Bài 5: Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:
\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]
Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .
Đặt $ x_n =\frac{a_n}{n}$
$\Rightarrow x_{n+1} -x_n =-2 .\frac{1}{n(n+1)}$
$\Rightarrow x_{n+1} -x_1 =-2( -\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n-1} - ,... +1) =-2(1-\frac{1}{n+1}) =-2\frac{n}{n+1}$
$\Rightarrow a_{n+1} =a(n+1) -2n$
Nếu $a >2$ thì lim $a_n = +\infty$
nếu $a<2$ thì lim$ a_n$ = - \infty$
$\Rightarrow a= 2$ và lim $a_n =2$