Bài 232: $\begin{cases} & x^{3}(6+21y)= 1 \\ & x(y^{3}-6)= 21 \end{cases}$

Dễ thấy $x \not =0$. Ta có:

$\begin{cases} &  6+21y=\dfrac{1}{x^3} \\ &  6+\dfrac{21}{x}=y^3 \end{cases}$

Đến đây ta đc hệ đối xứng loại 2, trừ vế cho vế...

Hics có cái bài này mà em giải cách dị dễ sợ  
Bài 248 (TS chuyên toán QH) : Giải hệ : 
$\begin{cases} &\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3&\\&(x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}& \end{cases}$

ĐK: $x >0; y>0$

Từ (2) $\rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}$

Thay vào (1): $\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} \geq 2+\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=3$

Dấu "=" $\iff x=1$

$\iff y=1$

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$

$x^2+\sqrt{2x-3}-5x+5=0$

$\iff \sqrt{2x-3}-1+x^2-5x+6=0$

$\iff \dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x-3}+1}+(x-2)(x-3)=0$

$\iff (x-2)(\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+x-3)=0$

$\iff x=2$     v     $(x-3)\sqrt{2x-3}=1-x \ \ (*)$

Xét (*) bình phương với đk: $x \leq 1$

$\iff (x-3)^2(2x-3)=(1-x)^2$

$\iff (x^2-6x+7)(x-2)=0$

$\iff x=3 +\sqrt{2}(L)$   v    $x=3-\sqrt{2}$    v    $x=2 \ (L)$

Vậy $x=2$ hoặc $x=3-\sqrt{2}$ 

P/S: Cách hơi ngu và thiếu trí tuệ.

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

$\iff 13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=[2(x^2-3x+6)+3(x^2-2x+7)]^2$

Đặt $\begin{cases} &  x^2-3x+6=a \\  &  x^2-2x+7=b \end{cases}$

Ta có: $13(a^2+b^2)=(2a+3b)^2$

$\iff 13a^2+13b^2=4a^2+12ab+9b^2$

$\iff 9a^2-12ab+4b^2=0$

$\iff (3a-2b)^2=0$

$\iff 3a=2b$

$\iff 3(x^2-3x+6)=2(x^2-2x+7)$

....

Đến đây ta được pt bậc 2 đối với ẩn $x$

Bài 177:

$\begin{cases} &  x^4y+\dfrac{1}{y}+x^2-7y=0 \\  &  x^3y+x^3+x-5xy=0 \end{cases}$

Bài 317: $\begin{cases} & 8x^{3}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ & (3x+\sqrt{9x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 \end{cases}$

Dễ thấy $\sqrt{9x^2+1}-3x \not =0; \sqrt{y^2+1}-y \not = 0$ (Với mọi $x, y$)

Ta có: $(3x+\sqrt{9x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 \iff \dfrac{y+\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{9x^2+1}-3x}=1 \iff y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{9x^2+1}-3x$

TT: $\sqrt{9x^2+1}+3x=\sqrt{y^2+1}-y$

$\begin{cases} &  \sqrt{9x^2+1}+3x=\sqrt{y^2+1}-y \\  &  \sqrt{9x^2+1}-3x=y+\sqrt{y^2+1} \end{cases}$

Cộng vế với vế ta đc: $2\sqrt{9x^2+1}=2\sqrt{y^2+1} \iff \sqrt{9x^2+1}=\sqrt{y^2+1} \iff (3x-y)(3x+y)=0$

Đến đây tìm đc liên hệ giữa $x;y$ nên ta thay vào (1) rồi bình phương bình thường

Bài 359: $\begin{cases} & (x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2x^{2}+x+y+1 \\ & (x-2)\sqrt{y}+(x-1)\sqrt{y+2}=2x^{2}-8x \end{cases}$

$(1) \iff (x^2+x)\sqrt{x-y+3}=2x^2+x+y+1$

$\iff -(x^2+x)\sqrt{x-y+3}+2x^2+x+y+1=0$

Đặt $\sqrt{x-y+3}=a$, thay vào ta có:

$\iff -a^2-(x^2+x)a+2x^2+x+y+1+x-y+3=0$

$\iff -a^2-(x^2+x)a+2x^2+2x+4=0$

$\iff (a-2)(a^2+x^2+x+2)=0$

$\iff a=2$

$\iff x-y+3=4$

$\iff x-1=y$

Sau khi thế xuống phương trình (2) ta đc pt này nhưng nó ra kq khá lẻ, mong mọi người cùng làm giúp

Bài 511: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x-4\sqrt{x-1}+y-\dfrac{2y^{2}+48}{2y^{2}-1}=0 \\ \sqrt{5x+y-5}+\sqrt{1-x+y}=6 \end{matrix}\right.$$

ĐK: $x \geq 1$

Từ pt(2) $\iff 6=\dfrac{5\sqrt{5x+y-5}}{5}+\sqrt{1-x+y} \leq \dfrac{5x+y+20}{10}+\dfrac{2-x+y}{2}=\dfrac{6y+30}{10} \rightarrow y \geq 5$

$\rightarrow 2y^2-1 >0$

Ta có: 

$(1) \iff x-4\sqrt{x-1}+y-\dfrac{2y^2+48}{2y^2-1}=0$

$\iff (\sqrt{x-1}-2)^2+\dfrac{(y-3)(2y^2-1)-2y^2-48}{2y^2-1}=0$

$\iff (\sqrt{x-1}-2)^2+\dfrac{(y-5)(2y^2+2y+9)}{2y^2-1}=0$

Mà $y \geq 5$ nên dấu đẳng thức xảy ra khi: $\sqrt{x-1}-2=y-5=0 \rightarrow x=y=5$

Vậy nghiệm hệ $(x;y)=(5;5)$

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

ĐK: $-y^2-6y-1 \geq 0; 17-4y-16x \geq 0$

Từ pt (2) $y=\dfrac{-x^2-18x+16}{4}$

Thế vào pt (1) ta có:

$3x^2+4x-5=\sqrt{-y^2-6y-1}$

$\iff (3x^2+4x-5)^2+y^2+6y+1=0$

$\iff (3x^2+4x-5)^2+[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]^2+6[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]+1=0$

$\iff 145x^4+900x^3+1084x^2-2448x+1056=0$

$\iff 145(x^2+\dfrac{90}{29}x-2)^2+[\dfrac{7756}{29}x^2-648x+476]=0$ (*)

Do $VT>0$ nên pt (*) vô nghiệm

Vậy hệ pt đã cho vô nghiệm

Bài 441: Giải pt: $4\sqrt{x^2-2x+4}+12\sqrt[3]{x^2+x+2}=x^4-4x^3+7x^2-5x+30$

Bài 415: $\begin{cases} & \sqrt{x^{2}(1+y^{2})}-\sqrt{1+x^{2}}=1-xy \\ & (2x-7xy)(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3xy})=5 \end{cases}$

Ta có: $x \geq \dfrac{2}{3}; x+3xy \geq 0 \rightarrow 1+3y \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{-1}{3} \rightarrow xy \geq \dfrac{-2}{9} \rightarrow xy+1>0$

$(1) \iff \sqrt{x^2(1+y^2)}-\sqrt{x^2+1}=1-xy$

$\iff \dfrac{x^2y^2-1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}=1-xy$

$\iff (xy-1)(\dfrac{xy+1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}+1)=0$

$\iff xy=1$

Đến đây thay xuống pt (2)...

Bài 152: $\begin{cases} & x^{3}+12y^{2}+x+2=8y^{3}+8y \\ & \sqrt{x^{2}+8y^{3}}= 5x-2y \end{cases}$

$(1) \iff (x-2y+1)[x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2]=0$

$\iff x=2y-1$   v   $x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2=0$

Xét $x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2=0$ có $\Delta=-(7y^2-10y+7) < 0$ nên pt vô nghiệm

Vậy $x=2y-1$ thế xuống pt (2) và bình phương là ra.

Bài 146: Gpt:    $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

http://diendantoanho...ng-trình/page-8

Bạn tham khảo bài số 64 của anh gianglqd.

VD : Bài 40 : Giải hệ pt : 
{ $x^2+3y^2+4xy-18x-22y+31=0$ 
{ $2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0$ 

Lấy PT(2)-PT(1) $\iff x^2+y^2-2xy+24x-24y+144=0$

$\iff (x-y)^2+24(x-y)+144=0$

$\iff (x-y+12)^2=0$

$\iff x=y-12$

Thay vào một trong 2 pt, rồi giải pt bậc 2.

Bài 50: $5(5x^{2}-17)^{2}-343x-833=0$

Bài 50 cũng dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $5x^2-17=7y$

$\iff \begin{cases} &  245y^2-343x-833=0 \\  &  5x^2-17=7y \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  5y^2-17=7y \\  &  5x^2-17=7x \end{cases}$

Tới đây ta cũng đc hệ đối xứng: $5(x-y)(x+y-7)=0$

$\iff x=y$  v  $x+y=7$...

VD : Bài 40 : Giải hệ pt : 
{ $x^2+3y^2+4xy-8x-22y+31=0$ 
{ $2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0$ 

Bạn xem đề đúng không, tại mình thấy số hơi lẻ 

Bài 11: Giải PT: $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3}{2}x-3$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=a (a \geq 0)$.

PT $\iff 2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

$\iff 4(2x^2-1)-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+10x^2+3x-6-4(2x^2-1)=0$

$\iff 4a^2-2(3x+1)a+2x^2+3x-2=0$

$\iff (2a-2x+1)(2a-x-2)=0$

$\iff 2\sqrt{2x^2-1}-2x+1=0$  v  $2\sqrt{2x^2-1}-x-2=0$

Để giải mỗi TH ta chỉ việc chuyển vế rồi bình phương bình thường.

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

ĐK: $x \geq \dfrac{5}{2}$

PT $\iff 27x^2-145x+192+(x-1-2\sqrt{2x-5}=0$

$\iff (x-3)(27x-64)+\dfrac{(x-3)(x-7)}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff (x-3)(27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff x=3$   v   $27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0 (*)$

Xét $(*):$

$\iff 27x-67+3+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}$

$= 27x-67+\dfrac{2(2x-5)+2\sqrt{2x-5}}{x-1+2\sqrt{2x-5}} > 0$ (Vì $x \geq \dfrac{5}{2}$)

Vậy (*) vô nghiệm

Vậy $x=3$

Bài 71: Giải các phương trình:

a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(1+1)(1+x^2+1-x^2)}=2 \ (1)$

Dễ dàng cm ddc bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (có thể dùng biến đổi tương đương)

Áp dụng ta có: $\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3} \leq \sqrt[3]{4.(1-x^3+1+x^3)}=2 \ (2)$

Ta lại có bđt: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$

CM: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$

Áp dụng: $\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq \sqrt[4]{8(1-x^4+1+x^4)}=2 \ (3)$

Lấy $(1)+(2)+(3)$ $\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq 6$

Dấu $'='$ xảy ra khi: $x=0$

Bài 71: Giải các phương trình:

b, $\sqrt[4]{2-x^{4}}=x^{2}-3x+4$

Áp dụng bđt: $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4)$

Ta có: $x+\sqrt[4]{2-x^4} \leq \sqrt[4]{8(x^4+2-x^4)}=2$

Ta có: $x^2-2x+4=(x-1)^2+3 \geq 3 > 2$

$=> x^2-2x+4 > x+\sqrt[4]{2-x^4}$

$\iff x^2-3x+4 > \sqrt[4]{2-x^4}$

Vậy pt vô nghiệm.

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$

ĐK: $x \geq -1$

PT $\iff (x-3)(x+3)=(8x^3-28x^2+34x-11)\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$

$\iff x=3$   v    $ x+3=\dfrac{8x^3-28x^2+34x-11}{\sqrt{x+1}+2} \ (1)$

Xét (1): $(x+3)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$

$\iff (x+1+2)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$

$\iff (x+1)\sqrt{x+1}+2(x+1)+2\sqrt{x+1}=8x^3-28x^2+34x-15$

$\iff \sqrt{x+1}^3+2\sqrt{x+1}^2+2\sqrt{x+1}=(2x-3)^3+2(2x-3)^2+2(2x-3)$

$\iff \sqrt{x+1}=2x-3$

$\Longrightarrow 4x^2-13x+8=0$ (ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$)

$\Longrightarrow x=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}$

...

 

Bài 107*: $2x^{2}+3=\sqrt{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+4x^{2}+4}$

$\iff (x^2+1-\sqrt{x^3+2x^2+1})+(x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4})=0$

$\iff \dfrac{x^4-x^3}{x^2+1+\sqrt{x^3+2x^2+1}}+\dfrac{x^4-x^3}{x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0$

$\iff x^3(x-1)(...)=0$ (vì phần trong ngoặc dương)

Bài 80: $\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+5x^{2}+14y^{2}+97x+28y=755 \\ & (x-3)(x-4)= (y-11)(14-y) \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  x^3-y^3+5x^2+14y^2+97x+28y-755=0 \ (1) \\  &  x^2+y^2-7x-25y+166=0 \ (2) \end{cases}$

Lấy $PT(1)+7PT(2) \iff (x+4)^3-(y-7)^3=0$

$\iff x+4=y-7 \iff x=y-11$

Đến đây thay vào pt (2) để tìm nghiệm $x,y$

Bài 86: $\sqrt{2(4x^{2}-x-6)}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

$2(4x^2-x-6)=2x-3+2x^2+2x-1+2\sqrt{(2x-3)(2x-1)(x+1)}$

$\iff 6x^2-5x-8=2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

$\iff 3(2x^2-x-3)-(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

Đặt $\sqrt{2x^2-x-3}=a; \sqrt{2x-1}=b$

$\iff 3a^2-2ab-b^2=0$

$\iff (a-b)(3a+b)=0$

$\iff \sqrt{2x^2-x-3}=\sqrt{2x-1}$

Đến đây là ra kq.

2. 

Bài 1: a; ĐK: $x \geq -1$

Đặt $\sqrt{x+1}=a$

$\iff a(3x^2+a^2)=x^3+3xa^2$

$\iff x^3-3ax^2+3xa^2-a^3=0$

$\iff (x-a)^3=0$

$\iff x=a$

$\iff x=\sqrt{x+1}$

Đến đây bình phương là ra kết quả.