PHẠM TRÙ VÔ CỰC Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.  Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Ta có thể giải thích đơn giản ý nghĩa của các đối tượng này: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các $X, Y$ liên thông đường) nên chúng có thể được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô.  Ta có thể tổ chức lại không gian tô pô $X$ thành phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ và định nghĩa các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ như là các đối tượng gắn với phạm trù $\pi_{\leq 1}(X) .$ Phạm trù này được định nghĩa như sau:   (a) Các vật là các điểm của $X$;    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng, ta có...

Đối đồng điều (cohomology) nói nôm na là công cụ để đo các cản trở (obstruction) khi ta cố gắng làm gì đó. Ta không thể làm được một điều gì đó nếu đối đồng điều tương ứng là khác 0. Lý thuyết đối đồng điều là lý thuyết nghiên cứu về các cản trở. Chủ đề này sẽ bắt đầu với đối đồng điều nhóm. Hi vọng mọi người có thể đóng góp thêm các ví dụ khác. 1. Giới thiệu về $\text{H}^1$ Ta cho $G$ là một nhóm. Nhắc lại rằng nếu $A$ là một nhóm thì một tác động (action) của $G$ trên $A$ bởi các tự đẳng cấu nhóm là một đồng cấu $\rho: G \to \text{Aut}(A)$. Với $g \in G$ và $a \in A$, ta sẽ ký hiệu ${}^g a$ thay cho $\rho(g)(a)$ nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy ta có các công thức $${}^g(^h a) = {}^{gh}a,$$ $${}^1 a = a $$ $${}^g(ab) = {}^g a {}^g b$$ với mọi $g,h \in G$ và $a,b \in A$. Chẳng hạn, ta luôn có thể xét tác động liên hợp của $G$ lên chính nó (hay nói cách khác là tác động bởi các tự đẳng cấu trong), cho bởi $${}^g a := gag^{-1}$$ với mọi $g,a \in G$.Một nhóm được trang bị một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm được gọi là một $G$-nhóm. Một đồng cấu nhóm $f: A \to B$ giữa hai $G$-nhóm được gọi là $G$-đẳng biến ($G$-equivariant) nếu nó tương thích với tác động của $G$ trên $A$ và trên $B$, nghĩa là $$f({}^ga) = {}^g f(a)$$ với mọi $g \in G$ và $a \in A$. Khi $A$ là một $G$-nhóm, ta có một nhóm con tự nhiên của $A$ là $$A^G:=\{a \in A: \forall g \in G,\,{}^g a = a\},$$ nó được gọi là nhóm con bất biến (invariant subgroup) của $A$ bởi $G$. Nhóm này c...

Xin chào mọi người, mình làm post này với mục đích tổng hợp các bài toán hay về phương trình nghiệm nguyên, phục vụ cho kỳ thi VMO-TST của các trường sắp tới, hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.( nếu 2 ngày ko ai sol thì mình đăng sol luôn nhé : )) để ôn tập luôn ạ )Các mảng kiến thức có thể sẽ cần thiết trong quá trình giải toán UCLN,BCNN và thuật toán chia EuclidĐịnh lý Bezout, hệ thặng dưCác định lý đồng dư cổ điển : Fermat, Euler,WilsonThặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, JacobiĐịnh lý thặng dư Trung Hoa (CRT)Hàm định giá p-adic và bổ đề LTECấp và căn nguyên thủy của một sốCác tính chất số học của hệ số nhị thứcHàm số họcMột số kỹ thuật nâng cao khác như : Vành $\displaystyle \mathbb{Z}[ i]$ các số nguyên Gauss, Bổ đề Thue, định lý Zsigmondy, định lý Dirichlet, đa thức chia đường trònBài 1. Cho $\displaystyle p,q,r$ là các số nguyên tố và $\displaystyle n$ là số tự nhiên. Tìm tất cả $\displaystyle n$ để $\displaystyle p^{n} +q^{n} =r^{2}$. ( *)Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle 3^{p} +4^{p}$ là một số chính phương(*)Bài 3. Tìm tất cả $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle n^{7} +7$ là một số chính phương (*)Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.(*)Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle x$ sao cho với số nguyên tố lẻ $\displaystyle p >3$ thì $\displaystyle \varphi...

BÀI TOÁN SẮP XẾP  Richard Walter Conway, William L. Maxwell, et Louis W. Miller. Theory of Scheduling. Dover, 2003. Chúng ta gặp những bài toán sắp xếp cực kỳ thường xuyên. Chúng xuất hiện mỗi khi chúng ta phải quyết định thực hiện các công việc theo thứ tự nào. Mỗi bài toán có thể liên quan tới một thứ khác nhau, ví dụ: lô hàng ở một nhà máy sản xuất, máy bay chờ đợi lệnh hạ cánh, khách khứa ngồi trước cửa kính ở quầy tiếp khách trong ngân hàng, chương trình để chạy trong máy tính, hay đơn giản là công việc dọn nhà chiều thứ bảy. Luận điểm của chúng tôi đó là, bất kể tính chất của một công việc cụ thể cần xác định thứ tự thực hiện, thì luôn luôn tồn tại sự tương đồng căn bản với bài toán sắp xếp. Bài toán sắp xếp rõ ràng sẽ được giải quyết, bởi vì hầu hết các công việc đều được thực hiện: máy bay hạ cánh, khách ngân hàng nhận/chuyển tiền, và chúng ta làm xong ít nhất vài việc nhà chiều thứ bảy. Tuy nhiên, đa số các bài toán này được giải theo cách ngẫu nhiên hoặc theo lề thói. Chúng ta còn không nhận ra cả sự tồn tại của bài toán đó, chứ đừng nói đến lời giải. Đôi khi, sự sắp xếp được quyết định hoàn toàn bừa bãi; nhiều lúc công việc được thực hiện theo thứ tự chúng xuất hiện. Khao khát công bằng cố hữu đã nâng cao giá trị của giải pháp "tới trước làm trước" (first-come, first-served) trong các bài toán sắp xếp tới một mức độ vô cùng bất xứng với hiệu năng vốn có của nó. Giải pháp ấy có thể thích hợp với những ông chủ bán vé xem phim, song không hẳn sẽ áp dụng...

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-202222/09/2021Bài 1. (5 điểm) Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$ Bài 2. (5 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên. Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $K,L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $AC,AB$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(AHK)$ tại $M$ khác $K$. Đường thẳng $BL$ cắt đường tròn $(AHL)$ tại $N$ khác $L$. $HM$ cắt $AC$ tại $E$ và $HN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$.a) Chứng minh rằng tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAM$.b) Chứng minh rằng đường thẳng $HD$ vuông góc với đường thẳng $OA$. Bài 4. (5 điểm)An và Bình cùng chơi trò chơi với ba đống sỏi, mỗi đống có một số viên sỏi, Mục tiêu của hai người chơi là chiếm lấy viên sỏi cuối cùng và giành chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, An là người chơi trư...

Đề thi IMO 2021 (Bản tiếng Việt) Ngày thứ nhất:Câu 1: Cho $n\geq 100$. Toshi viết mỗi số $n,n+1,n+2,...,2n$ lên một thẻ khác nhau. Anh ta tráo $n+1$ tấm thẻ này và chia làm 2 phần. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phần có chứa 2 tấm thẻ với tổng của hai số trên đó là một số chính phương. Câu 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Câu 3: Cho điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao $\angle DAB = \angle CAD$. $E$ nằm trên đoạn thẳng$AC$ sao cho $\angle ADE=\angle BCD$, điểm F nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\angle FDA=\angle DBC$ và điểm $X$ nằm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BX=CX$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, $EXD$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,EF$ và $O_1O_2$ đồng quy. Ngày thứ 2:Câu 4: Cho đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$, và tứ giác lồi $ABCD$ sao cho mỗi đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Tia $BA$ cắt $\Omega$ tại $X$ (không thuộc đoạn thẳng $BA$), tia $BC$ cắt $\Omega$ tại $Z$ (không thuộc đoạn thẳng $BC$). Tia $AD$ và $CD$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ (không thuộc đoạn thẳng $AD$) và $T$ (không thuộc đoạn thẳng $CD$). Chứng minh rằng: $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$ Câu 5: Hai chú sóc, Grace và Jumpy, đi nhặt $2021$ hạt dẻ cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt dẻ từ $1$ đến $2021$,...

Gon-ichi, cha của Kunihiko, từng học ngành nông nghiệp và chính trị ở Tokyo Imperial University, trong thời gian sinh con trai, ông làm việc ở Bộ Nông nghiệp. Ông thôi việc ở Bộ Nông nghiệp năm 1939 và được bầu vào Nghị viện Nhật Bản, nơi ông phục vụ xuyên suốt Thế chiến II. Sau khi Nhật Bản bị đánh bại, phe đồng minh cách chức ông. Ngoài những hoạt động đó, ông có viết khoảng 40 cuốn sách chuyên môn và 350 bài báo chuyên môn. Ichi, mẹ của Kunihiko, là con gái của hiệu trưởng Kyuji Kanai. Kunihiko là con cả trong gia đình, có một người em trai tên là Nobuhiko (sinh năm 1919). Kunihiko vào học cấp hai năm 1921 nhưng những năm đó chẳng dễ dàng gì cho ông. Ông khá nhút nhát và thường nói lắp, đặc biệt là khi chịu áp lực. Ông không phải tuýp người thể thao, vì vậy, ông vô cùng ghét lớp học thể dục. Trong tự truyện của mình, ông kể rằng ông từng là học sinh yếu kém ở trường tiểu học, mặc dù nhìn chung ông là người khiêm tốn, nhưng có lẽ ông thực sư không có gì tỏa sáng trong giai đoạn này. Mặc dù vậy, ông có niềm đam mê với những con số từ khi còn rất nhỏ, thích đếm những hạt đậu, năm mười tuổi ông cố kiểm chứng xem chó có biết đếm không. Khi chú chó đẻ chó con, ông đã giấu chúng đi và chờ cho chó mẹ bực bội đi tìm chúng cho đến khi ông trả chúng lại. Thế nhưng khi ông giấu một vài con chó con đi, chó mẹ dường như vẫn hạnh phúc với những chú chó con lại, vì vậy Kunihiko năm mười tuổi đã đi đến kết luận: chó không biết đếm. Gon-ichi, cha của Kunihiko, đã ở Đức vào những năm...

Bài viết giới thiệu về lý thuyết đơn hình (simplicial theory), một lý thuyết "tổ hợp" của tôpô đại số. Kí hiệu $\mathbf{Top},\mathbf{Sets},\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các không gian tôpô, phạm trù các tâp hợp, phạm trù các nhóm abel. Giới thiệuH. Poincaré lần đầu định nghĩa đồng điều theo nghĩa tam giác phân một không gian và thực hiện các tính toán tổ hợp với định nghĩa này. Tuy nhiên cách định nghĩa này không hiệu quả ở điểm nó cần chứng minh các cách tam giác phân đều cho ta một nhóm đồng điều. Tiếp đó, không phải mọi không gian đều có thể tam giác phân. Sau này, các định nghĩa trừu tượng cho phép ta hiểu một tam giác là một ánh xạ liên tục $\left |\Delta^n \right| \to X$, trong đó $\left |\Delta^n \right|^n$ định nghĩa bởi\begin{equation} \left|\Delta^n \right|=\left \{ (x_0,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \in [0,1], x_0 + \cdots + x_n = 1 \right \}.\end{equation}Các ánh xạ này cho ta một họ \begin{equation} \mathrm{Sing}(X)_n = \left \{ \sigma: \left|\Delta^n \right| \to X \mid \sigma \ \text{liên tục} \ \right\}. \end{equation} Tuy nhiên các tập $\mathrm{Sing}(X)_n$ không đứng riêng lẻ do bản thân các đơn hình hình học $\left|\Delta^n \right|$ có liên hệ với nhau, ví dụ một tam giác sẽ có ba đỉnh. Ngoài ra, do tính affine ta hoàn toàn có thể đồng nhất các đơn hình hình học với các đỉnh của nó. Ví dụ $\left|\Delta^n \right|$ có $(n+1)$-đỉnh $v_0,...,v_n$ ($v_i$ có tất cả các vị trí là $0$ ngoài $1$ ở vị trí $i$) có thể đồng nhất với tập $\left \{0,1...

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên không gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại. 1. "Hàm" và "điểm" Trước khi đến với nội dung chính, ta bắt đầu một phiên bản baby của định lý biểu diễn Gelfand-Naimark. Nếu $A$ là một vành (giao hoán và có đơn vị), ta ký hiệu $\text{Spm}(A)$ là phổ cực đại của $A$, tức là tập hợp tất cả các ideal cực đại của $A$. Trên tập hợp này có một tô-pô được gọi là tô-pô Zariski, trong đó các tập đóng là các tập hợp $$V(I):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): I \subseteq \mathfrak{m}\},$$ trong đó $I$ là một ideal nào đó của $A$. Thật vậy, $\varnothing = V((1))$, $\text{Spm}(A) = V((0))$, $V(I) \cup V(J) = V(IJ)$ và $\bigcap_i V(I_i) = V\left(\sum_i I_i\right)$. Tô-pô này sinh bởi các tập mở có dạng $$D(f):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): f \notin \mathfrak{m}\},$$ với $f \in A$, được gọi là các tập mở chính. Như vậy, ta có thể coi các phần tử của $A$ như các hàm trên không gian tô-pô $\text{Spm}(A)$. Các ideal cực đại của $A$ chính là các điểm. Việc tính giá trị của một hàm $f$ tại một điểm $\mathfrak{m}$ chính là việc tính $f \mod \mathfrak{m}$, đó là một phần tử của trường thặng dư $A / \mathfrak{m}$. Như vậy, hàm $f$ nhận giá trị trong một trường biến thiên theo từng đ...

Câu chuyện về "các giả thuyết Weil" là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm $(1923-1973)$. I. Số nghiệm của phương trình đồng dư Như mọi vấn đề trong lý thuyết số, câu chuyện bắt đầu từ Gauss. Trong công trình về luật thuận nghịch bình phương của mình, Gauss đưa ra công thức tổng Gauss $\sum_{s=0}^p \mathrm{exp}\left({\frac{2\pi i x^2}{p}}\right)$ với $p$ nguyên tố; để tính các tổng này, bằng một số lập luận sơ cấp, ông suy ra cần tính số nghiệm của các phương trình đồng dư$$(1) \ \ \ ax^3 - by^3 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ ax^4 - by^4 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ y^2 \equiv ax^4 - 1 \ (\mathrm{mod} \ p),$$trong đó $a,b$ là các số nguyên cố định không chia hết cho $p$, nghiệm $(x,y)$ được xét theo đồng như modulo $p$, như vậy thực chất ta đi đếm số nghiệm trong $\mathbb{F}_p$ - trường $p$ phần tử; chúng ta đi tìm một biểu diễn asymptotic (dưới dạng một hàm đơn giản của $p$) với $p$ chạy trên một tập vô hạn các số nguyên tố. Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, bằng các tính chất cơ bản của tổng Gauss, ta có thể thu được một đánh giá tốt về số nghiệm trong các trường hợp tổng quát hơn, ở đó các phương pháp sơ cấp khó khả thi. Jacobi sau này gần như không có nhiều tiến triển trong vấn đề này cho tới khi Hardy và L...