Bài toán 16: Giải phương trình:

$$(2x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{3x+2})=4(x+1)$$

Bài 16: (Định lý Stewart dạng đơn giản) Cho điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$, khi đó ta có:

$AB^{2}.CD+AC^{2}.BC=BC.(AD^{2}+BD.DC)$

 

Vẽ đường cao AH.

Ta có: $AB^2=AH^2+BH^2=AH^2+(BD+DH)^2;AC^2=AH^2+CH^2=AH^2+(CD-DH)^2;AD^2=AH^2+DH^2$

$\Rightarrow AB^2.DC+AC^2.BD-AD^2.BC$

$=[AH^2+(BD+DH)^2].DC+[AH^2-(CD-DH)^2].BD-(AH^2+DH^2).BC$

$=BD^2.DC+DH^2.DC+CD^2.BD+DH^2.BD-DH^2.BC$

$=BD.DC(BD+CD)=BD.DC.BC$

$\fbox{50}$

Đặt $\alpha=(\frac{180}{7})^o$ . chứng minh: $\frac{1}{Sin \alpha}=\frac{1}{Sin 2\alpha}+\frac{1}{Sin 3 \alpha}$

$\fbox{51}$

Các đường tròn $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $ tiếp xúc ngoài với 1 đường tròn cho trước lần lượt tại 4 đỉnh $A,B,C,D$ của tứ giác lồi ABCD. Giả sử $t_{\alpha \beta }$ là độ dài của tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn $\alpha ,\beta$. Tương tự ta định nghĩa $t_{\beta \gamma  },t_{\gamma \delta }, t_{\delta \alpha },t_{\alpha \gamma },t_{\beta \delta }$.

Chứng minh rằng: $t_{\alpha \beta }.t_{\alpha \delta }+t_{\beta \gamma }.t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }.t_{\beta \delta }$

Bài 1. CMR: Với mọi $n \in Z^+$ số: $A(n)=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ chia hết cho 91

Bài 2. Cho $x,y \geq 0$ thỏa mãn $xy=1$. Tìm max:

$A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}$

Bài 3. GPT: 

$\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

Bài 4. Xét 1 hình vuông và 1 hình tam giác. Nếu 2 hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=45^o$, BC=a, O là tân đường tròn ngoại tiếp; B',C' tương ứng là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC, AB. Gọi O' là điểm đối xứng O qua B'C'.

a. CM: A,B'O',C' cùng năm trên 1 đường tròn. 

b. Tính B'C' theo a.

Câu 1.

a. Tìm $n \in N$ để: $n^4+3n^3+4n^2+3n+3$ là số nguyên tố.

b.Cho $a,b,c \in Q$ và a,b,c đôi một khác nhau.

CMR: $\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$  là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Câu 2.

a. GPT: $x^2.\left [ 1+\frac{1}{(x+1)^2} \right ]=8$

b. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Câu 3.

Cho hình vuông ABCD. Qua D kẻ đường thẳng d cắt tia đối của tia AB tại M, cắt tia đối của tia CB tại N. MC cắt AD tại E; cắt NA tại K. NA cắt CD tại F. BK cắt CD tại H.

a. CM: EF //MN..

b.CM: K là trực tâm của tam giác BEF

c. Tính số đo góc DHN khi MA>NC.

Câu 4.

Cho $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in R$). Biết P(0);P(1);P(2) là các số nguyên.

CMR: mọi $x \in Z$ thì $P(x) \in Z$.

Câu 5.

a. Cho $x+y+z=0$; $-1 \leq x;y;z \leq 1$. Tìm max: $P=x^2+y^2+z^2$

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

 

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

DỄ cm được BDT: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(1)$

Từ (1) ta có: $\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}$ $+\dfrac{8}{c+a}\leq (a+b)(\dfrac{1}{a^2}$ $+\dfrac{1}{b^2})+(b+c)(\dfrac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})+(a+c)(\dfrac{1}{a^2} +\frac{1}{c^2})$

Mặt khác: $VP\geq 2(\sum  \frac{1}{a})$

Kết hợp với giả thiết là chứng minh được.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

 

Đề thi khảo sát đội tuyển trường THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình

Thời gian: 150 phút

1/ Cho a,b,c,d nguyên thỏa: $4(c^5+d^5)=a^5+b^5$.

CMR: a+b+c+d chia hết cho 5.

2/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

 

4/ Cho tg ABC, O nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tg ABC tại M,N,P.

a/ CMR: $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

 

 

1.

Từ GT suy ra $\Rightarrow a^5+b^5+c^5+d^5\vdots 5$

Xét hiệu $(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d)$ 

..
2. Áp dụng Bunhi.

3. Từ O kẻ AH và OH' vuông góc BC. Dùng tỉ số diện tích.

Áp dụng BĐT:  $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

..

Đẳng thức xảy ra khi O là giao của các đường trung tuyến.

 

b, cho 3 số x ; y ; z thoả mãn đồng thời:

            $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y+1=0 & \\ y^{2}+2z+1=0& \\ z^{2}+2x+1=0 & \end{matrix}\right.$

CMR: biểu thức $A=x^{2006}+y^{2006}+z^{2006}$ là 1 số nguyên.

 

Cộng vế vế 3 DT trên suy ra $x=y=z=-1 \rightarrow A=3 \in Z$ 

ĐỀ THI CHỌN ĐT TP ( Lần 1).

Ảnh hơi mờ. 

 

CMR: $0<\alpha <45^0\rightarrow cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$

 

 

Vẽ như hình vẽ.Ta có:$\left\{\begin{matrix}BK=a.cos\alpha &  & \\ KC=a.sin \alpha (1)&  & \\ BC=a &  & \end{matrix}\right.$

$AB=AC=\frac{a}{2sin\alpha };BK=AB.sin2\alpha =\frac{asin2\alpha}{ 2 sin\alpha };AK=AB.cos2\alpha =\frac{acos2\alpha}{ 2 sin\alpha}$

$KC=AC- AK=\frac{a}{2 sin\alpha }-\frac{a cos 2\alpha }{2 sin \alpha }(2)$

Từ (1), (2) $\Rightarrow a. cos\alpha =\frac{a -a.cos2\alpha  }{2sin\alpha }\Rightarrow 2a.sin^2a=a-acos2a\Rightarrow cos2a=1-2sin^2\alpha \Rightarrow dpcm.$

______________________________

Cái câu tính tan 15. Không biết phải giải ra hay được dùng máy tính?

Nếu dùng máy thì: $tan 15^o=2-\sqrt{3}$

2a. $2\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{2x^2+4x}=x-2$ (nghĩ mà muốn làm gì cái câu này.)

6. Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$

Chứng minh: $a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$

Câu này dễ rồi.

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Áp dụng AM-GM 3 số là ra ngay.

$min_A=3 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$

_____________

Em chỉ biết làm câu dễ thôi.

Đề số 2

Câu 1: 1. Gpt: $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{x^2+8}=4$ (1)

 

dk: $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.

Do 2 vế ko âm nên ta có:

(1) $\leftrightarrow 2\sqrt{(2-x^2)(x^2+8)}=6$

      $\leftrightarrow (2-x^2)(x^2+8)=9$

 $\leftrightarrow -x^4-6x^2+7=0$

Áp dụng vi-et (các hệ số cộng với nhau bằng 0).Dễ Dàng giải dc pt này. 

Đề số 2

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ td:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=7 & \\ [(x+y)^2-2xy]-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ (7-xy)^2-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ xy=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 3 & \\ xy=2 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

 

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12$

Câu 3b. 

Ta có:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^3}}\geq \frac{1}{1+\frac{(b+c)^2}{2a^2}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

TT ta dc 2 BDT. Cộng vế vế ta dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

 

 

       c, Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85& \end{matrix}\right.$ (I)

 

Dễ thấy $x-y;x+y \neq 0$

Ta có: 

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{45}{x+y} & \\ x^2+y^2=\frac{85}{x-y} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{45}{x+y}=\frac{85}{x-y}\Rightarrow -40x=89y$

Rút x từ y thế vào (I) tìm được nghiệm.

_______________ 

Hướng làm là như thế. 

 

b, Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR : 

P = $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c} \geq 26$

 

Here

Góp 1 đề nữa. 

Bài 4 một cách nữa.

 $(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})=A$

Áp dụng BCS:

$A^2\leq 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c})$(1)

Mặt khác:

$\frac{a}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c});$

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

     

$P=\frac{1}{(b+c)^2-a^2-2bc}+\frac{1}{(a+c)^2-b^2-2ac}+\frac{1}{(a+b)^2-c^2-2ab}=\frac{-1}{2b}(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=0$

mình vội nên chép nhầm đề rồi phải là $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$ (I)

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(x^2+y^2)=85 (1) & \\ (x+y)^2(x-y)=45 & \end{matrix}\right.(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow (x-y)2xy=-40(3)$

$(1)-(3)\Rightarrow (x-y)^3=125$

Do đó:

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)^3=125 & \\ (x+y)^2=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=5 & \\ x+y=\pm 3 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Chuyển vế. Quy đồng khử mẫu.( $x \neq -2$). 

Xong phân tích thành nhân tử. Tìm nghiệm.
p/s: Chắc thế nhỉ?