Dãy số - Giới hạn

Chú ý  Dãy số-Giới hạn Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

Bắt đầu bởi dark templar, 10-03-2013   tuyển tập-sưu tầm.

• 1
• 2
• 3
• 5 →

Chú ý  Chuyên đề thú vị về giới hạn dãy số

Chú ý  Dãy số và giới hạn trong các kì thi HSG

• 1
• 2

Chú ý  Topic: Các bài toán về dãy số.

Chú ý  Các bài toán chưa có lời giải trong box Dãy số-Giới hạn.

CMR nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_{n}=a$ thì $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}=a$

Bắt đầu bởi Explorer, 22-09-2023   dãy số, giới hạn và .

$(k+1)x_{k+2}=\alpha x_{k+1}+(k-2022)x_{k}$

$u_1=2022; u_{n+1}=\frac{u_n}{n.u_n^2+1}$

Chứng minh rằng các số hạng ở dãy $\left ( a_{n} \right )$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

$u_{1} = 2023$ và $u_{n+1}=u_n + \dfrac{n+2023}{nu_n}, \forall n \geqslant 1.$

$\frac{b}{a} = \frac{1+a}{1+d} ; \frac{c}{b} = \frac{1+b}{1+d}$

$(u_n): u_n = \frac{4n+1}{2^n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha >0\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+12x_{n}}{3x_{n}^{2}+4} \end

Solved

$u^{\alpha}_{n}\geq u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}$ Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c> 0$ sao cho $u_{n}\geq cn \forall n$

$\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$

Solved

$(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=\frac{1}{2}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n}+1 \forall n \in\mathbb{N^{*}

$\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{x_{n}+3}{x_{n}+2}, n\geq 1 \end{cases}$

Solved

$u_{n+1}=\frac{nu_{n}}{2(n+1)}-\frac{n(2-n)}{2(n+1)\left [ (n^2+n+1)^2+1 \right ]}$

Tìm $\lim u_n$ , $\lim nu_n$

Bắt đầu bởi thanhng2k7, 09-07-2023   cesaro-stolz, lhospitale, dãy số và .

Tổng hợp các bài dãy số trong đề thi chọn hsg TP Hà Nội

$a^{\alpha}_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}, \forall n\geq 2$ Chứng minh: dãy $\left ( \frac{a_n}{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn

$\sum_{k=1}^n\left(\lfloor k\varphi\rfloor +\left\lfloor\frac{k}{\varphi+1}\right\rfloor\right)=n^2$

Bắt đầu bởi hxthanh, 19-04-2023   golden-ratio, floor function

Chứng minh rằng dãy $(\lfloor x\rfloor)_{n\in\mathbb{N}}$ sẽ không bao giờ tuần hoàn

$(a_n)\cup(b_n)=\mathbb N^*$

Bắt đầu bởi hxthanh, 16-04-2023   beatty

$\begin{cases}f(1)=1\\f(n)=f(n-\lfloor\sqrt n\rfloor)+n,\quad\forall n\ge 2 \end{cases}$

Solved

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $P$ squarefree sao cho $\sum_{j=1}^{n}a_jx_{i+Dk_j}=0,\forall i\in\mathbb{Z},D\equiv 1(mod\; P)$

$A_n=\sum_{k=0}^n \lfloor \varphi^k\rfloor$

Bắt đầu bởi hxthanh, 09-04-2023   golden-ratio, floor

$A_n=\sum_{k=2}^n \lfloor k^\varphi\rfloor$

Bắt đầu bởi hxthanh, 09-04-2023   golden-ratio, floor

Tìm $(a_m), (b_m)$ thoả $\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac{k^2}{m}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{2n^3+3n^2+a_mn+b_m}{6m}\right\rfloor$

Bắt đầu bởi hxthanh, 28-03-2023   floor, floor-function và .

Solved

Đặt $b_n=\sqrt{n}(a_n-L)$ với $L=lima_n$. Chứng minh với mọi số thực $\alpha \in [0;\frac{1}{4}]$, luôn tồn tại một dãy con của $(b_n)$