Cho $\Delta ABC$, dựng ra phía ngoài $\Delta ABC$ tam giác $ABN$ vuông tại $N$ và tam giác $ACM$ vuông tại $M$. Sao cho $\frac{AN}{BN}=\frac{1}{2}$, $\frac{AM}{CM}=\frac{1}{3}$. $K$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\frac{BK}{CK}=\frac{2}{3}$. Tính $\frac{MK}{NK}$

Cho $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a$. Điểm $D$ thuộc cạnh $BC$, sao cho hai đường tròn ($O_1;r_1$) và ($O_2;r_2$) nội tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ sao cho $r_1=2r_2$. Tính $\frac{DC}{DB}$

$\Delta ABC$ có diện tích là $S$, kẻ trung tuyến $BM$. Trên $BM$ lấy $I$ sao cho $BI=\frac{1}{2}BM$. $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Tính $S_{BIK}$ theo $S$

Cho tam giác $ABC$, $AB=c,AC=b$, trung tuyến $AM = m$. Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $b, c, m$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, AC=b$, phân giác $AD=l$. Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $b, c, l$

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $a$. Dựng ba đường tròn có tâm là ba đỉnh của tam giác có bán kính bằng $a$.
a) Tính diện tích chung của ba hình tròn.
b) Tính diện tích tất cả các phần nằm trong hai hình tròn nhưng không nằm trong hình còn lại.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Dựng đường tròn tâm $A$, bán kính bằng $a$ và đường tròn tâm $D$ bán kính bằng $a$.
a) Tính diện tích phần nằm trong hình vuông và nằm ngoài $2$ hình tròn.
b) Tính diện tích phần nằm trong hình vuông và nằm trong $2$ hình tròn.

Bạn ơi, chủ đề này đã có tại đây rồi, đề nghị mod xoá topic dùm.
http://diendantoanho...-pmnq-va-s-apq/

Bạn cứ tính từng cái tỷ số đó theo $k$ là được Dùng tạm ký hiệu của BlackSelena nhé
$$\frac{AMP}{ABC}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}.\frac{k}{k+1}=\frac{k}{(k+1)^2}$$
2 cái tỳ số còn lại tương tự.$\frac{CPN}{ABC};\frac{BMN}{ABC}$

Ý của mình là vì sao $\frac{AMP}{ABC}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}$

Dễ có: $\frac{AMP}{ABC} = \frac{CPN}{ABC} = \frac{BMN}{ABC} = \frac{AM}{AB}. \frac{AP}{AC} = \frac{k}{(k+1)^2} $

Bạn ơi, bạn nói rõ hơn chỗ này được không? Mình không hiểu chỗ này cho lắm!

Cho hình thang vuông $ABCD$ ($\widehat{A}=\widehat{D}=90^o$) có $\widehat{BMC}=90^o$ với $M$ là trung điểm của $AD$.
a) Chứng minh $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính $BC$.
b) Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính $AD$

Cho hình bình hành $ABCD$. Trên các cạnh $BC, CD$ lần lượt lấy các điểm $M, N$ sao cho $\frac{BM}{CM}=\frac{CN}{2DN}=k$. Gọi $P, Q$ thứ tự là giao điểm của $AM, AN$ với $BD$.
a) So sánh $S_{PMNQ}$ và $S_{APQ}$
b) Tính $S_{AMN}$ theo $k$ và $S_{ABCD}$.
c) Cho $M, N$ thay đổi trên cạnh $BC$ và $CD$ nhưng vẫn thoả mãn điều kiện của bài toán. Tìm GTLN của $S_{AMN}$

Trên ba cạnh $AB, BC, CA$ của $\Delta ABC$, lần lượt lấy $M, N, P$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm $k$ để $S_{MNP}=\frac{5}{8}S_{ABC}$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BE$ là phân giác trong, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Biết $\frac{BI}{IE}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Tính $\widehat{ACB}$

Tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo, biết $AB=6,OA=8,OB=4,OD=6$. Tính $AD$

Đề bài:
Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích hình thang biết rằng đáy nhỏ dài 14cm, đáy lớn dài 50cm.

Bạn kẻ hai đường cao và áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông là ra mà. Bài này có trong sách NCPT Toán 9 của Vũ Hữu Bình

a/
+/ Vì $p(x)$ chia cho $x-1$ dư $5$, chia cho $x-2$ dư $7$, chia cho $x-3$ dư $10$, chia cho $x+2$ dư $-4$. Đặt $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.

+/ Ta thấy: $P(x)$ chia cho $x-k$ dư $t$ $\Leftrightarrow$ $P(x)+t\vdots x-k$ $\Leftrightarrow$ $P(k)=-t$.

+/ Áp dụng 2 điều trên ta được 5 phương trình 4 ẩn ( Bạn tự giải nhé!).

ở đây $p(x)$ đâu chỉ có thể bằng 4, nếu nó lớn hơn 4 thì sao?

a/
+/ Vì $p(x)$ chia cho $x-1$ dư $5$, chia cho $x-2$ dư $7$, chia cho $x-3$ dư $10$, chia cho $x+2$ dư $-4$. Đặt $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.

+/ Ta thấy: $P(x)$ chia cho $x-k$ dư $t$ $\Leftrightarrow$ $P(x)+t\vdots x-k$ $\Leftrightarrow$ $P(k)=-t$.

+/ Áp dụng 2 điều trên ta được 5 phương trình 4 ẩn ( Bạn tự giải nhé!).

Bạn ơi, phải là $P(x)-t\vdots x-k$

Tại x=3 có tới hai giá trị=>đề sai

Anh có thể nói rõ hơn được không? Hai giá trị nào nhỉ?

Chia $f(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+2x+1$ cho $x-1$ dư $5$, cho $x-2$ dư $-4$. Tìm cặp ($M, N$) biết rằng $Q(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+Mx+N$ chia hết cho $(x-1)(x-2)$

Có chính xác có đúng $4$ số nguyên dương $n$ để $\frac{(n+1)^2}{n+23}$ là một số nguyên? Tìm số lớn nhất.

a) Tìm đa thức $p(x)$, biết $p(x)$ chia cho $x-1$ dư $5$, chia cho $x-2$ dư $7$, chia cho $x-3$ dư $10$, chia cho $x+2$ dư $-4$.
b) Tìm số dư khi chia $p(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x+2)$

Tìm đa thức bậc $3$ $f(x)$ biết $f(x)$ chia cho $x-10;x-20;x-30$ đều được số dư là $6$ và $f(-11)=-133449$

Cho đa thức $f(x)=x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ có giá trị tại $3;0;3;12;27;48$ khi $x$ nhận lần lượt các giá trị tương ứng $1;2;3;4;5;6$
a) Tìm $a,b,c,d,e,f$
b) Tính $f(x)$ khi $x= 11;12;13;14$

Thế này nhé!
$\{u_n\}$ xác định như trên bao gồm các số nguyên lẻ phải không nào?
$u_1$ lẻ $\Rightarrow u_3$ lẻ $\Rightarrow u_5$ lẻ $...$
$u_2$ lẻ $\Rightarrow u_4$ lẻ $\Rightarrow u_6$ lẻ $...$
hơn nữa
$u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số lẻ
Thế chẳng phải là $\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Anh ơi, thế mình làm thế nào để lập được cái dãy số đó??? Trong bài làm chỉ cần nói xét dãy số đó ak?