Đến nội dung


 Photo

Dẫn nhập vào lý thuyết giao

20-01-2022

Trong bài viết này, cho $K$ là một trường. Một đa tạp $X$ là một $K$-lược đồ nguyên tách được, kiểu hữu hạn (finite type), một đa tạp con $Z$ của $X$ là một nhúng đóng sao cho nó cũng là một đa tạp. Từ giả thiết $Z$ là bất khả quy do đó nó có một điểm generic ký hiệu bởi $\eta_Z$, ta ký hiệu $\mathcal{O}_{Z,X}$ để hiểu $\mathcal{O}_{\eta_Z,X}$. Ký hiệu $K(X)$ là trường hàm của $X$. [Har] để chỉ R. Hartshorne, Algebraic Geometry.[Ful] để chỉ W. Fulton, Intersection Theory, 1984. Bài viết này chủ yếu theo chương $1,2$ của [Ful] trong đó mình collect các ý chính và chú giải ở một số chỗ. Mục đích để mang một dẫn nhập ngắn và nguồn tham khảo cho diễn đàn. Trong bài thứ hai của topic này mình sẽ giới thiệu về các correspondences (có khá nhiều loại correspondence), nó xuất hiện trong mọi xây dựng các phạm trù motive và bài viết cuối sẽ giải thích tại sao ta lại quan tâm đến các correspondence. Chu trình đại số Định nghĩa Ta định nghĩa bậc triệt tiêu dọc theo $Z$ của một hàm hữu tỷ $r \in K(X)$ là $\mathrm{ord}_{Z}(r)=\mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,X}/(a)) - \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,W}/(b))$ nếu $r = a/b$ trong đó $a,b \in \mathcal{O}_{Z,X}$. Ví dụ. Khi $Z$ có đối chiều một trong $X$ thì $\mathcal{O}_{Z,X}$ là một DVR ta do đó ta có thể định nghĩa $\mathrm{ord}_Z(r) = v_{\eta_Z}(a)-v_{\eta_Z}(b)$ trong đó $v_{\eta_Z}$ là định giá của $\mathcal{O}_{Z,X}$. Định nghĩa Cho $X$ là một đa tạp, một $k$-chu trình...

  254 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết đại số

15-01-2022

Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền. Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước....

  729 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )

 Photo

[TOPIC] HÌNH HỌC

30-12-2021

Gửi bởi KietLW9 trong Hình học
Chào các bạn! Hôm nay mình sẽ lập ra một topic hình học, cũng không hẳn là topic, đây đơn giản chỉ là những bài hình mình đã làm và cảm thấy hay nên đăng lên cho các bạn thảo luận. Nếu bạn nào thấy hay và thú vị thì gửi lời giải lên để các bạn cùng tham khảo nhé, còn nếu dễ quá thì các bạn nói hướng cũng được để topic được sôi nổi nhé. Nếu không ai trả lời thì mình sẽ đăng giải. Coi như đây là một trang tổng hợp các bài hình. Tất nhiên trong đây vẫn có một số bài mình đã không có lời giải từ lâu đăng lên cho các bạn suy nghĩ!   Mình thì không giỏi hình lắm nên có gì các bạn góp ý nhé!Mở hàng nha  Bài 1: Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. $X$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $Y$ là một điểm di động trên $AX$. Đường tròn tâm $Z$ đường kính $AY$ cắt $AC,AB$ tại $I,J$. Đường tròn $(AIJ)$ cắt $(O)$ tại $L$. $K$ là giao điểm của $BI$ và $CJ$. Chứng minh $L,Y,K$ thẳng hàng

  2308 Lượt xem · 49 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi huhuhuhu )

 Photo

Vấn đề Hilbert thứ 21

17-12-2021

Vấn đề Hilbert thứ 21 dự đoán sự tồn tại của một hệ phương trình vi phân với nhóm monodromy cho trước. Bài viết này giới thiệu sơ lược về vấn đề Hilbert thứ 21 và các khái niệm liên quan. Setting của chúng ta trong bài toán này là lấy một đường cong $X$ xạ ảnh, không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Gọi $U$ là một tập mở trong $X$ sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Ký hiệu $U^{an}$ là đa tạp phức ứng với $U$ trong nguyên lý GAGA. Trước tiên chúng ta xem xét một định nghĩa hợp lý của phương trình vi phân. Ví dụ $X = \mathbb{P}^1$ và $U \subset \mathbb{P}^1 - \left \{\infty \right \}$, khi đó một hệ phương trình vi phân được mô tả bởi$$\frac{d}{dz}\mathbf{f} = P(z) \cdot \mathbf{f},$$trong đó $P$ là một ma trận các hàm hệ số. Hệ này bao gồm lớp các phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$$$f^{(n)}= p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots +  p_1f' + p_0f,$$bằng cách lấy $P$ là ma trận$$  P(z)=  \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 &0 \\ 0 & . & 1 & 0 & 0 \\ \vdots &  & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 &  & 0 & 1\\ p_0 & p_1 & \cdots &  p_{n-2} & p_{n-1} \end{pmatrix}$$Trong trường hợp đường cong có giống cao hơn, do không có một hệ tọa độ toàn cục nên ta sẽ định nghĩa một hệ phương trình vi phân trên $U$ là một cặp $(M,\nabla)$ trong đó $M$ là một bó nhất quán tự do địa phương $M$ và một liên thông $\nabla: M \to M \otimes \Omega^{1}_{U/\mathbb{C}}$ thỏa m...

  948 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )

 Photo

Tìm hiểu về định nghĩa phạm trù vô cực

09-10-2021

Gửi bởi Nxb trong Toán học hiện đại
PHẠM TRÙ VÔ CỰC Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.  Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Ta có thể giải thích đơn giản ý nghĩa của các đối tượng này: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các $X, Y$ liên thông đường) nên chúng có thể được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô.  Ta có thể tổ chức lại không gian tô pô $X$ thành phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ và định nghĩa các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ như là các đối tượng gắn với phạm trù $\pi_{\leq 1}(X) .$ Phạm trù này được định nghĩa như sau:   (a) Các vật là các điểm của $X$;    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng, ta có...

  1606 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Nxb )

 Photo

Đối đồng điều: Lý thuyết về các cản trở

07-10-2021

Đối đồng điều (cohomology) nói nôm na là công cụ để đo các cản trở (obstruction) khi ta cố gắng làm gì đó. Ta không thể làm được một điều gì đó nếu đối đồng điều tương ứng là khác 0. Lý thuyết đối đồng điều là lý thuyết nghiên cứu về các cản trở. Chủ đề này sẽ bắt đầu với đối đồng điều nhóm. Hi vọng mọi người có thể đóng góp thêm các ví dụ khác. 1. Giới thiệu về $\text{H}^1$ Ta cho $G$ là một nhóm. Nhắc lại rằng nếu $A$ là một nhóm thì một tác động (action) của $G$ trên $A$ bởi các tự đẳng cấu nhóm là một đồng cấu $\rho: G \to \text{Aut}(A)$. Với $g \in G$ và $a \in A$, ta sẽ ký hiệu ${}^g a$ thay cho $\rho(g)(a)$ nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy ta có các công thức $${}^g(^h a) = {}^{gh}a,$$ $${}^1 a = a $$ $${}^g(ab) = {}^g a {}^g b$$ với mọi $g,h \in G$ và $a,b \in A$. Chẳng hạn, ta luôn có thể xét tác động liên hợp của $G$ lên chính nó (hay nói cách khác là tác động bởi các tự đẳng cấu trong), cho bởi $${}^g a := gag^{-1}$$ với mọi $g,a \in G$.Một nhóm được trang bị một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm được gọi là một $G$-nhóm. Một đồng cấu nhóm $f: A \to B$ giữa hai $G$-nhóm được gọi là $G$-đẳng biến ($G$-equivariant) nếu nó tương thích với tác động của $G$ trên $A$ và trên $B$, nghĩa là $$f({}^ga) = {}^g f(a)$$ với mọi $g \in G$ và $a \in A$. Khi $A$ là một $G$-nhóm, ta có một nhóm con tự nhiên của $A$ là $$A^G:=\{a \in A: \forall g \in G,\,{}^g a = a\},$$ nó được gọi là nhóm con bất biến (invariant subgroup) của $A$ bởi $G$. Nhóm này c...

  1957 Lượt xem · 6 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )

 Photo

[TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

04-10-2021

Xin chào mọi người, mình làm post này với mục đích tổng hợp các bài toán hay về phương trình nghiệm nguyên, phục vụ cho kỳ thi VMO-TST của các trường sắp tới, hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.( nếu 2 ngày ko ai sol thì mình đăng sol luôn nhé : )) để ôn tập luôn ạ )Các mảng kiến thức có thể sẽ cần thiết trong quá trình giải toán UCLN,BCNN và thuật toán chia EuclidĐịnh lý Bezout, hệ thặng dưCác định lý đồng dư cổ điển : Fermat, Euler,WilsonThặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, JacobiĐịnh lý thặng dư Trung Hoa (CRT)Hàm định giá p-adic và bổ đề LTECấp và căn nguyên thủy của một sốCác tính chất số học của hệ số nhị thứcHàm số họcMột số kỹ thuật nâng cao khác như : Vành $\displaystyle \mathbb{Z}[ i]$ các số nguyên Gauss, Bổ đề Thue, định lý Zsigmondy, định lý Dirichlet, đa thức chia đường trònBài 1. Cho $\displaystyle p,q,r$ là các số nguyên tố và $\displaystyle n$ là số tự nhiên. Tìm tất cả $\displaystyle n$ để $\displaystyle p^{n} +q^{n} =r^{2}$. ( *)Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle 3^{p} +4^{p}$ là một số chính phương(*)Bài 3. Tìm tất cả $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle n^{7} +7$ là một số chính phương (*)Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.(*)Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle x$ sao cho với số nguyên tố lẻ $\displaystyle p >3$ thì $\displaystyle \varphi...

  3190 Lượt xem · 41 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi narutosasukevjppro )

 Photo

Bài toán sắp xếp

01-10-2021

BÀI TOÁN SẮP XẾP  Richard Walter Conway, William L. Maxwell, et Louis W. Miller. Theory of Scheduling. Dover, 2003. Chúng ta gặp những bài toán sắp xếp cực kỳ thường xuyên. Chúng xuất hiện mỗi khi chúng ta phải quyết định thực hiện các công việc theo thứ tự nào. Mỗi bài toán có thể liên quan tới một thứ khác nhau, ví dụ: lô hàng ở một nhà máy sản xuất, máy bay chờ đợi lệnh hạ cánh, khách khứa ngồi trước cửa kính ở quầy tiếp khách trong ngân hàng, chương trình để chạy trong máy tính, hay đơn giản là công việc dọn nhà chiều thứ bảy. Luận điểm của chúng tôi đó là, bất kể tính chất của một công việc cụ thể cần xác định thứ tự thực hiện, thì luôn luôn tồn tại sự tương đồng căn bản với bài toán sắp xếp. Bài toán sắp xếp rõ ràng sẽ được giải quyết, bởi vì hầu hết các công việc đều được thực hiện: máy bay hạ cánh, khách ngân hàng nhận/chuyển tiền, và chúng ta làm xong ít nhất vài việc nhà chiều thứ bảy. Tuy nhiên, đa số các bài toán này được giải theo cách ngẫu nhiên hoặc theo lề thói. Chúng ta còn không nhận ra cả sự tồn tại của bài toán đó, chứ đừng nói đến lời giải. Đôi khi, sự sắp xếp được quyết định hoàn toàn bừa bãi; nhiều lúc công việc được thực hiện theo thứ tự chúng xuất hiện. Khao khát công bằng cố hữu đã nâng cao giá trị của giải pháp "tới trước làm trước" (first-come, first-served) trong các bài toán sắp xếp tới một mức độ vô cùng bất xứng với hiệu năng vốn có của nó. Giải pháp ấy có thể thích hợp với những ông chủ bán vé xem phim, song không hẳn sẽ áp dụng...

  1341 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi perfectstrong )

 Photo

Đề chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2021-2022

22-09-2021

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-202222/09/2021Bài 1. (5 điểm) Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$ Bài 2. (5 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên. Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $K,L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $AC,AB$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(AHK)$ tại $M$ khác $K$. Đường thẳng $BL$ cắt đường tròn $(AHL)$ tại $N$ khác $L$. $HM$ cắt $AC$ tại $E$ và $HN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$.a) Chứng minh rằng tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAM$.b) Chứng minh rằng đường thẳng $HD$ vuông góc với đường thẳng $OA$. Bài 4. (5 điểm)An và Bình cùng chơi trò chơi với ba đống sỏi, mỗi đống có một số viên sỏi, Mục tiêu của hai người chơi là chiếm lấy viên sỏi cuối cùng và giành chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, An là người chơi trư...

  2190 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Hoang72 )

 Photo

Đề thi IMO 2021

21-07-2021

Đề thi IMO 2021 (Bản tiếng Việt) Ngày thứ nhất:Câu 1: Cho $n\geq 100$. Toshi viết mỗi số $n,n+1,n+2,...,2n$ lên một thẻ khác nhau. Anh ta tráo $n+1$ tấm thẻ này và chia làm 2 phần. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phần có chứa 2 tấm thẻ với tổng của hai số trên đó là một số chính phương. Câu 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Câu 3: Cho điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao $\angle DAB = \angle CAD$. $E$ nằm trên đoạn thẳng$AC$ sao cho $\angle ADE=\angle BCD$, điểm F nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\angle FDA=\angle DBC$ và điểm $X$ nằm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BX=CX$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, $EXD$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,EF$ và $O_1O_2$ đồng quy. Ngày thứ 2:Câu 4: Cho đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$, và tứ giác lồi $ABCD$ sao cho mỗi đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Tia $BA$ cắt $\Omega$ tại $X$ (không thuộc đoạn thẳng $BA$), tia $BC$ cắt $\Omega$ tại $Z$ (không thuộc đoạn thẳng $BC$). Tia $AD$ và $CD$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ (không thuộc đoạn thẳng $AD$) và $T$ (không thuộc đoạn thẳng $CD$). Chứng minh rằng: $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$ Câu 5: Hai chú sóc, Grace và Jumpy, đi nhặt $2021$ hạt dẻ cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt dẻ từ $1$ đến $2021$,...

  3621 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi pcoVietnam02 )


Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 620841 Bài viết
  • 104934 Thành viên
  • bietthunhatnam Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

1055 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

0 thành viên, 1055 khách, 0 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS