Bài 232: $\begin{cases} & x^{3}(6+21y)= 1 \\ & x(y^{3}-6)= 21 \end{cases}$

Dễ thấy $x \not =0$. Ta có:

$\begin{cases} &  6+21y=\dfrac{1}{x^3} \\ &  6+\dfrac{21}{x}=y^3 \end{cases}$

Đến đây ta đc hệ đối xứng loại 2, trừ vế cho vế...

Bài 11: Giải PT: $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3}{2}x-3$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=a (a \geq 0)$.

PT $\iff 2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

$\iff 4(2x^2-1)-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+10x^2+3x-6-4(2x^2-1)=0$

$\iff 4a^2-2(3x+1)a+2x^2+3x-2=0$

$\iff (2a-2x+1)(2a-x-2)=0$

$\iff 2\sqrt{2x^2-1}-2x+1=0$  v  $2\sqrt{2x^2-1}-x-2=0$

Để giải mỗi TH ta chỉ việc chuyển vế rồi bình phương bình thường.

Bài 492: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}\leq 0$

ĐK: $x \geq 1$

Đặt $\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$, thay vào ta có:

$20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{(x-1)(x+1)} \leq 0$

$\iff 2a^2+18b^2+(\dfrac{19}{2}a^2+\dfrac{9}{2}b^2)b-3(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{11}{2}b^2)a-12ab \leq 0$

$\iff 2(a-3b)^2+\dfrac{1}{2}(a-3b)^2(b-3a) \leq 0$

$\iff (a-3b)^2[2+\dfrac{1}{2}(b-3a)] \leq 0$

$\iff a-3b=0$  v   $2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \leq 0 (*)$

$(*) \iff 2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1} \leq \dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \iff (4x-5)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Vậy nghiệm của bpt: $x \geq 1$

p/s: e quên mất đk, lm đến đấy thấy luôn đúng lại tự ngộ nhận kết quả luôn

Bài 13: Giải HPT: $\begin{cases}& \sqrt{12-2x^{2}}= 4+y\\ & \sqrt{1-2y-y^{2}}=5-2x \end{cases}$

ĐK: $12-2x^2 \geq 0$ ; $1-2y-2y^2 \geq 0$

$\Rightarrow \begin{cases} &  12-2x^2=16+8y+y^2 \\  &  1-2y-2y^2=25-20x+4x^2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} &  2x^2+y^2+8y+4=0 \\  &  4x^2+2y^2-20x+2y+24=0 \end{cases}$

$2PT(1)+PT(2) \iff 10x^2-40x+3y^2+12y+52=0$

$\iff 10(x^2-4x+4)+3(y^2+4y+4)=0$

$\iff 10(x-2)^2+3(y+2)^2=0$

$\Rightarrow \begin{cases} &  x=2 \\  &  y=-2 \end{cases}$ (loại vì không tm $1-2y-2y^2 \geq 0$)

Vậy hệ vô nghiệm

Bài 369: $\begin{cases} & x^{3}-7y^{3}+3xy(x+y)-24y^{2}+3x-27y=14 \\ & \sqrt{3-x}+\sqrt{y+4}=x^{3}+y^{2}-5 \end{cases}$

$(1) \iff (x-y-2)(x^2+4xy+7y^2+2x+10y+7)=0$

$\iff x=y+2$    v     $x^2+4xy+7y^2+2x+10y+7=0$

Ta có: $x^2+4xy+7y^2+2x+10y+7=0$ luôn vô nghiệm vì $\Delta <0$

Thay $y=x-2$ xuống (2) ta đc:

$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+2}=x^3+x^2-4x-1$

Bài này đã đc giải ở đây

Từ một bài toán cơ bản :  
Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$

 

(Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=a;\sqrt[3]{2x-9}=b, \sqrt[3]{5-x}=c ;\sqrt[3]{4x-3}=d$

$\iff a+b+c=d \iff a+b=d-c \Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2-2cd+d^2$ 

$\iff \sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{2x-9}+\sqrt[3]{5-x}-\sqrt[3]{4x-3}=0$ 

$\iff \dfrac{ 5x-8}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{8-5x}{c^2+cd+d^2}=0$

$\iff 5x=8$  v   $\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{1}{c^2+cd+d^2}$

$\iff x=\dfrac{8}{5}$  v   $a^2-ab+b^2=c^2+cd+d^2$

$\iff \begin{cases} &  a^2+2ab+b^2=c^2-2cd+d^2 \\  &  a^2-ab+b^2=c^2+cd+d^2 \end{cases}$

Trừ vế cho vế ta đc: $3ab=-3cd \iff ab=-cd \iff \sqrt[3]{(3x+1)(2x-9)}=-\sqrt[3]{(5-x)(4x-3)}$ 

Lập phương lên ta sẽ có kết quả..

Bài 225: Giải hệ: 

Bài 71: Giải các phương trình:

a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(1+1)(1+x^2+1-x^2)}=2 \ (1)$

Dễ dàng cm ddc bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (có thể dùng biến đổi tương đương)

Áp dụng ta có: $\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3} \leq \sqrt[3]{4.(1-x^3+1+x^3)}=2 \ (2)$

Ta lại có bđt: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$

CM: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$

Áp dụng: $\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq \sqrt[4]{8(1-x^4+1+x^4)}=2 \ (3)$

Lấy $(1)+(2)+(3)$ $\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq 6$

Dấu $'='$ xảy ra khi: $x=0$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 328: $\begin{cases} & (\sqrt{x-y}-4)(\sqrt{2y-x}+2)=3x-5y-8 \\ & \sqrt{2-y}-\sqrt{x^{2}-2}= x^{2}+\dfrac{5x}{9}-4 \end{cases}$

ĐK: $y \leq x \leq 2y$

Đặt $\sqrt{x-y}=a; \sqrt{2y-x}=b \rightarrow a^2-2b^2=3x-5y$, thay vào ta có:

$(a-4)(b+2)=a^2-2b^2-8$
 

$\iff ab+2a-4b-8=a^2-2b^2-8$

$\iff a^2-ab-2b^2-2(a-2b)=0$

$\iff (a-2b)(a+b)-2(a-2b)=0$

$\iff (a-2b)(a+b-2)=0$

$\iff a=2b$   v    $a+b=2$

Đến đây rút $x;y$ rồi thay xuống pt 2

Bài 71: Giải các phương trình:

b, $\sqrt[4]{2-x^{4}}=x^{2}-3x+4$

Áp dụng bđt: $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4)$

Ta có: $x+\sqrt[4]{2-x^4} \leq \sqrt[4]{8(x^4+2-x^4)}=2$

Ta có: $x^2-2x+4=(x-1)^2+3 \geq 3 > 2$

$=> x^2-2x+4 > x+\sqrt[4]{2-x^4}$

$\iff x^2-3x+4 > \sqrt[4]{2-x^4}$

Vậy pt vô nghiệm.

Bài 394: $\begin{cases} & 2\sqrt{x^{2}+3x}+2y^{3}-3=x+2y\sqrt{x} \\ & \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^{2}=0 \end{cases}$

ĐK: $x \geq 0$

$\iff \begin{cases} 2\sqrt{x(x+3)}+2y^3=(x+3)+2y\sqrt{x} \\ \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^2=0  \end{cases}$
 

Đặt $\begin{cases} \sqrt{x}=a \\ \sqrt{x+3}=b \\ y=c \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 2ab+2c^3=b^2+2ca \\ c^2=b-a  \end{cases}$

Ta có: $(1) \iff 2ab+2c(b-a)=b^2+2ca$

$\iff b^2+4ca-2ab+2bc=0$

$\iff (b-2c)(b-2a)=0$

$\iff \left[\begin{matrix} \sqrt{x+3}=2\sqrt{x} \\  \sqrt{x+3}=2y \end{matrix}\right.$

....

Đến đây $2y=\sqrt{x+3}$ vào pt (2) ta đc: $y^2-2y+\sqrt{4y^2-3}=0$

$\iff (y-1)^2+\dfrac{4(y-1)(y+1)}{\sqrt{4y^2-3}+1}=0$

$\iff (y-1)(y-1+\dfrac{4y+4}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff (y-1)(y+\dfrac{4y+3-\sqrt{4y^2-3}}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff y=1$ ( phần trong ngoặc luôn dương vì $4y+3>\sqrt{4y^2-3}$ với $y >0$)

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

$2(x+1)+18(x-1)+[\dfrac{19}{2}(x+1)+\dfrac{9}{2}(x-1)]\sqrt{x-1}-3[\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{11}{2}(x-1)]\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^2-1}=0$

Đặt $\sqrt{x+1}=a \ (a \geq 0); \sqrt{x-1}=b \ (b \geq 0)$, thay vào ta có:

$\iff 2a^2+18b^2+(\dfrac{19}{2}a^2+\dfrac{9}{2}b^2)b-3(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{11}{2}b^2)b-12ab=0$

$\iff 4a^2+36b^2-24ab-3a^3+19a^2b-33b^2a+9b^3=0$

$\iff 4(a-3b)^2-(3a-b)(a-3b)^2=0$

$\iff (a-3b)^2(4-3a+b)=0$

$\iff a=3b$   v   $4-3a+b=0$

$\iff \sqrt{x+1}=3\sqrt{x-1}$   v    $4-3\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=0$

....

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

ĐK: $x \geq \dfrac{5}{2}$

PT $\iff 27x^2-145x+192+(x-1-2\sqrt{2x-5}=0$

$\iff (x-3)(27x-64)+\dfrac{(x-3)(x-7)}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff (x-3)(27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff x=3$   v   $27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0 (*)$

Xét $(*):$

$\iff 27x-67+3+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}$

$= 27x-67+\dfrac{2(2x-5)+2\sqrt{2x-5}}{x-1+2\sqrt{2x-5}} > 0$ (Vì $x \geq \dfrac{5}{2}$)

Vậy (*) vô nghiệm

Vậy $x=3$

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$

ĐK: $x \geq -1$

PT $\iff (x-3)(x+3)=(8x^3-28x^2+34x-11)\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$

$\iff x=3$   v    $ x+3=\dfrac{8x^3-28x^2+34x-11}{\sqrt{x+1}+2} \ (1)$

Xét (1): $(x+3)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$

$\iff (x+1+2)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$

$\iff (x+1)\sqrt{x+1}+2(x+1)+2\sqrt{x+1}=8x^3-28x^2+34x-15$

$\iff \sqrt{x+1}^3+2\sqrt{x+1}^2+2\sqrt{x+1}=(2x-3)^3+2(2x-3)^2+2(2x-3)$

$\iff \sqrt{x+1}=2x-3$

$\Longrightarrow 4x^2-13x+8=0$ (ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$)

$\Longrightarrow x=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}$

...

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$

$x^2+\sqrt{2x-3}-5x+5=0$

$\iff \sqrt{2x-3}-1+x^2-5x+6=0$

$\iff \dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x-3}+1}+(x-2)(x-3)=0$

$\iff (x-2)(\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+x-3)=0$

$\iff x=2$     v     $(x-3)\sqrt{2x-3}=1-x \ \ (*)$

Xét (*) bình phương với đk: $x \leq 1$

$\iff (x-3)^2(2x-3)=(1-x)^2$

$\iff (x^2-6x+7)(x-2)=0$

$\iff x=3 +\sqrt{2}(L)$   v    $x=3-\sqrt{2}$    v    $x=2 \ (L)$

Vậy $x=2$ hoặc $x=3-\sqrt{2}$ 

P/S: Cách hơi ngu và thiếu trí tuệ.

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

 

Bài 48: anh gianglqd xem xem chỗ này có phải là: $\sqrt{y+x}^3$ sửa thành $\sqrt{y-x}^3$ ?

Khi đó: $\begin{cases} &  y-x \geq 0  \\  &  x-y \geq 0 \\ &  x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} &  x \geq y \\  &  y \geq x \end{cases} \longrightarrow x=y$

Thay vào một trong 2 trình: $(\sqrt{x}-x)^2=2 \iff \sqrt{x}-x=\sqrt{2}$   v   $\sqrt{x}-x=-\sqrt{2}$

Bài 274 : (chuyên LHP-Nam Định) 
Giải hệ : 
$\begin{cases} &x=y^3-5y^2+8y-3&\\&y=-2x^3+10x-16x+9& \end{cases}$

Cái PT(2) có phải là $y=-2x^3+10x^2-16x+9$ không nhỉ?

Giải pt
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$\iff x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

$\rightarrow x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$

$\rightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0$

$\iff \sqrt{x^2-x}=1$

$\iff x^2-x-1=0$

....

Bài 372: $\begin{cases} & \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \\ & x^{2}+x+3y+17= 6\sqrt{x+7}+2x\sqrt{3y+1} \end{cases}$

$(1) \iff \sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}-\sqrt{3y+1}$

$\iff \dfrac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}=\dfrac{x-y-1}{\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}}$

$\iff x-y-1=0$    v     $\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}$ (*)

Xét (*) ta có hệ: 

$\iff \begin{cases} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1} \\  \sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}-\sqrt{3y+1} \end{cases}$

Trừ vế cho vế ta đc: $\sqrt{x}=\sqrt{3y+1} \rightarrow x=3y+1$

Vậy ta có 2 TH: $x=y+1$ và $x=3y+1$

Với TH: $x=3y+1$, thay vào ta có:

$x^2+x+16=6\sqrt{x+7}+2x\sqrt{x}$ (ĐK: $x \geq 0$)

$\iff (\sqrt{x+7}-3)^2+(x-\sqrt{x})^2=0$

$\iff \begin{cases} \sqrt{x+7}-3=0 \\ x-\sqrt{x}=0 \end{cases}$ (vô nghiệm)

..

Bài 192: Giải hệ trên tập số thực:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5} & \\ 4x^{2}+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

$\begin{cases} &  5x^2+5y^2-1=0 \\  &  4x^2+3x-\dfrac{57}{25}+3xy+y=0 \end{cases}$

Lấy $PT(1)+10PT(2) \iff (45x^2+5y^2+30xy)+(30x+10y)-\dfrac{119}{5}=0$

$\iff 5(3x+y)^2+30(3x+y)-\dfrac{119}{5}=0$

$\iff 25(3x+y)^2+150(3x+y)-119=0$

Đến đây ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn $3x+y$...

Bài 423: $(7x-10)\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

ĐK: $x \geq 2$

Ta có: $(7x-10)\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

$\iff [(-(x-2)+4(2x-3)]\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

Đặt $\begin{cases} \sqrt{x-2}=a \ (a\geq 0) \\  \sqrt{2x-3}=b \ (b\geq 0)\end{cases}$

$\iff (-a^2+4b^2)a=2(b+1)(a+2b)$

$\iff (a+2b)(2b+2+a^2-2ab)=0$

$\iff 2b+2+a^2-2ab=0$

$\iff 2\sqrt{2x-3}+2+x-2-2\sqrt{(x-2)(2x-3)}=0$

$\iff x+2\sqrt{2x-3}-2\sqrt{(x-2)(2x-3)}=0$

$\iff 49x^4-504x^3+1800x^2-2592x+1296=0$ (bình phương 2 lần)

$\iff \left[\begin{matrix} x=2 \ \ \text{(loại, sau khi đã thử lại)} \\  x=6 \ \ \text{(thỏa mãn)} \end{matrix}\right.$

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

$\iff 13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=[2(x^2-3x+6)+3(x^2-2x+7)]^2$

Đặt $\begin{cases} &  x^2-3x+6=a \\  &  x^2-2x+7=b \end{cases}$

Ta có: $13(a^2+b^2)=(2a+3b)^2$

$\iff 13a^2+13b^2=4a^2+12ab+9b^2$

$\iff 9a^2-12ab+4b^2=0$

$\iff (3a-2b)^2=0$

$\iff 3a=2b$

$\iff 3(x^2-3x+6)=2(x^2-2x+7)$

....

Đến đây ta được pt bậc 2 đối với ẩn $x$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Thực ra thì đoạn này e mò cx không ra nên dùng wolframalpha tách thành nhân tử thôi cj

https://www.wolframa...{2}x-\sqrt{2}+2

Bài 224: $\begin{cases} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2} \\ & \sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^{2}= 0 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{y}=b$

$\iff 2\sqrt{a^2+3b^2}=a+3b$

$\iff 3(a-b)^2=0$

$\iff a=b$

$\iff x+2=y$, Thế xuống dưới:

$\iff (\sqrt{x+1}-2)+(1-\sqrt{4-x})+9-x^2=0$

$\iff (x-3)(x+3-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff (x-3)(x+1+\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{\sqrt{4-x}}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff x=3$ phần sau luôn dương

Hệ có 1 nghiệm là: $x=1;y=4$

Từ (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ có nghiệm $x=1$ nên liệu có thể đưa $4y^3-y^4\sqrt{x}$ về dạng $(x-1)(,,,)$ đc k

P/s: Đó là hướng của mình, nhưng chắc khó vì phần còn lại ra tận bậc 7