Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$

 

$\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=x.a\sqrt{2}$

 

Ta có: 

$\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}AB^2$

 

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}MA.AB.cos135+\frac{1}{3}AB^2=-\frac{a^2}{9}$

 

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.x.a\sqrt{2}.-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{3}a^2=-\frac{a^2}{9}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}a$

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ?

À hình vuông ạ. Em đẫ sửa lại ở trên đề rồi ạ!

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Dạ bác cho em hỏi có cách nào để tư duy ra điểm C. hay phần này có một dạng riêng nào không ạ?
Nếu như đề thay thày $4a^2$ thì phải thay đổi cách làm như thế nào ạ? Hoặc một cách tổng quát hơn $n.a^2$
Mình có thử việc coi như $a=1$ rồi tham số hoá toạ độ, nhưng kết quả lại không được khả thi lắm
thank bác

Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $O$  là trung điểm của $AB$. Cho $OA=a$.

Biết quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $MA^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MO}=2a^2$ là một đường tròn. 

Tìm bán kính của đường tròn đó.