Vector là công cụ hay đối tượng. Theo cả 2 nghĩa thì bài toán hình vector đều là các bài toán thú vị. Bài toán sau từ đề kiểm tra 1 tiết lớp A1 Toán K48

61)

Cho tam giác $ABC$ và $P,Q$ là hai điểm bất kỳ. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $QA,PC,PB$. Dựng điểm $R$ sao cho

$$BC.\overrightarrow{RQ}+DE.\overrightarrow{RB}+DF.\overrightarrow{RC}=(DE+DF)\overrightarrow{PA}.$$

Chứng minh rằng $QR$ song song với phân giác góc $\angle EDF$.

Xin lỗi Toàn, đúng là bài đó thầy bị sai đề, sửa lại đề đúng như sau

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle ABD$ cắt $(O)$ tại $N$. Gọi $NM$ là đường kính của  $(O)$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ cắt đường thẳng qua $E$ song song $BN$ tại $F$. $FB$ cắt $CA,CN$ lần lượt tại $X,Y$. $FC$ cắt $BA,BN$ lần lượt tại $Z,T$. Chứng minh rằng $YZ\parallel XT$.

Đề này em cũng không thấy song song thầy à.

Screen Shot 2014-10-24 at 5.07.57 pm.png

Thầy xin lỗi đúng là vẫn bị sai, đề này thầy nhớ là đã chế lại từ 1 bài trên AoPS nhưng không còn nhớ link gốc nữa, tuy vậy vẽ hình lại vẫn sửa được lại thế này thì đúng

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle ABD$ cắt $(O)$ tại $N$. $NM$ là đường kính của $(O)$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ cắt đường thẳng qua $E$ song song $BN$ tại $F$. $FB$ cắt $CA,CN$ lần lượt tại $X,Y$. $FC$ cắt $BN,BD$ lần lượt tại $Z,T$. Chứng minh rằng $YZ\parallel XT$.

Bài 7 đề đúng, em ạ.

Thực sự là một số đề này mình đã lấy nguồn từ AoPS nhưng vì hồi đó chủ yếu chỉ nhằm mục đích tập huấn đội chứ không phải viết bài, nên không lưu lại link chỉ lưu lại đề bài trong máy, việc cho lên diễn đàn chỉ mang tính chia sẻ học thuật chứ không phải cố tình vi phạm trích dẫn. Cũng có nhiều bài là của mình hoặc mình đã chế biến. Có gì sai sót ở đề mọi người cùng góp ý, nếu bạn nào biết link gốc xin hãy link lại giúp, mình xin cám ơn.

Bài toán sau liên quan tới bài 1 http://www.artofprob...p?f=48&t=611373

Câu hình ngày 2 thử tham khảo link này http://www.artofprob....php?p=1555921

Về bài hình ngày 1 http://analgeomatica...-2015-ngay.html

Lời giải cho hai bài hình học vòng 2

Ngày 1 http://analgeomatica...nd-2-day-1.html

Ngày 2 http://analgeomatica...nd-2-day-2.html

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

Ngày thi thứ hai

Câu 1. Cho hai dãy $(x_n) , (y_n)$ thỏa mãn $x_0 = 1 , y_0 = 0$ và $x_n = 3x_{n-1}+4y_{n-1}$ và $y_n = 2x_{n-1}+3y_{n-1}$. Tìm số dư của phép chia $x_{2014}^2$ cho $y_{2015}$.

Câu 2. Cho $a\ge 0$ và $b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P= \sqrt[5]{\dfrac{abc}{b+c}} + \sqrt[5]{\dfrac{b}{c(1+ab)}} + \sqrt[5]{\dfrac{c}{b(1+ac)}}.$$

Câu 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp. $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $CD,AB$. $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{BD^2}{AC^2}$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $PN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMP$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDC$ tiếp xúc nhau.

Câu 4. Cho $n$-giác đều với $n\ge 6$. Một đường thẳng gọi là tốt nếu nó đi qua miền trong đa giác. Cho $m$ đường thẳng tốt cắt nhau tạo thành các đa giác con trong đa giác đã cho. Tìm $m$ bé nhất sao cho mọi cách kẻ mọi $m$ đường thẳng tốt tồn tại duy nhất đa giác con là tam hoặc tứ giác.

Lời giải các câu hình học vòng 1

Ngày 1 http://analgeomatica...nd-1-day-1.html

Ngày 2 http://analgeomatica...-problem-1.html

Tóm tắt. Bài viết này sẽ viết về các bài toán họ đường thẳng, đường tròn luôn đi qua một điểm cố định mang nội dung thi Olympic với các công cụ hình học thuần túy.

http://analgeomatica...iem-co-inh.html

Lời giải câu hình http://analgeomatica...oi-bai-thi.html

Câu hình là 1 trong các ứng dụng đẹp của phương tích với đường tròn điểm, đã có tại đây

http://www.artofprob...p?f=47&t=459501

Bài hình ngày 2 http://analgeomatica...n-viet-nam.html

Đáp án chính thức bài hình

a) Dễ thấy tam giác $SAI$ và $DTJ$ cân và có $\angle ASI=\angle DTJ$ nên hai tam giác đó dồng dạng. Lại dễ chứng minh tứ giác $AIJD$ nội tiếp nên $\angle MAI=\angle IAD=\angle DJN$ và $\angle NDJ=\angle JDA=\angle AIM$. Từ đó hai tam giác $MAI$ và $NJD$ đồng dạng. Từ đó suy ra $SMA$ và $TNJ$ đồng dạng. Vậy $\angle ASM=\angle NTJ$ do đó $SM$ và $TN$ cắt nhau tại $E$ trên đường tròn $(O)$.

b) Gọi $AB$ cắt $CD$ tại $G$. $GE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. Ta thấy $GC.GD=GE.GF=GM.GQ$. Từ đó tứ giác $MQFE$ nội tiếp nên $\angle QFE=\angle AME=\angle MAS+\angle MSA=\angle MBS+\angle AFE=\angle SFA+\angle ASE=\angle EFS$. Từ đó $S,Q,F$ thẳng hàng. Tương tự $T,P,F$ thẳng hàng. Từ chứng minh trên $SMA$ và $TNJ$ đồng dạng nên tam giác $GMN$ cân suy ra $GM=GN$. Lại có $GM.GQ=GN.GP$ nên $GP=GQ$ suy ra $PQ\parallel MN\parallel ST$. Từ đó đường tròn nội tiếp tam giác $FPQ$ tiếp xúc $(O)$. Vậy theo định lý Poncelet nếu $PQ$ cắt $DB,AC$ tại $U,V$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $FUV$ cũng tiếp xúc $(O)$ và tiếp xúc $DB,AC$. Từ đó theo định lý Thebault thì $PQ$ đi qua tâm nội tiếp hai tam giác $ABC$ và $DBC$.


 

Đáp án và bình luận hai bài hình

http://analgeomatica...pic-chuyen.html

Lời giải ở file đính kèm

Bài hình http://www.artofprob...h488831p2739334SL 2011 G6

Hôm nào rảnh sẽ viết bình luận chị tiết cho 2 bài hình, chỉ lưu ý rằng ngày 2 là một kết quả hình học khá dị vì điều kiện $AB<AC$ nhất thiết cần nếu ko bài toán ko đúng. Hơn nữa khi vẽ đối xứng tức gọi $AB$ cắt $CQ$ tại $E$ thì kết luận sai, như vậy đây là một bài toán không đối xứng !

Bài hình nếu phát biểu che đi được điểm cố định $E$ thì sẽ có ý nghĩa hơn, bài toán sau là một khai thác ý a),b) và sử dụng ý c)

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn qua $O,I$ tiếp xúc $IA$ cắt trung trực $BC$ tại $F$ khác $O$. $P$ là một điểm di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$.

a) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $POF$ luôn đi qua điểm $E$ cố định khi $P$ thay đổi.

b) Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC$. $KE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OIE$ tại $L$ khác $E$. Chứng minh rằng $L$ nằm trên $(O)$.

Giải. a) Gọi $AI$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$ thì $E$ là tâm ngoại tiếp tam giác $IBC$. Từ đó $EP^2=EI^2=EO.EF$. Từ đó $EP$ tiếp xúc đường tròn $(POF)$ hay tiếp tuyến tại $P$ của $(POF)$ đi qua $E$ cố định.

Có thể tham khảo lời giải và bình luận hai bài hình học tại đây http://analgeomatica...op-10-thpt.html

Có thể xem đáp án bài toán trên ở đây http://analgeomatica...ky-thi-vao.html

Đáp án bài 3

a) Gọi $AD$ giao $BC$ tại $M$ và $AB$ giao $CD$ tại $N$. Ta có kết quả quen thuộc $OE$ vuông góc $MN$ tại $F$ là điểm Miquel của tứ giác $ABCD$. Do đó tứ giác $FADN$ nội tiếp. Mặt khác theo tính chất trục đẳng phương dễ thấy $PQ$ đi qua $M$. Từ đó $MF.MN=MA.MD=MQ.MP$ suy ra tứ giác $NFQP$ nội tiếp suy ra $\angle NQP=\angle NFP=90^\circ$ suy ra $\angle MQN=90^\circ$ vậy $Q$ thuộc đường tròn đường kính $MN$ cố định.

b) Tương tự phần a) dễ thấy $MR$ vuông góc $NP$ tại $R$. Do đó trong tam giác $PMN$ các đường cao $NQ,MR$ và $PF$ đồng quy. Gọi $RQ$ giao $MN$ tại $L$. Theo hàng điều hòa cơ bản dễ thấy $(MN,FL)=-1$. Mà $M,N,F$ cố định suy ra $L$ cố định, vậy $QR$ đi qua $L$ cố định.

Ego tạm nghỉ thôi, chắc chắn sẽ quay lại

Kết quả của bài hình có thể coi là một cách mở rộng đường tròn Euler cho tứ giác, có thể phát biểu gộp lại như sau

Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $MNP$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$. Chứng minh rằng $L$ là trực tâm tam giác $ECD$.

Khi $A,B$ và $E$ trùng nhau. Ta thu được đường tròn Euler cho tam giác.

Cám ơn Toàn về sự quan tâm và lời giải rất hay , hãyđón đọc số tuần sau nhé !