1.

a. $x+\sqrt{3}=2$. Tính $A=x^5-3x^4-3x^3+x^2-20x+2014$

b. Cho các số nguyên dương a,b,c ($b \neq1$) sao cho $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là 1 số hữu tỉ.

cm: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

2. 

1. Cho hàm số bậc nhất: $y=ax+b$ có đồ thị đi qua M(1;4). Biết đồ thị hàm số cắt Ox tại P có hoành độ dương, cắt trục Oy tại Q có tung độ dương. Tìm (a;b) sao cho OP+OQ đạt min.

2. cm: Mọi điểm M(x;y) luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi (x;y) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=m & \\  x+(m-1)y=2& \end{matrix}\right.$

3.

1. Gpt: $2x(2+\sqrt{4x^2+1})=(x+1)(2+\sqrt{x^2+2x+2})$

2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn $y^3=x^3+2x^2+3x+2$

4. Cho x,y dương. Tìm min:

---> --->

Đề số 2

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ td:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=7 & \\ [(x+y)^2-2xy]-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ (7-xy)^2-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ xy=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 3 & \\ xy=2 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này.

 

Cầu 5: 1đ Giải phương trình :$2014x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2014} +x^{2} = 2013.2014$

 

Đề số 2

Câu 1: 1. Gpt: $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{x^2+8}=4$ (1)

 

dk: $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.

Do 2 vế ko âm nên ta có:

(1) $\leftrightarrow 2\sqrt{(2-x^2)(x^2+8)}=6$

      $\leftrightarrow (2-x^2)(x^2+8)=9$

 $\leftrightarrow -x^4-6x^2+7=0$

Áp dụng vi-et (các hệ số cộng với nhau bằng 0).Dễ Dàng giải dc pt này. 

Câu 1.

a. Tìm $n \in N$ để: $n^4+3n^3+4n^2+3n+3$ là số nguyên tố.

b.Cho $a,b,c \in Q$ và a,b,c đôi một khác nhau.

CMR: $\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$  là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Câu 2.

a. GPT: $x^2.\left [ 1+\frac{1}{(x+1)^2} \right ]=8$

b. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Câu 3.

Cho hình vuông ABCD. Qua D kẻ đường thẳng d cắt tia đối của tia AB tại M, cắt tia đối của tia CB tại N. MC cắt AD tại E; cắt NA tại K. NA cắt CD tại F. BK cắt CD tại H.

a. CM: EF //MN..

b.CM: K là trực tâm của tam giác BEF

c. Tính số đo góc DHN khi MA>NC.

Câu 4.

Cho $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in R$). Biết P(0);P(1);P(2) là các số nguyên.

CMR: mọi $x \in Z$ thì $P(x) \in Z$.

Câu 5.

a. Cho $x+y+z=0$; $-1 \leq x;y;z \leq 1$. Tìm max: $P=x^2+y^2+z^2$

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

Góp 1 đề nữa. 

Bài 4 một cách nữa.

 $(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})=A$

Áp dụng BCS:

$A^2\leq 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c})$(1)

Mặt khác:

$\frac{a}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c});$

Câu 3b. 

Ta có:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^3}}\geq \frac{1}{1+\frac{(b+c)^2}{2a^2}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

TT ta dc 2 BDT. Cộng vế vế ta dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Đề ôn hsg lớp 9

( vừa làm sáng nay giờ post lên cho mọi người làm )

 

b, Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.

      Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

A = $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

 

$\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$

TT ta được 2 bdt nữa. Cộng vế vế là dc. 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Thật chẳng hiểu cái đề câu 5 hình nó vẽ như thế nào. Thành thử không làm nổi nguyên cái bài hình.

Đăng tiếp được chứ chủ pic??

Đề Kiểm tra ĐT đợt 3 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa.

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)
Câu 3: a)Tìm các số nguyên dương n sao cho $P=\frac{n(n+1)}{2} -1$ là số nguyên tố 
b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
Câu 4:a) Cho tam giác ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của I trên AB,AC,BC và H là hình chiều của F trên DE. Chứng minh rằng $AD=\frac{(AB+AC-BC)}{2}$ và HF là tia phân giác của góc BHC
b)Cho tam giác ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=20^o$  ,BC=a,AB=b.Chứng minh rằng $a^3+b^3=3ab^2$
Câu 5:a) Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $S_n=a^n+b^n+c^n$ với n thuộc N* ,biết $S \leq 5; S_2\leq 11$.

Chứng minh $S_n=3^n+2$

b) Tìm các số x,y thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+x=2$ và $\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}$ .

________

Đề mới đọc ko có đáp án nên cho làm chung với nhé!

 

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

DỄ cm được BDT: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(1)$

Từ (1) ta có: $\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}$ $+\dfrac{8}{c+a}\leq (a+b)(\dfrac{1}{a^2}$ $+\dfrac{1}{b^2})+(b+c)(\dfrac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})+(a+c)(\dfrac{1}{a^2} +\frac{1}{c^2})$

Mặt khác: $VP\geq 2(\sum  \frac{1}{a})$

Kết hợp với giả thiết là chứng minh được.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

 

b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
 

 

Do $a,b,c$ nguyên nên 1 3 số luôn nhận các giá trị 1 hoặc -1 Do $abc=1$ nên trong 1 trong 3 số phải có 2 số cùng âm hoặc cả 3 số cùng dương.

xét:

TH1: 2 số cùng âm. Giả sử $a=b=-1;c=1$ ( do a,b,c có vai trò như nhau nên có thể tuỳ chọn biến). Thay vào ta tính dc: $Q=\frac{1}{2}$

Hoặc có thể do ở mẫu của các phân thức giá trị của a,b,c luôn dương nên có thể tìm luôn được $Q=\frac{1}{2}$ thay vì xét TH. Câu này nên đổi thành tính GT biểu thức luôn nhỉ.  

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Chuyển vế. Quy đồng khử mẫu.( $x \neq -2$). 

Xong phân tích thành nhân tử. Tìm nghiệm.
p/s: Chắc thế nhỉ? 

 

 

Câu 2 ( 6 điểm ) 

       a, Giải phương trình : $2x^{2} - 8x - 3 \sqrt{x^{2}-4x -8} =18$ (1)

      

 

DKXD: $x\geq 2(1+\sqrt{3});x\leq 2(1-\sqrt{3})$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2-4x-8)-3\sqrt{x^2-4x-8}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^2-4x-8}=a\geq 0$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow 2a^2-3a-2$

Dễ dàng giải dc pt này. Tìm a tìm x loại nghiệm.

 

       b, Giải bất phương trình : $\left | 2x - 7 \right | < x^{2} +2x +2$ (2)

       

 

$(1)\Leftrightarrow -(x^2+2x+2)<2x-7<x^2+2x+2$

$-(x^2+2x+2)<2x-7 \Leftrightarrow (x-1)(x+5)>0\Leftrightarrow x>1;x<-5$

$2x-7<x^2+2x+2 \Leftrightarrow x^2+9>0$ (luôn đúng)

 

Đề ôn hsg lớp 9

( vừa làm sáng nay giờ post lên cho mọi người làm )

Câu 1( 4 điểm) : 

a, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì   $n^{5}-n \vdots 1 0$

b, Giải phương trình : $x^{2}+x+12\sqrt{x+1}=36$

 

 

1.

a. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 10 => ĐPCM

b. Đặt $\sqrt{x+1}=a$ sau đó rút x theo a là được.

Góp 1 đề nữa. 

 

b, Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR : 

P = $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c} \geq 26$

 

Here

 

 

 

       c, Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85& \end{matrix}\right.$ (I)

 

Dễ thấy $x-y;x+y \neq 0$

Ta có: 

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{45}{x+y} & \\ x^2+y^2=\frac{85}{x-y} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{45}{x+y}=\frac{85}{x-y}\Rightarrow -40x=89y$

Rút x từ y thế vào (I) tìm được nghiệm.

_______________ 

Hướng làm là như thế. 

Bài 1. CMR: Với mọi $n \in Z^+$ số: $A(n)=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ chia hết cho 91

Bài 2. Cho $x,y \geq 0$ thỏa mãn $xy=1$. Tìm max:

$A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}$

Bài 3. GPT: 

$\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

Bài 4. Xét 1 hình vuông và 1 hình tam giác. Nếu 2 hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=45^o$, BC=a, O là tân đường tròn ngoại tiếp; B',C' tương ứng là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC, AB. Gọi O' là điểm đối xứng O qua B'C'.

a. CM: A,B'O',C' cùng năm trên 1 đường tròn. 

b. Tính B'C' theo a.

mình vội nên chép nhầm đề rồi phải là $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$ (I)

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(x^2+y^2)=85 (1) & \\ (x+y)^2(x-y)=45 & \end{matrix}\right.(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow (x-y)2xy=-40(3)$

$(1)-(3)\Rightarrow (x-y)^3=125$

Do đó:

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)^3=125 & \\ (x+y)^2=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=5 & \\ x+y=\pm 3 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình: x² - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  khi m thay đổi.

 

 

Ta có: $\Delta '=(m-1)^2 \geq 0 \rightarrow dpcm$

Theo Viet ta có: $P=\frac{4m+1}{4m^2+2}$

Xét $\frac{4m+1}{4m^2+2}-1=\frac{(m-\frac{1}{2})^2}{m^2+\frac{1}{2}}\geq 0$

Vậy $max_P=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

     

$P=\frac{1}{(b+c)^2-a^2-2bc}+\frac{1}{(a+c)^2-b^2-2ac}+\frac{1}{(a+b)^2-c^2-2ab}=\frac{-1}{2b}(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=0$

ĐỀ THI CHỌN ĐT TP ( Lần 1).

Ảnh hơi mờ.