguyên tố giưã 1 và 20, nhưng giữa 21 và 40 chỉ còn 4 số. Tức tần suất xuất hiện của số nguyên tố ngày một giảm đi. Cũng như số lần...

IMO 2022: Việt Nam giành được 2 HCV, 2 HCB, 2 HCĐ, xếp thứ 4 toàn đoàn

15-07-2022

Gửi bởi Nesbit trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Kì thi lần này đội tuyển chúng ta xếp thứ 4, sau Trung Quốc, Hàn Quốc, và Mỹ. Đây là thành tích rất cao. Thành tích cá nhân của đội Việt Nam như sau: Em Ngô Quý Đăng là một trong 10 thí sinh giành được điểm tuyệt đối 42/42. Đây cũng là HCV thứ hai của em (HCV đầu tiên giành được năm 2020 lúc đang học lớp 10 , rất tiếc là năm 2021 lại rớt vòng TST).

IMO 2022

12-07-2022

Gửi bởi hoangvipmessi97 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Ngày thi thứ nhấtBài 1: Ngân hàng Oslo có phát hành hai loại tiền xu: đồng vàng (kí hiệu bởi A) và đồng bạc (kí hiệu bởi B). Mai có $n$ đồng vàng và $n$ đồng bạc được sắp xếp thành một dãy tùy ý. Một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp thuộc cùng một loại được gọi là một chuỗi. Với số nguyên dương cố định $k \leq 2n$, Mai thực hiện liên tiếp các bước chuyển như sau: cô ta xác định chuỗi dài nhất có chứa đồng xu thứ $k$ từ bên trái và chuyển tất cả các đồng xu của chuỗi này về phía trái của hàng. Ví dụ, nếu $n=4$ và $k=4$, bắt đầu với cách xếp AABBBABA, quá trình thực hiện các bước chuyển như sau:AABBBABA $\rightarrow$ BBBAAABA $\rightarrow$ AAABBBBA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ ...Xác định tất cả các cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mọi cách sắp xếp ban đầu, đến một lúc nào đó trong quá trình thực hiện các bước chuyển, $n$ đồng xu ở bên trái của hàng sẽ thuộc cùng một loại. Bài 2: Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{R}^+$ có đúng một giá trị $y \in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn$xf(y)+yf(x) \leq 2$. Bài 3: Cho $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Mi muốn xếp các phần tử của $S$ quanh một vòng tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kì có thể biểu diễn được dưới dạng $x^2 + x + k$ với $x$ nguyên dương nào đó. Biết rằng, hai cách xếp nhận được từ nhau qua phép quay và phép phản...

Định lý phân loại mặt đóng

09-07-2022

Gửi bởi nmlinh16 trong Toán học hiện đại

Gửi các thành viên trên diễn đàn ghi chú của mình về định lý phân loại mặt đóng, một định lý cơ bản của tô pô. Học sinh phổ thông có thể đọc được ghi chú này.https://drive.google...iew?usp=sharing

SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL

06-07-2022

Gửi bởi E. Galois trong Dành cho giáo viên các cấp

SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL

Huy chương Fields 2022

05-07-2022

Gửi bởi Nesbit trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Ngày 05/07/2022, Hội Toán học Thế giới đã trao Huy chương Fields 2022 cho bốn nhà Toán học: Hugo Duminil-Copin (Pháp), June Huh (Hàn Quốc, Mỹ), James Maynard (Anh), và Maryna Viazovska (Ukraina). Buổi lễ trao giải được diễn ra tại Đại học Aalto (thành phố Helsinki, thủ đô của Phần Lan), và được live stream trực tiếp. Thông tin về giải thưởng: https://www.mathunio...lds-medals-2022. Photo credit: Twitter.

Đại hội Toán học Thế giới 2022 đã mở đăng ký (miễn phí)

21-06-2022

Gửi bởi Nesbit trong Hội thảo, Hội nghị, Seminar

ICM 2022 sẽ diễn ra vào ngày 6-14 tháng 7 năm 2022 dưới hình thức virtual conference. Lúc đầu ICM 2022 được dự định tổ chức tại thành phố Saint Petersburg của Nga, nhưng chỉ hai ngày sau khi Nga xâm lược Ukraine (24/02) thì Hội Toán học Thế giới đã ra thông báo tổ chức ICM online, và hoàn toàn miễn phí. Các bạn có thể đăng ký tại đây: https://www.mathunio...rtual-icm-2022 Cảm ơn Nxb đã chia sẻ thông tin. Thảo luận tại đây: https://diendantoanh...90876-icm-2022/

Giáo sư Ngô Việt Trung đoạt giải thưởng Tạ Quang Bửu năm 2022

12-05-2022

Gửi bởi Nxb trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Bài viết của giáo sư Hoa về giáo sư Trung. Qui luật và ngẫu nhiên Như các ngành khoa học khác, một trong những vấn đề trung tâm trong Toán học là đi tìm một hoặc một vài tính chất chung trong số vô vàn những đối tượng có vẻ rất khác nhau. Chẳng hạn, có vô số vòng tròn lớn nhỏ. Ngoài chuyện hình dáng trông giống giống nhau, có vẻ chúng chẳng có gì chung. Ấy thế mà từ lâu loài người đã đoán định rằng tỷ số giữa chu vi và đường kính là như nhau ở tất cả các đường tròn. Mãi đến khi khái niệm giới hạn xuất hiện ở thế kỷ thứ 16 thì điều đoán định đó mới được chứng minh chặt chẽ, và tên gọi số pi cũng như ký hiệu π mới xuất hiện. Việc tìm ra số π chính là đã khám phá ra một qui luật. Giáo sư Ngô Việt Trung. Oái ăm thay, tỷ số π này lại là một số không thể tính chính xác được! Cho đến hiện nay, người ta cũng không biết được các chữ số thập phân của p có xuất hiện theo một qui luật nào không, hay hoàn toàn ngẫu nhiên (theo nghĩa ta không đoán trước được cho đến khi tìm ra nó)? Qua ví dụ tưởng như đơn giản là số π, ta có thể hiểu được, việc tìm ra qui luật nhiều khi khó khăn và tốn thời gian như thế nào! Một ví dụ cao cấp hơn là việc giải hệ phương trình đa thức (với hệ số trên một trường). Trong trường hợp một biến, sinh viên Toán năm thứ nhất dễ dàng chứng tỏ được dù hệ có rất nhiều, thậm chí vô số phương trình, thì cũng có thể quy về giải mộtphương trình mà thôi. Điều đó không còn đúng khi số biến từ 2 trở lên. Tuy nhiên, vào...