Có bạn nào có tài liệu về các dạng phương trình đặc biệt cho mình xin với. (phương trình không có dấu căn)   

Cuốn này này bạn.

ko bạn, mình có cả cuốn chứ ko có bản PDF

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^4 + y^4}$

Giải

Bài 2 : 

Cách 1 : Từ giả thiết

$a + b + c = 0 \Rightarrow a + c = -b; b + c = -a$

Có $A = a^{3} + b^{3} + a^{2}c + b^{2}c - abc = a^{2}(a + c)+b^{2}(b + c) - abc = -a^{2}b - ab^{2} - abc = -ab(a+b+c) = 0$

Cách 2 : Phân tích đa thức A thành nhân tử

$A = (a + b + c)(a^{2}-ab+b^{2})=0$

Mọi người làm tạm đề này đã!

ĐỀ THI SỐ 3

Bài 1: Cho:

$$A=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left ( \frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x} \right )$$

        a) Rút gọn $A$.

        b) Tìm $x$ để $A<1$

        c) Tìm $GTNN$ của $A$ khi $x>1$

 

Bài 2: Tìm $GTNN$ của

$$A=a^4-2a^3+3a^2-4a+5$$

 

Bài 3: Chứng minh BĐT:

$$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$

 

Bài 4: Tìm $GTNN$ của $A=a^3+b^3+c^3$. Biết $a\geq -1;b\geq -1;c\geq -1$ và $a+b+c=0$

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

Bài 6: Cho $\Delta{ABC}$ đều, $M$ là trung điểm của $BC$. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm $M$ sao cho $2$ cạnh $Mx,My$ luôn cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh:

      a) $DM,EM$ lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{CED}.$

      b) Chu vi $\Delta ADE$ không đổi.

     

Bài 1 :  $ĐKXĐ : x \neq 1;0$

a/ Có : $A=\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}:[\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^{2}}{x^{2}-x}]=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}:\frac{(x+1)(x-1)+x+2-x^{2}}{x(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}.\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x^{2}}{x-1}$

b/ Có : $A<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x-1}<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x+1}{x-1}<0$ . Sử dụng bảng xét dấu. Ta có : $A<1 \Leftrightarrow x < 1$

c/ Mình chịu!

Bài 2 : 

$a^{2}(a-1)^{2}+2(a-1)^{2}+3\geq 3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=1$

Bài 3 : 

Bài này giống bài bất đẳng thức ở đề 1...

TH1: $x,y$ cùng dấu

Ta có: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$(luôn đúng) 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq (2-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}=1$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y$

TH2: $x,y$ khác dấu

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3$

Vì x,y trái dấu nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq -2 \Rightarrow P\geq 4+6+3=13$

Vậy $MinP=1$

Bài 4: 

Ta có: $a\geq -1$ suy ra: $(a+1)(a-\frac{1}{2})^2\geq 0$ Hay:

$$a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}\geq 0$$

Chứng minh tương tự, có:

$$b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\geq 0$$

$$c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\geq 0$$

Cộng các vế $3$ BĐT trên lại, ta được:

$$a^3+b^3+c^3+\frac{3}{4}(a+b+c)+\frac{3}{4}\geq 0$$

Mà $a+b+c=0$ nên:

$$a^3+b^3+c^3\geq -\frac{3}{4}$$

Dấu "=" xảy ra khi trong $3$ số $a,b,c$ có $1$ số bằng $-1$, hai số bằng $\frac{1}{2}$

 

 

Bài 6 : 

a) $\Delta DBM \sim \Delta MCE (g.g)$ vì : $\left\{\begin{matrix} \widehat{B}=\widehat{C}=60^{O}\\\widehat{DMB}=\widehat{MEC} (do :\widehat{DMB}+\widehat{EMC}=\widehat{EMC}+\widehat{MEC})=120^{O} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{BD}{MC}=\frac{MD}{EM}\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{MC}{EM}$ , mà : $BM=MC(gt)$

$\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{BM}{EM} ; \widehat{ABC}=\widehat{DME}(=60^{O}) \Rightarrow \Delta DBM \sim \Delta DME (c.g.c)\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{EDM}\Rightarrow đpcm$

Tương tự với EM.

b) Đang suy nghĩ !

                                                                                        ĐỀ THI SỐ 6  

Bài 3:

      a) Giải phương trình $x^2(x^4-1)(x^2+2)+1=0$ 
      

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ biết rằng $a,b,c>0$ và $abc=1$. Và 
$A=\frac{a^2(b+c)}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}+\frac{b^2(c+a)}{c\sqrt{c}+a\sqrt{a}}+\frac{c^2(a+b)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$

 

Bài 3/a : 

Có : $x^{2}(x^{4}-1)(x^{2}+2)+1=0\Leftrightarrow x^{2}(x^{2}+1)(x^{2}-1)(x^{2}+2)=-1\Leftrightarrow (x^{4}+x^{2})(x^{4}+x^{2}-2)=-1$

Đặt : $y=x^{4}+x^{2}\geq 0$, ta có : $PT \Leftrightarrow y(y-2)+1=0 \Leftrightarrow y^{2}-2y+1=0\Leftrightarrow (y-1)^{2}=0 \Leftrightarrow y=1 \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}-1=0$

Đến đây, đặt : $t=x^{2}\geq 0$ nên $PT \Leftrightarrow t^{2}+t-1=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} (nhận)\\t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} (loại) \end{bmatrix}$

Do đó : $t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

Vậy : $x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 5 : 

Theo Bất đẳng thức Cô-si, có : 

$\sum \frac{a^{2}(b+c)}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}\geq \sum \frac{2a^{2}\sqrt{bc}}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}= 2.\sum \frac{\sqrt{a^{4}bc}}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}} = 2.\sum \frac{\sqrt{a^{3}}}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}} =2.\sum \frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}$

Đổi biến : $(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c})\rightarrow (x;y;z)$

Ta có : $A \geq 2.\sum \frac{x}{y+z} \geq 2.\frac{3}{2}=3$ (theo Bất đẳng thức Nesbit cho ba số x, y, z dương)

Vậy : $minA=3 \Leftrightarrow a=b=c=1$

*Lưu ý : $a^{2}\sqrt{bc}= \sqrt{a^{4}bc}= \sqrt{a^{3}} (do:abc=1)$

P/S  : Ngóng câu 6 đề 6 ...

Bài 4: Cho $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $AC$. Từ $C$ vẽ một đường thẳng vuông góc với tia $BM$, đường tahwngr này cắt tia $BM$ tại $D$, cắt tia $BA$ tại $E$.

       a) Chứng minh:  $EA.EB=ED.EC$ và $\widehat{EAD}=\widehat{ECB}$

       b) Cho $\widehat{BMC}=120^o$ và $S_{EAD}=36cm^2$. Tính $S_{EBC}$

       c) CMR khi $M$ di chuyển trên cạnh $AC$ thì tổng $BM.BD+CM.CA$ có giá trị không đổi.

       d) Kẻ $DH \perp BC(H\in BC)$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $BH,DH$. Chứng minh $CQ \perp PD$

 

 

a)

_ Hai tam giác vuông : $\Delta EAC \sim \Delta EDB$ (g.g) do có góc E chung. $\Rightarrow \frac{EA}{ED}=\frac{EC}{EB} \Rightarrow EA.EB=EC.ED$

_ Hai tam giác vuông : $\Delta ABM \sim \Delta DCM (g.g)$ do có : $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \frac{MA}{DM}=\frac{MB}{MC}$ 

mà : $\widehat{AMD}=\widehat{BMC}$ (đối đỉnh) nên : $\Delta AMD \sim \Delta BMC (c.g.c)$$\Rightarrow$ $\widehat{DAM}=\widehat{MBC}\Rightarrow 90^{O}-\widehat{DAM}=90^{O}-\widehat{MBC}\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{DCB}$

Mong các anh chị và các bạn trích dẫn bài viết ra khi giải và đăng ít đề lại ạ. Em nghĩ nó sẽ làm loãng topic

Lời giải:
Ta có: $\sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(a^3+b^3+c^3-2)$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(\sum a^3 -\sum ab^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+4a^b+6ab^2+3b^3)}{ab} \geq 15 \sum (a+2b)(a-b)^2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^4(2a+3b)}{ab} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c$ dương)

Vậy: Bất đẳng thức được chứng minh.
 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Nguồn: Facebook

Em ko hỉu chỗ đó anh ơi. Mong anh giải thích rõ chỗ đó dùm em 

Cho : x, y > 0 thỏa mãn : $\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}$. Chứng minh rằng : x = y

Bài đó mình kiếm trên mạng mà mình không biết lời giải  , bài gợi ý là dùng BĐT.

Bài 10 đừng dùng Bất đẳng thức thì hay hơn. Thử làm bằng cách biến đổi đi.

Còn mấy bài này là mình dạo chơi trên mạng rồi có thôi

Bài 7 : 

_ Gọi N là đa thức cần rút gọn.

_ Xét : $N = ... = \frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{4}}.\frac{b^{3}-a^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{(b^{2}+a^{2}).(a+b).(b-a)}{a^{4}b^{4}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{(b-a)(a+b)}{a^{2}b^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2b^{3}-2a^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}$

$=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(a+b)^{2}(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)+2ab(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{(b-a)(a+b)^2}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}} \Rightarrow N=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}$

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

_ Biến đổi đẳng thức  : là biến đổi các vế của đẳng thức ban đầu trở thành các vế của một đẳng thức khác bằng cách : lũy thừa, chuyển vế, ...

_ Biến đổi đồng nhất : là biến đổi phần điều kiện (nếu có) của đề bài trở thành phần mà đề bài yêu cầu bằng phép biến đổi đẳng thức.

_ Nếu trong bài toán biến đổi đồng nhất, có một đẳng thức điều kiện của bài toán thì mọi điều kiện của đẳng thức đó đc xem là điều kiện của bài toán.

Ví dụ : Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Chứng minh rằng : ab + bc + ca = 0.

Đối với bài này, ta thấy : ba số a, b, c đã có mối liên hệ thông qua đẳng thức này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Nhưng nếu để ý thì ta còn một lưu ý rất quan trọng thông qua đẳng thức này, đó chính là ĐKXĐ của đẳng thức. ĐKXĐ của đẳng thức này là $a;b;c\neq 0$. ĐKXĐ của đẳng thúc này cũng đc coi là điều kiện của đẳng thức trên. Từ đây, ta cũng nói $a;b;c\neq 0$ cũng là điều kiện của đẳng thức cần chứng minh và được phép sử dụng điều kiện này trong bài toán mà ko cần chứng minh lại.

Giải :  Nhân abc vào đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, ta có ĐPCM.

_ Các công cụ của bài toán này là các HĐT thông thường cũng như các HĐT đặc biệt sau :

1/ a³ + b³ + c³ = 3abc <=> a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

2/ Hằng đẳng thức Largrange (mình nhớ là vậy ) : (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

... cùng phép phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức, ...

Trong chủ đề này, các bài toán đôi khi sẽ có quan hệ mật thiết với nhau nên các bạn có thể sử dụng kết quả của một bài toán nào đó đã được chứng minh đề áp dụng vào bài toán mới nhưng phải trình bày rõ. Đây là một kiến thức mà theo mình là nó rất thú vị.     

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

a) (Cách khác) TỪ giả thiết :$a+b+c=0\Rightarrow a+b = -c; b+c=-a; a+c=-b \Rightarrow (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}=(-a)^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

c) Gợi ý : Có 2 cách :

+ Cách 1 : Áp dụng vế phải bài a/

+ Cách 2 : Khai thác giả thiết

Nếu ko có ai làm thì mình sẽ ... 

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Bài giải câu c) :

+ Cách 1 : Ở câu e/ Nếu khai thác tiếp VP ta sẽ có :

$VP=2(-ab-bc-ca)= 2\left [-b(a+c)-ca \right ]=2(b^{2}-ac)$

Tương tự : 

$VP=2(c^{2}-ab)=2(a^{2}-bc)$

+ Cách 2 : 

$a+b+c=0\Rightarrow (b+c)^{2}=a^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$

Tương tự, có đpcm.

Câu 4a : $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} =a^{3}+\frac{(2ab^{3}-a^{4})^{3}-(2a^{3}b-b^{4})}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{8a^{3}b^{9}-12a^{6}b^{6}+6a^{9}b^{3}-a^{12}-8a^{9}b^{3}+12a^{6}b^{6}-6a^{3}b^{9}+b^{12}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{(b^{3}-a^{3})(b^{3}+a^{3})^{3}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+b^{3}-a^{3}=b^{3}$

Bài 6 :

a/ $x+y=a+b\Rightarrow (x+y)^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow xy = ab$

Có :$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2} \Rightarrow (x-y)^{2}=(a-b)^{2}\Rightarrow x-y=a-b$ hoặc $x-y=b-a$

*Với x - y = a - b, có :

$x-y=a-b; x+y=a+b \Rightarrow x=a$ Từ đó có đpcm

*Với x-y = b-a thì ta cũng có điều tương tự

Từ đây ta có đpcm

Cách này ko tổng quát, nhưng đối với bài này thì mình áp dụng cách này

b/ Đặt ab = x; bc = y; ca=x. $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz \Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0\Rightarrow(ab+bc+ca)(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0$

* Với a²b² + b²c² + c²a² - ab²c - abc² - a²bc = 0. Ta có

$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0 \Leftrightarrow (ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}=0\Leftrightarrow a=b=c$ 

Từ đó ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8

*Với ab + bc + ca = 0 (Trường hợp này mình chưa giải đc)

Nhất là bài b đó

Cố gắng đi, bài b và cách 2 bài c là đều là những cách hay ko đó ...

Mình gửi thêm bài 5 :

a/ Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa : ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng Giá trị biểu thức : 

$P=\frac{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+cz^{2}(z-x)^{2}}$ không phụ thuộc vào x, y, z.

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

c/ Viết x, y, z đôi một khác nhau, chứng minh rằng :

$\frac{(y-z)}{(x-z)(x-y)}+\frac{(z-x)}{(y-x)(y-z)}+\frac{(x-y)}{(z-y)(z-x)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$ (Giải bằng 2 cách)

d/ Biết a³ + b³ = 3ab - 1. Tính giá trị biểu thức : A = a + b

Bài 9 :

a/ Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1) a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$2) \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Tính Giá trị biểu thức : $P=xy+yz+zx$

b/ Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1)a+b=c+d$

$2)ab+1=cd$

Chứng minh : c=d

c/ Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 đẳng thức sau :

$1)xy+x+y=3$

$2)yz+y+z=8$

$3) xz+z+x=15$

Tìm Giá trị của $P=x+y+z$

Bài 10 : Tam giác ABC có các cạnh với độ dài tương ứng là AB=c; AC=b; BC=a. Với mỗi trường hợp dưới dây thì "Tam giác ABC là tam giác gì" nếu (giải từng trường hợp) :

1/$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

3/ a³ + b³ + c³ = 3abc