Bài viết của giáo sư Hoa về giáo sư Trung.     Qui luật và ngẫu nhiên Như các ngành khoa học khác, một trong những vấn đề trung tâm trong Toán học là đi tìm một hoặc một vài tính chất chung trong số vô vàn những đối tượng có vẻ rất khác nhau. Chẳng hạn, có vô số vòng tròn lớn nhỏ. Ngoài chuyện hình dáng trông giống giống nhau, có vẻ chúng chẳng có gì chung. Ấy thế mà từ lâu loài người đã đoán định rằng tỷ số giữa chu vi và đường kính là như nhau ở tất cả các đường tròn. Mãi đến khi khái niệm giới hạn xuất hiện ở thế kỷ thứ 16 thì điều đoán định đó mới được chứng minh chặt chẽ, và tên gọi số pi cũng như ký hiệu π mới xuất hiện. Việc tìm ra số π chính là đã khám phá ra một qui luật.    Giáo sư Ngô Việt Trung.    Oái ăm thay, tỷ số π này lại là một số không thể tính chính xác được! Cho đến hiện nay, người ta cũng không biết được các chữ số thập phân của p có xuất hiện theo một qui luật nào không, hay hoàn toàn ngẫu nhiên (theo nghĩa ta không đoán trước được cho đến khi tìm ra nó)? Qua ví dụ tưởng như đơn giản là số π, ta có thể hiểu được, việc tìm ra qui luật nhiều khi khó khăn và tốn thời gian như thế nào! Một ví dụ cao cấp hơn là việc giải hệ phương trình đa thức (với hệ số trên một trường). Trong trường hợp một biến, sinh viên Toán năm thứ nhất dễ dàng chứng tỏ được dù hệ có rất nhiều, thậm chí vô số phương trình, thì cũng có thể quy về giải mộtphương trình mà thôi. Điều đó không còn đúng khi số biến từ 2 trở lên. Tuy nhiên, vào...

Ngày thi thứ nhất (26/04/2022)Thời gian: 270 phútBài 1: Cho số thực $\alpha$ và xét hàm số $\varphi (x)=x^2 e^{ \alpha x}$ với $x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn$f( \varphi (x)+f(y))=y+ \varphi (f(x))$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ Bài 2: Cho một khối đa diện lồi $2022$ mặt. Trên ba mặt nào đó của nó, có sẵn các số $26, 4$ và $2022$ (mỗi mặt có đúng một số). Người ta muốn điền vào mỗi mặt còn lại một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng mình rằng tồn tại duy nhất một cách điền như vậy. Bài 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Xét điểm $G$ bên trong tam giác $IAB$ sao cho $\widehat{IAG} = \widehat{IBG}=45^o - \dfrac{ \widehat{AIB}}{4}$. Ký hiệu $E,F$ tương ứng là hình chiếu của $C$ lên $AG$ và của $D$ lên $BG$. Trung tuyến đỉnh $E$ của tam giác $BEF$ và trung tuyến đỉnh $F$ của tam giác $AEF$ cắt nhau tại $H$.a) Chứng minh rằng $AF, BE$ và $IH$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy đó là $L$.b) Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $CE$ và $DF$. Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $LAB$ và $M,N$ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $EIJ$ và $FIJ$. Chứng minh rằng $EM,FN$ và đường thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $GAB,KCD$ thì đồng quy.   Ngày thi thứ hai (27/04/2022)Thời gian: 270 phútBài 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp tron...

In this topic, I introduce the notion of the so-called motivic integration, which is an upgrade version of the old version, namely, the p-adic integration. The word motivic literally means the values of this integration is essentially geometric. It was introduced by M. Kontsevich in his lecture in Orsay in 1995 to solve a theorem of Bartyrev stating that two birational Calabi-Yau varieties have the same Betti numbers. Let $S$ be a scheme. By a $S$-algebraic variety, we mean a $S$-scheme of finite presentation. We denote by $\mathrm{Var}_S$ the isomorphism classes of finite presentation $S$-schemes. When $S = \mathrm{Spec}(k)$ with $k$ a field, we simply write $\mathrm{Var}_k$ instead of $\mathrm{Var}_{\mathrm{Spec}(k)}$. Jet scheme and arc space Let $X$ be a $k$-variety. Proposition 1. For $m \in \mathbb{N}$, there exists an algebraic $k$-variety $J_m(X)$ such that: \begin{equation*}   \mathrm{Hom}_k(Z \times \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), X) \simeq \mathrm{Hom}_k(Z,J_m(X)) \end{equation*} for any $k$-scheme $Z$. Proof. It is sufficient to deal with the case $X, Z$ are affine, i.e., $X = \mathrm{Spec}(R)$ and $Z = \mathrm{Spec}(A)$ for some $k$-algebra $R$ and some finitely generated $k$-algebra $R = k[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)$. \begin{equation*}   \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A) \times_k \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), \mathrm{Spec}(R))  \simeq \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A \otimes k[t]/(t^{m+1})), \ma...

Mấy hôm trước thấy trên Twitter xôn xao về việc "Jinyoung Park và Huy Pham đã giải được Giả thuyết Kahn-Kalai", một kết quả rất quan trọng trong ngành Tổ hợp và Topo (chính xác hơn là trong mảng Random Graph - Đồ thị Ngẫu nhiên). Mình thì không quá rành về lĩnh vực này, nhưng thấy có tên Việt Nam nên tò mò thử đọc thêm xem kết quả thế nào và xem Huy Pham là ai cho biết Tuy không hiểu nhiều nhưng biết được rằng kết quả này đúng là một bước đột phá trong ngành, và Huy Pham chính là em Phạm Tuấn Huy, người từng giành được hai HCV IMO các năm 2013 và 2014 (nghĩa là tận 10 năm từ khi người trước đó là anh Lê Hùng Việt Bảo đạt được thành tích này; liên tiếp ngay sau Huy thì còn có thêm hai em cũng lặp lại được thành tích). Bài báo được đăng trên arXiv: https://arxiv.org/abs/2203.17207.   Do thời gian không cho phép nên xin mượn tạm bài viết bằng tiếng anh bên dưới của Gil Kalai (đồng tác giả của giả thuyết Kahn-Kalai) để cung cấp thêm thông tin và bối cảnh cũng như các chi tiết kỹ thuật liên quan. Diễn đàn có Nxb và các anh em khác hiểu biết hơn mình nhiều, hi vọng có thể tham gia bình luận và cung cấp thêm thông tin.   Huy hiện đang làm PhD Toán ở Stanford: https://web.stanford.edu/~huypham. Ngoài hai HCV IMO thì thành tích học đại học và nghiên cứu của em ấy cũng ấn tượng không kém (thấy có làm cả về Deep Learning với một bài Oral ở ICLR). Đồng tác giả Jinyoung Park cũng có profile rất thú vị: từ giáo viên dạy Toán cấp 2 rồi qua Mỹ làm...

Các môn còn lại các bạn dowload tại link sau:Link 1https://drive.google...0EB?usp=sharing Link 2: https://drive.google...7kL?usp=sharing

Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)Thời gian làm bài: 180 phútBài 1 (5,0 điểm)Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Bài 2 (5,0 điểm)Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$ Bài 3 (5,0 điểm)Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 (5,0 điểm)Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$. Ngày thi thứ hai (05/03/2022)Thời gian: 180 phútBài 5 (6,0 điểm)Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là ha...

Gần đây mình làm thesis M2, khối lượng kiến thức chuẩn bị khá là nhiều, may là mình cũng mang trong túi một ít nhưng vẫn gặp không ít khó khăn như: chứng minh định lý này có cần thiết không, tại sao định nghĩa này lại có hình thức như vậy hoặc chỉ đơn giản là không thể nhìn thấy các khái niệm kết nối như thế nào. Thế nên mình mở topic này vừa là một bài dịch của mình trên blog của giáo sư Terry Tao và cũng là một topic thảo luận phương pháp học toán chủ yếu ở level research, topic sẽ không giới hạn các ngành học hay chủ đề, phương pháp và bất cứ ai có câu hỏi hay đóng góp về cách học có thể post vào đây. Bài dịch dưới đây lấy nguồn từ, learn and relearn your field, mình sẽ chỉ tập hợp một số bình luận mình thấy có ích. Học và học lại ngành của bạn Terence Tao: "Ngay cả những sinh viên khá tốt, khi họ tìm được lời giải của bài toán và trình bày lại nó một cách gọn gàng, họ gập sách lại và làm một điều gì khác. Làm như vậy, họ đã bỏ lỡ một giai đoạn quan trọng và có tính định hướng của công việc... Một người thầy giỏi nên hiểu và gây ấn tượng để sinh viên của ông ấy hiểu rằng không có bài toán nào có thể bị vét cạn hoàn toàn. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên và quan trọng nhất của người thầy là không được làm cho sinh viên có ấn tượng rằng các vấn đề toán học không có mấy kết nối với nhau, và hoàn toàn không có kết nối gì với những thứ khác. Chúng ta có một cơ hội tự nhiên để khảo sát lại bài toán khi ta xem lại lời giải của nó." George Polýa, Làm thế nào để giải nó....

Bất đẳng thức hướng tới kì thi chuyên toán 2021 - 2022Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=14$. Chứng minh: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \frac{8}{15}$              ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Lời giải.Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta được: $\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=(a+b+c)^2$$\Rightarrow 2a^2+3b^2+6c^2\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow 3a^2+2b^2+5c^2\geqslant 2(a+b)(c+a)$Mà $a^2+3c^2+28=a^2+3c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3a^2+2b^2+5c^2\Rightarrow a^2+3c^2+28\geqslant 2(a+b)(a+c)\Rightarrow \frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}\leqslant \frac{4(a+c)}{2(a+b)(a+c)}=\frac{2}{a+b}$Và $\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}=\frac{8a}{2a^2+a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{4}{a+b+c}\leqslant \frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$Do đó: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \left [ \frac{2}{a+b}-\frac{5}{(a+b)^2} \right ]+\left [\frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{3}{a(b+c)}  \right ] = \left [ \frac{1}{5}-5(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{5})^2 \right ]+\left [ \frac{1}{3}-3(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{1}{3})^2 \right ]\leqslant \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$Bất đẳng thức được chứng minhDấu bằng xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$

Bài toán N−Phương Hậu đã chính thức tìm lời giải cho số các vị trí hợp lệ đó là $\left ( 0.143n \right )^{n}.$Nguồn_ https://news.harvard...-chess-problem/, hi vọng sắp tới mình có thể tham gia và làm tốt hơn trong việc quảng bá hay thảo luận các vấn đề liên quan đến Toán Tổ hợp. Hơn nữa, mình mong các thành viên khác ủng hộ hết mình cho ý tưởng mọi người chung tay cải tạo lại Box Toán Tổ hợp của anh Nxb − người anh rất tâm huyết của diễn đàn.

Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền. Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước....