MSS015.

Lời giải. Điều kiện $x \ge 1$. Ta có $(1) \Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7 \sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$.

Đặt $\sqrt{x-1}=a, \sqrt{x^2+x+1}=b$ thì phương trình trở thành $2b^2+3a^2=7ab \Leftrightarrow (2b-a)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a=b \\ 3b=a \end{array} \right.$

 

Nếu $2b=a$ hay $2\sqrt{x^2+x+1}= \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$, phương trình vô nghiệm vì $\Delta=3^2-4 \cdot 4 \cdot 5<0$.

Nếu $3a=b$ hay $3 \sqrt{x-1}= \sqrt{x^2+x+1} \Leftrightarrow x^2-8x+10=0 \Leftrightarrow (x-4-\sqrt 6)(x-4+ \sqrt 6)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=4+ \sqrt 6 \\ x-4- \sqrt 6 \end{array} \right.$

Vì $4- \sqrt 6>1$ nên nghiệm thoả mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S= \{ 4+ \sqrt 6, 4- \sqrt 6 \}$.

Thiếu điều kiện $a,b$

p/s:Tại bị dính trích dẫn nhiều nên làm 2 bài viết

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:

Tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình đó là cặp $(x,y)=(1,2)$

   Lấy bài bên dưới

MSS 07 :
Do $x;y$ là các số nguyên nên $2013x-2011y+2094$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=m(m\in \mathbb{N})$ ( trong đó : $m=2013x-2011y+2094$ )
$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}\Rightarrow 3^4.5^2.2025x^{2}+2.3^{4}.5^2.1006x+6455700=(45m)^{2}\Rightarrow (2025x+1006)^{2}+5443664=(45m)^{2}\Rightarrow (45m-2025x-1006)(45m+2025x+1006)=5443664$
Thế  $m=2013x-2011y+2094$ vào phương trình trên
Suy ra : $(88560x-90495y+93224)(92610x-90495y+95236)=5443664$
Nhận thấy : $88560x-90495y+93224=45k+29;92610x-90495y+95236=45n+16(k,n\in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 5443664=(45k+29)(45n+16)$
Do $k;n$ là các số nguyên :
$\Rightarrow (k;n)\in \left \{ (-153;-18);(-1;-7561);(17;152);(7560;0) \right \}$
Mà : 

$\left\{\begin{matrix} 88560x-90495y=45k-93195 & \\ 92610x-90495y=45n-95220 & \end{matrix}\right.$
Thế các giá trị của của $k;n$ tìm được vào hệ trên thì ta chỉ có 1 nghiệm $x;y$ là : 
$\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy : $(x;y)= (1;2)$

MSS54:

 

Giả sử tồn tại cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn (*)

 

Do x;y nguyên nên $2025x^2+2012x+3188$ và $2013x-2011y+2094$ cũng nguyên.

 

Kết hợp (*) $\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^2 (m \in Z)$

 

$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=|m|$

 

Hay $2013x-2011y=|m|-2094$(**)

 

Ta có $m^2-[(45x)^2+2012x+3188]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-[(45^2x)^2+45^2x.2012+3188.45^2]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2- \Big[ [(45^2x)^2+2.45^2x.1006+1006^2]+5443664 \Big]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-(45^2x+1006)^2=5443664 \\ \Leftrightarrow [45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)]=5443664 (1)$

 

Do x; m nguyên nên $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ nguyên. (2)

 

Mà 5443664 $\vdots 2$ nên $[45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)] \vdots 2$

 

Xét tổng: $[45m-(45^2x+1006)]+[45m+(45^2x+1006)]=90m \vdots 2$ nên ta suy ra $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ đều $\vdots 2$ (3)

 

Kết hợp (**); (1); (2); (3) ta có bảng giá trị sau:

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn) và cùng dấu 

Mà $5443664$ là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

và $45m+45^{2}x+1006$ luôn dương nên  $45m-45^{2}x-1006$ cũng dương 

 

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

 

Thì chỉ thấy cặp thứ thỏa mãn tính chất trên.

 

suy ra $$45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$$   và   $$45m-45^{2}x-1006=2.397$$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x=1,y=2$

MSS54: (làm tiếp)

 

Bảng giá trị thứ hai: 

 

 

Kết hợp cả 2 bảng giá trị ta thấy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là (1; 2)

MSS 47: Trương Việt Hoàng

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)$.

Có:

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

$\Leftrightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}=45(2013x-2011y+2094)$

Do $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45(2013x-2011y+2094)\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}\in \mathbb{Z}$

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là:

$2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025=t^2$ ($t\in \mathbb{N}$)

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2+5443664=t^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006+t)(2025x+1006-t)=-5443664$

Ta có: $5443664=2^4.397.857$

Mà $2025x+1006+t>2025x+1006-t$ với $\forall t\in \mathbb{N}$

và $2025x+1006+t\in \mathbb{Z};2025x+1006-t\in \mathbb{Z}$

Vậy lập bảng ta tìm được cặp sau thoả mãn: (Có 20 cặp $(x;y)$ thì bị loại 19 cặp không nguyên)

$\left\{\begin{matrix}2025x+1006+t=6856 & & \\ 2025x+1006-t=-794 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2$

Thử lại nghiệm $(x;y)=(1;2)$ đã cho phương trình luôn đúng.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)=(1;2)$

mình nghĩ câu hỏi của đề là có tồn tại hay không chứ không phải là tìm nên  kết luận các cậu không theo yêu cầu đề bài!

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Ý kiến riêng:

Em thấy câu hổi của đề có thể nên là Tìm các cặp số nguyên (x,y) thì hay hơn.

Nếu như vậy thì em giải như sau;

Gỉa sử tồn tại các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn PT:

Khi đó $\sqrt{2025x^{2}+2012x+3188}\in \mathbb{N}\Rightarrow 2025x^{2}+2012x+3188=t^{2}(t\in \mathbb{N})$

Biến đổi PT ta được $(2025x+1006)^{2}+5443664=(45t)^{2}\Leftrightarrow 5443663=(45t+2025x+1006)(45t-2025x-1006)$

Lại có $45t+2025x+1006\equiv 16(mod45)$

Các ước có số dư cho 45 là 16 của 5443664 là 16 và 5856(loại 16 vì ước còn lại lẻ)(không biết các nghiệm âm thế nào)

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 45t+2025x+1006=6856 & \\ 45t-2025x-1006=794 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ t=85& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2& \end{matrix}\right.$

Vậy PT có ít nhất no(1,2)

    d =9

   S =17+ 9x3= 44

$x^2+y^2-1\geq -\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)\geq \frac{1}{4}$     

Sai nè!

Uh sai đâu???

viết ở dưới mà??

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu

Bài làm:

Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$

Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$

$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$

$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$

Màu đỏ sai .

Điểm 3đ

Mở rộng 1:

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=8$ . Tìm Giá trị lớn nhất của P= $x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$

Bài làm:

Gọi $(a,b,c)$ là 1 hoán vị của $(x,y,z)$ thỏa mãn $a\geq b\geq c\geq 0$ và $a+b+c=8$

$a\geq b\geq c\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2} \geq b^{2}\geq c^{2}& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$(1)

Áp dụng BĐT hoán vị (*) ta được:

$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq a^{2}.ab+b^{2}.ac+c^{2}.bc=b(a^{3}+b^{3}+abc)$

Lại có $abc\leq 3ac(a+c)$(dấu "=" khi ac=0)

Do đó $b(a^{3}+b^{3}+abc)\leq b(a^{3}+c^{3}+3ac(a+c))=b(8-b)^{3}$

$=\frac{3b.(8-b)(8-b)(8-b)}{3}$$\leq \frac{(8+8+8+3b-b-b-b)^{4}}{3.4^{4}}=432$(theo bất đẳng thức AM-GM)

Dấu "=" xảy ra khi $a=6,b=2,c=0$

Vậy Max P$=432$ Tại $a=6,b=2,c=0$

CM BĐT hoán vị(*) :(mở rộng )

Cho 2 dãy đơn điệu tăng

$(a_{1},a_{2},a_{3});(b_{1},b_{2},b_{3})$(dạng cơ bản 3 số) Thì ta có $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\geq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+a_{3}b_{i_{3}}$

CM:$BĐT\Leftrightarrow (a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{i^{1}})+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}}-b_{i_{3}})\geq 0$

Luân đúng

Không liên quan.

Điểm MR 0đ

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu

Bài làm:

Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$

Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$

$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$

$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$

 

Màu đỏ sai .

 

Điểm 3đ

Sai chỗ nào anh chỉ hộ em với

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^3+4xy\geq 2\\ (x+y)^2-4xy\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y)\geq 1$$

mà $$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2  \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta có :

$$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=[3\left ( x^2+y^2 \right )^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1\geq 3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-$2(x^2+y^2+1) (1)$$

Đặt $$x^2+y^2=a,a\geq \frac{1}{2}$$

Xéf $$f(x;y)=3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-$2(x^2+y^2+1)$\Rightarrow f(a)=\frac{9}{4}a^2-2a+1$$

Do $\frac{9}{4}>0$ nên hàm $f(x;y)$ đồng biến khi $a>\frac{4}{9}$

mà $$a\geq \frac{1}{2}>\frac{4}{9}$$

nên $$f(x;y)=f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}(2)$$

$$(1)(2)\Rightarrow P \geq \frac{9}{16}$$

Vậy $$\boxed{Min_{P}=\dfrac{9}{16} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}}$$

Phải là $-2(x^{2}+y^{2})+1$!

 

MSS 59

Ta có $(x+y)^{2}-4xy\geq 0$ (1)

         $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ (2)

Cộng (1) và (2) ta được $(x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$

Đặt $t=(x+y)$

$\Rightarrow t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}+2t^{2}+2t-t^{2}-2t-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t(t^{2}+2t+2)-(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

Mà $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1\geq 1> 0$

$\Rightarrow t-1\geq 0$

$\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Mặt khác $(x-y)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow 2x^{2}-x^{2}-2xy+2y^{2}-y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$)

Lại có $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 4x^{2}y^{2}\Rightarrow \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}\geq x^{2}y^{2}$

$\Rightarrow P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

         $=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$

         $\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}]-2(x^{2}+y^{2})+1$

         $\geq \frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1$

Đặt $a=x^{2}+y^{2}$ (Điều kiện $a\geq \frac{1}{2}$)

$f(a)= \frac{9}{4}a^{2}-2a+1,a\geq \frac{1}{2}$

$f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Chỗ này sai rồi Chưa khẳng định $f(a)\geq f(\frac{1}{2})$ vì f(a) có -2a nên chưa chắc chắn

MSS54:

 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm $x^2;y^2$ thì $x^2+y^2 \geq 2.\sqrt{x^2y^2}=2|xy|$ (1)

 

$\Rightarrow (x+y)^2 \geq 4xy \Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2 \geq (x+y)^3+4xy \geq 2$

 

$\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2 \geq 0 \Rightarrow (x+y-1)[(x+y)^2+2(x+y)+2] \geq 0$

 

Mà $(x+y)^2+2(x+y)+2=(x+y+1)^2+1 \geq 1>0$ nên có $x+y-1 \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 1$

 

Cũng từ (1) ta có $x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} \geq \frac{1}{2}$ (2) và $(x^2+y^2)^2 \geq 4x^2y^2 $ (3)

 

Ta biến đổi P và áp dụng các BĐT (2) và (3) ta có:

 

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1 \\ =3[(x^2+y^2)^2-2.x^2y^2+x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1 \\ =3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1 \\ \geq 3 \Big[ (x^2+y^2)^2-\frac{(x^2+y^2)^2}{4} \Big] -2(x^2+y^2)+1 \\ =\frac{9}{4}.(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1 \\ = \Big\{ \Big[ \frac{3}{2}.(x^2+y^2) \Big] ^2-2.\frac{3}{2}(x^2+y^2).\frac{3}{4} + \frac{9}{16} \Big\} + \Big[ \frac{1}{4}(x^2+y^2)+\frac{7}{16} \Big] \\ =$ \Big[ \frac{3}{2}.(x^2+y^2).\frac{3}{4} \Big] ^2$+ \Big[ \frac{1}{4}(x^2+y^2)+\frac{7}{16} \Big] \\ \geq 0+ \Big( \frac{1}{4}.\frac{1}{2}+\frac{7}{16} \Big) \\ =\frac{9}{16}$

 

Tức ta có $P \geq \frac{9}{16}$

 

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2=y^2 & \\ (x+y)^3+4xy=2 & \\ x+y=1 & \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Vậy Max $P=\frac{9}{16}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Phải là $(\frac{3}{2}.(x^{2}+y^{2})-\frac{3}{4})^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: P=3$(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1 \geq 9\sqrt[3]{x^{6}y^{6}}-4\sqrt[2]{x^{2}y^{2}}+1 = 9x^{2}y^{2}-4xy+1$ (1)

Áp dụng bđt phụ :$(x+y)^{2}\geq 4xy\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow (x+y)^{2}(x+y+1)\geq 2$ 

Đặt x+y=a$\Rightarrow a^{2}(a+1)\geq 2\Rightarrow a^{3}+a^{2}-2\geq 0\Rightarrow a\geq 1\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta phân tích được :$(1)\geq \frac{9}{16}$

 Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y và x+y=1\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Vậy Min P =$\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Chỗ màu đỏ : có dấu "-" nên AM-GM làm sao được

Chỗ màu xanh :phân tích kiểu gì bạn

Đặt $A= x+y$, $B=xy$, t= $x^{2}+y^{2}$

Vì $\left ( x-y \right )^{2}\geq 0$ nên $\left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$ tức là $A^{2}\geq 4B$

Từ giả thuyết $\Rightarrow A^{3}+A^{2}\geq A^{3}+4B\geq 2$

Do đó $A^{3}+A^{2}-2\geq 0\Leftrightarrow \left ( A-1 \right )\left ( A^{2}+2A+2 \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow A=1$ vì $A^{2}+2A+2=\left ( A+1 \right )^{2}+1> 0$

Do đó $t=x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}\left [ \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2} \right ] \geq \frac{1}{2}\left ( x+y \right )^{2}= \frac{1}{2}A^{2}\geq \frac{1}{2}$

$P=\frac{3}{4}\left [ 3\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+\left ( x^{2}-y^{2} \right )^{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$P\geq \frac{9}{4}\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2\left ( x^{2}+y^{2}\right ) + 1=\frac{9}{4}t^{2}-2t+1=\left ( \frac{3}{2}t-\frac{2}{3} \right )^{2}+\frac{5}{9}$

Vì $t\geq \frac{1}{2}$ nên $\frac{3}{2}t-\frac{2}{3}\geq \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{2}{3}= \frac{1}{12}$

$\Rightarrow P\geq \left ( \frac{1}{12} \right )^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$

Dấu "=" xảy ra khi $x= y$ và $x+y=1\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Vậy GTNN của $P$ là $\frac{9}{16}$ đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

Nhầm dòng này $A\geq 1$

Bài toán:Cho $a,b,c\geq 0;a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .Chứng minh $b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c\leq 2+abc$

Bài làm:

Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ 

Nếu $b\geq c\Rightarrow a\geq b\geq c\Rightarrow a(a-b)(b-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}b+abc\geq ab^{2}+ca^{2}$

$\Rightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq abc+a^{2}b+bc^{2}$

Ta đi chứng minh $abc+a^{2}b+bc^{2}\leq 2+abc$

$\Leftrightarrow a^{2}b+bc^{2}\leq 2$

$\Leftrightarrow b(3-b^{2})\leq 2$

$\Leftrightarrow (b-1)^{2}(b+2)\geq 0$(luôn đúng)

BĐT được CM

Nếu $c\geq b$ ta chứng minh tương tự được ĐPCM

Không liên quan.

Điêm MR 0đ

 Vậy ...

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Đề bài:Cho các số thực dương a,b,c, d thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

Chứng minh $abcd\leq (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$

Bài làm:

Ta có $(c-d)^{2}\geq 0\Rightarrow 2cd\leq c^{2}+d^{2}=1-a^{2}-b^{2}$

Xét $2(1-a)(1-b)-2cd\geq 2(1-a)(1-b)-(1-a^{2}-b^{2})$

$=(a+b-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq cd$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow (1-c)(1-d)\geq ab$

Do đó $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Note: Đây là bài toán có trong Sáng tạo Bất đẳng thức nhưng em đã tạo 1 cách khác khác với cách đã cho của tác giả 

nếu theo cách STBĐT thì quá dài em không nghĩ như vậy!!!

 Bài làm của MSS 13: Bùi Minh Hiếu

Bài Làm:

Ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+13y^{2}-20xy=0(I) & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(II)& \end{matrix}\right.$

Từ $(I)$ ta được :$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-3xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$

Do đó $x=y$ hoặc $2x=3y$

TH1: $x=y$ ta thay vào phương trình $(II)$ ta được:

$4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow 4x^{2}-x^{2}-6x+3x +1=0\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0$(Lại vì vế trái $>0$)

TH2:$2x=3y$Thay vào phường trình $(II)$ ta được:

$4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow (2x)^{2}-3.(2x)+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1-y^{2}+3y=0$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

Nên $\begin{bmatrix} y =\frac{1}{2}& \\ y=\frac{1}{4} & \end{bmatrix}$

Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$(Thử lại Thỏa mãn)

Nếu $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$(Thử lại thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2});(\frac{1}{4},\frac{3}{8})$

___________________________
Làm sai

$d = 5$

$S = 30$
 

Em sai đâu anh em chỉ kết luận sai thôi em nhìn nhầm nên kết luận sai mà!

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Thiếu nghiệm y nên nhớ đây là giải phương rình

$\left\{\begin{matrix}8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(8x-12y)=0(1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$

$(1) \Rightarrow \begin{bmatrix}x=y & & \\ x=\frac{3}{2}y & & \end{bmatrix}$

* Nếu $x=y$:

Thay vào PT (2) có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ (*)

$\Delta =9-12=-3<0$ Suy ra (*) vô nghiệm.

 * Nếu $x=\frac{3}{2}y$

Thay vào PT (2) có:
$4(\frac{3}{2}y)^{2}-6(\frac{3}{2}y)+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}y=\frac{1}{2} & & \\ y=\frac{1}{4} & & \end{bmatrix}$

Với $y=\frac{1}{2}$ thì $x=\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}$

Với $y=\frac{1}{4}$ thì $x=\frac{3}{2}y=\frac{3}{8}$

Vậy $(x;y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

Chỗ này có vấn đề

Thay y tìm x sai

Chỗ này có vấn đề

Thay y tìm x sai

Xin lỗi mình sai 

nó là viêt đấy

Zậy hả mình tưởng nó thế này

http://vi.wikipedia....i/Định_lý_Viète

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $(\frac{1}{2};\frac{1}{4})$

Thử lại vào hệ phương trình nhận $\begin{bmatrix} x=0.75\\ y=0.5 \end{bmatrix}$ là nghiệm của phương trình

p/s:
Cách của em là tính hệ thức liên hệ giữa x và y thông qua viete rồi xét trường hợp nghiệm

Có thể phá trị tuyệt đối ở trường hợp này không ảnh hưởng đến khi làm vì $x;y$ không thể âm

Em làm tắt phần lý luận     

Đây đâu phải định lí viete

 Bài làm của MSS 13: Bùi Minh Hiếu

Bài Làm:

Ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+13y^{2}-20xy=0(I) & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(II)& \end{matrix}\right.$

Từ $(I)$ ta được :$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-3xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$

Do đó $x=y$ hoặc $2x=3y$

TH1: $x=y$ ta thay vào phương trình $(II)$ ta được:

$4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow 4x^{2}-x^{2}-6x+3x +1=0\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0$(Lại vì vế trái $>0$)

TH2:$2x=3y$Thay vào phường trình $(II)$ ta được:

$4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow (2x)^{2}-3.(2x)+1-y^{2}+3y=0\Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1-y^{2}+3y=0$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

Nên $\begin{bmatrix} y =\frac{1}{2}& \\ y=\frac{1}{4} & \end{bmatrix}$

Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$(Thử lại Thỏa mãn)

Nếu $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$(Thử lại thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2});(\frac{1}{4},\frac{3}{8})$

___________________________
(chấm lần 2)

$d = 6$

$S = 33$
 

Ta có:8x²+12y²-20xy=8(x²-2,5yx+1,5y²)=8(x²-xy-1,5xy+1,5y²)=8[x(x-y)-1,5y(x-y)]=8(x-y)(x-1,5y)=0

=>x=y hoặc x=1,5y

*Trường hợp 1:x=y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>4x²-6x+1=x²-3x

<=>4x²-6x+1+3x-x²=0<=>3x²-3x+1=0<=>3(x²-x+1/3)=0(phương trình vô nghiệm vì x²$\geqslant x$=>x²+1/3>x)

*Trường hợp 2:x=1,5y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>9y²-9y+1=y²-3y

<=>9y²-y²-9y+3y+1=0<=>8y²-6y+1=0<=>8(y²-0,75y+1)<=>8(y²-0,5y-0,25y+1/8)<=>8[y(y-0,5)-0,25(y-0,50]=0<=>8(y-0,25)(y-0,5)=0

suy ra y=0,25 hoặc y=0,5 

Tại y=0,25 thì x=1,5.0,25=0,375

      y=0,5 thì x=1,5.0,5=0,75

Thử lại ta thấy các kết quả trên thoả mãn với hệ phương trình

Tóm lại các cặp số (x;y) thoả mãn hệ phương trình là:(0,375;0,25);(0,75;0,5)

Bài viết vui lòng gõ latex

Lập luận sai do $0< x< 1$ thì chắc gì $x^{2}\geq x$

Mở rộng 1:

Giải: ĐKXĐ: $x,y\geq 0$

*) Nếu $y=0$ $\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn)

*) Nếu $y> 0$, ta có:

$(1)\Leftrightarrow (x^2-y)(3x^2+5y)=0$

$ \Leftrightarrow x^2=y$ (xét đc) hoặc $3x^2=-5y$ (loại do $3x^2\geq 0> -5y$)

    Khi $x^2=y$, thay vào (2) ta có: (để ý $\sqrt{x^2}=x$)

                   $4x^2+\sqrt{x}=2x^2+3x$

$\Leftrightarrow 2x^2-3x+\sqrt{x}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(2x+2\sqrt{x}-1)=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}\in \left \{ 0;1;\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right \}$

$\Rightarrow x\in \left \{ 0;1;\frac{2-\sqrt{3}}{2} \right \}$, tương ứng với:

$y\in \left \{ 0;1;\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(1;1);\left ( \frac{2-\sqrt{3}}{2};\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right ) \right \}$

Mở rộng 2:

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^3-y)(7x^3-y)=0\\(6x^2-y)(12x-y)=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3=y\cup 7x^3=y\\6x^2=y\cup 12x=y \end{cases}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\6x^2=y \end{cases}\Rightarrow x^3=2x^2\Leftrightarrow x^2(x-2)=0$

Suy ra $x\in \left \{ 0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ 0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x^3=4x\Leftrightarrow x(x+2)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ -24;0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\6x^2=y \end{cases} \Rightarrow x^2(7x-6)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 0;\frac{6}{7} \right \}$

tương ứng với: $y\in \left \{ 0;\frac{216}{49} \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x(7x^2-12)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ -\frac{2\sqrt{21}}{7};0;\frac{2\sqrt{21}}{7} \right \}$

tương ứng với $y\in \left \{ -\frac{24\sqrt{21}}{7};0;\frac{24\sqrt{21}}{7} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(2;24);(-2;-24);\left(\frac{6}{7};\frac{216}{49}\right);\left ( \frac{2\sqrt{21}}{7};\frac{24\sqrt{21}}{7} \right );\left ( \frac{-2\sqrt{21}}{7};\frac{-24\sqrt{21}}{7} \right ) \right \}$

Mở rộng 3:

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(x-2z)(x-3z)=0\\(y-z)(y-4z)=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

Ta xét 4 trường hợp sau:

 

*) TH1: $\begin{cases}x-2z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=3z^2+2z\Leftrightarrow 16z^2=3z^2$

$\Leftrightarrow z=0$ suy ra $x=y=0$

 

*) TH2: $\begin{cases}x-2z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=48z^2+8z\Leftrightarrow 16z^2=3z$

$\Leftrightarrow z(16z-3)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=\frac{3}{16}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4} \right )$

 

*) TH3: $\begin{cases}x-3z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=3z^2+2z\Leftrightarrow 33z^2+z=0$

$\Leftrightarrow z(33z+1)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{1}{33}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-1}{11};\frac{-1}{33} \right )$

 

*) TH4: $\begin{cases}x-3z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=48z^2+8z\Leftrightarrow 12z^2+5z=0$

$\Leftrightarrow z(12z+5)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{5}{12}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-5}{4};\frac{-5}{3} \right )$

 

Vậy $(x;y;z)\in \left \{ (0;0;0);\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4};\frac{3}{16} \right );\left ( -\frac{1}{11};-\frac{1}{33};-\frac{1}{33} \right );\left ( -\frac{5}{4};-\frac{5}{3};-\frac{5}{12} \right ) \right \}$

Mình nghĩ 3 mở rộng này không liên quan tới bài toán nhiều cậu à

Từ phương trình đầu phân tích thành nhân tử ta có

                                   $8x^{2}+12y^{2}-20xy=8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=(8x-12y)(x-y)=4(2x-3y)(x-y)=0$ 

Đến đây xảy ra hai trường hợp là $x=y$ hoặc $2x=3y$

Ta xét trường hợp đầu tiên là $x=y$ khi đó thay vào phương trình thứ hai thu được

                                    $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x<=>3x^{2}-3x+1=0$

Phương trình này vô nghiệm do $\Delta = (-3)^{2}-12=-3<0$ 

Vậy chỉ còn trường hợp $2x=3y$ thay vào theo biến $y$ thu được

                                     $4x^{2}-6x+1=(2x)^{2}-3.(2x)+1=9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y<=>8y^{2}-6y+1=0$

Điều này tương đương với $8y^{2}-4y-2y+1=0<=>4y(2y-1)-(2y-1)=0<=>(2y-1)(4y-1)=0$

Nên hoặc là $y=\frac{1}{2}$ hoặc là $y=\frac{1}{4}$ từ đó có $x$ hoặc là $\frac{3}{4}$ hoặc là $\frac{3}{8}$

Kết luận , phương trình có các nghiệm $(x,y)=(\frac{3}{4},\frac{1}{2});(\frac{3}{8},\frac{1}{4})$

Chỗ này chưa thực sự chính xác vì 

nhừ thế sẽ có hoán vị và phương trình có 4 nghiệm cậu nên viết cẩn thận

MSS 13:Bùi Minh Hiếu

Mở Rộng 1:

Tổng quát

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+bxy+cy^{2}=0(I) & \\ mx^{2}+nx+py^{2}+qy+k=0(II)& \end{matrix}\right.$($b^{2}\geq 4ac;a\neq 0$)

Giải:

Từ phương trình 

$(I)\Leftrightarrow ax^{2}+bxy+cy^{2}=0$

Xét biệt số $\Delta =y^{2}(b^{2}-4ac)$

Do đó $\begin{bmatrix} x=\frac{y(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a} & \\ x=\frac{y(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a}& \end{bmatrix}$

Thay lần lượt các giá trị của $x$ theo $y$ vào phương trình $(II)$ ta được phương trình bậc 2 ẩn y từ đó ta dễ dàng tìm được y và x

Ta có x và y thỏa mãn hệ(lưy ý hệ có tối đa 4 nghiệm)

_______________________
Không chấp nhận MR này

$D_{mr} = 0$

Sao vậy anh bạn này còn bá đạo hơn em mà vẫn hơn điểm em?

MSS19
$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-2xy-3xy+3y^{2}=0 \Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0 \Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0 \Rightarrow 2x-3y=0$
hoặc $x-y=0$
Nếu $x-y=0$ thì $x=y$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0 \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x^{2}-x+ \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow$

vô lý
Nếu $2x-3y=0$ thì $x= \frac{3y}{2}$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4.( \frac{3y}{2})^{2}-6. \frac{3y}{2}+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1 =0 \Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0 \Leftrightarrow 4y(2y-1)-(2y-1)=0 \Leftrightarrow (4y-1)(2y-1)=0 \Rightarrow 4y-1=0$ hoặc $2y-1=0 \Rightarrow y= \frac{1}{4}$
hoặc $y= \frac{1}{2}$

mà $x= \frac{3y}{2} \Rightarrow$

Với $y= \frac{1}{4}$

thì $x= \frac{3}{8}$

Với $y= \frac{1}{2}$

thì $x= \frac{3}{4}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x= \frac{3}{8};y= \frac{1}{4}$

và $x= \frac{3}{4};y= \frac{1}{2}$
_______________________
Kết luận sai

$d = 8$

$S = 40$