Nếu như muốn sử dụng định lí Ptoleme trong bài thi thì không cần chứng minh .

 

ĐỀ SỐ 9

 

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

 

 

ĐỀ SỐ 8

 

b.Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

 

Giải quyết bài này đi mọi người

Dấu gì thế bạn ??? 

a.Giải phương trình:$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Phương trình đưa về $2(x^2-2x-1)+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$

$\Leftrightarrow 2(x^2-2x-1)=(x-2)-\sqrt[3]{x^3-14}$

$\Leftrightarrow 2(x^2-2x-1)=\frac{(x-2)^3-(x^3-14)}{(x-2)^2+(x-2).\sqrt[3]{x^3-14}+\sqrt[3]{(x^3-14)^2}}$

(nhân liên hợp)

$\Leftrightarrow 2(x^2-2x-1)=\frac{-6(x^2-2x-1)}{(x-2)^2+(x-2).\sqrt[3]{x^3-14}+\sqrt[3]{(x^3-14)^2}}$

Đến đây thì dễ oy

 

sao chỗ này lại thế? Bảo mình với..

phải là $2\sqrt{x^2-2x-1}$ chứ nhỉ?

bai1

 

$(x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y-1)}{x+y}+x+y-1=0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [\frac{(x-y)^2}{x+y} +1\right ]\Leftrightarrow x+y=1$

thế vào (2) được: $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy thì còn TH: $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1=0$ thì sao?

Bạn mới chỉ chỉ ra được 1 TH thôi.

tô xanh ; đỏ; đen. Vàng ở đâu?
P/s:

 

Đen là màu vàng

ĐỀ Bài Chuẩn

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu đen?

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$|a−b|=2

 

ĐỀ SỐ 4

Bài 5:

Cho tập  $X= {1;\sqrt{2};\sqrt{3};.....;\sqrt{2012} }$. CMR: trong 90 số khác nhau lấy từ tập X luôn tồn tại 2 số a, b thoả mãn $\left | a-b \right |< \frac{1}{2}$

 

 

Tham khảo tại  đây nhé mọi người: http://diendantoanho...rac12/?p=480284

Đây

Giải:

Nhận xét rằng như $\sum_{i=1}^{11}(a_{i}-1)+(4a_{i}-1)=2013$ nó sau cho vấn đề

Dịch theo google thì như thế này

Nhận xét rằng như \ sum_ {i = 1} ^ {11} (a_i - 1) + (4a_i - 1) = 2013, sau cho vấn đề này để giữ đúng chúng ta cần n \ equiv -1 \ pmod {a_i} và n \ equiv -1 \ pmod {} 4a_i với mỗi i ngoại trừ n \ equiv -2 \ pmod {a_i} hoặc n \ equiv -2 \ pmod {} 4a_i cho một trong những tôi. Điều này có nghĩa đối với một số i chúng tôi đã n tương đương với -1 hoặc -2 a_i modulo hoặc 4a_i và chúng khác nhau. Đây rõ ràng là không thể vì điều này đòi hỏi a_i | (-1 - (-2)) \ ngụ ý a_i = 1, mâu thuẫn như vậy không có $ n tồn tại.

P/s: Nếu dịch thế này thì tớ không hiểu gì

 

Rất xin lỗi các bạn về sự chậm trễ...!Sau đây là đề số 1...Mong các bạn tích cực!

               ĐỀ SỐ 1              

Bài 5:

 Giả sử $ a_{1}, a_{2}, ......., a_{11} $ là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 đôi một khác nhau thỏa mãn$ a_{1}+a_{2}+....+a_{11}=407$. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của phép chia n cho 22 số$ a_{1} , a_{1},......,a_{11}, 4a_{1}, 4a_{2},.....,4a_{11} $bằng 2012

 

Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649

Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

Vào đây nhé mọi người http://diendantoanho...-2013/?p=420500

ĐỀ SỐ 8

Bài 1:

Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$. Biết $P(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $ a>0$

CMR: $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$

Bài 2: 

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: $ a+b=1$

Tìm GTNN của biểu thức: 

$A=\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2013(a^4+b^4)$

Bài 3: 

a.Giải phương trình:$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

b.Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

Bài 4:

Giải:

Từ PT(1) ta được:

$(x-y)(x^{2}-2y)=0$

ta thay vào PT

TH1:$x^2-2y=0$ => $\sqrt{x^2-2y-1}=\sqrt{-1}$ (vô lí )

TH2: $x-y=0$ => $x=y$.........(???)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-x^{2}y-2y^{3}=-xy^{2}-2y^{2} & & \\ 2x^{3}+3xy^{2}=2y^{2}+3x^{2}y & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2x^{3}+3xy^{2}-x^{2}y-2y^{3}=2y^{2}+3x^{2}y-xy^{2}-2y^{2}$

$\Leftrightarrow 2x^{3}-4x^{2}y+4xy^{2}-2y^{3}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{2}+2xy+2y^{2})-4xy(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{2}-2xy+2y^{2})=0$

$\Leftrightarrow (x-y)[(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^{2}]=0$

* TH1: $x=y$ thì $x=y=0$ hoặc $x=y=1$
* TH2: $\left\{\begin{matrix}y=0 & & \\ x=\frac{y}{2}=0 & & \end{matrix}\right.$

Thật tốt vì đã ra được đáp số. Mình lại nghĩ là không ra,

a

$BE\parallel DC\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{HDC}$

$EB\parallel HK\Rightarrow \frac{HK}{EB}=\frac{KC}{BC}$

$DC\parallel HK\Rightarrow \frac{HK}{DC}=\frac{BK}{BC}$

$\Rightarrow \frac{BE}{DC}=\frac{BM}{DN}=\frac{BK}{KC}$

Mà $\frac{BH}{DH}=\frac{BK}{KC}\Rightarrow \frac{BH}{DH}=\frac{BM}{DN}$

Do đó $\triangle MBH\sim \triangle NDH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NHD}$ suy ra đpcm

Nếu có thể bạn hãy post cả hình lên nữa nhé!

 

ĐỀ SỐ 2

b. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2=xy+2y & \\ 2x^3+3xy^2=2y^2+3x^2y & \end{matrix}\right.$

 

Gợi ý:

Nhân cả 2 vế của phương trình (1) với -y rồi cộng vế với vế của PT vừa nhận được với PT(2)

Mọi người thử làm xem có khả quan không?

 

Rất xin lỗi các bạn về sự chậm trễ...!Sau đây là đề số 1...Mong các bạn tích cực!

               ĐỀ SỐ 1              

Bài 3:

b, Cho $x,y,z\geq 0$ và $ x+y+z=3$. CMR: $ 2(x^2+y^2+z^2)+x^2y^2z^2\geq 7$

 

 

Dễ dạng chứng minh được BDT phụ sau:

$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$

$<=> (3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq xyz $

$<=> 27+12(xy+yz+zx)-18(x+y+z)-9xyz\leq 0$

$<=> 12(xy+yz+zx)\leq 9xyz+27 $

$<=> 2(xy+yz+zx)\leq \frac{3}{2}xyz+\frac{9}{2}= xyz+\frac{1}{2}xyz+\frac{9}{2}\leq xyz+\frac{1}{2}(\frac{x+y+z}{3})^3+\frac{9}{2} $

$<=> 2(xy+yz+zx)\leq xyz+5\leq \frac{x^2y^2z^2+1}{2}+5 $

$<=> 4(xy+yz+zx)\leq x^2y^2z^2+11$

$<=> -4(xy+yz+zx)+x^2y^2z^2\geq -11$

Lại có:

$2(x^2+y^2+z^2)+x62y^2z^2=2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)+x^2y^2z^2\geq 18-11=7$

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Bài nào làm rồi thì tô màu đỏ đi cho dễ phát hiện. Dò lâu quá. Có một sự bất tiện là quá 3 ngày thì không được sửa bài nữa.

Mình chưa hiểu ý của bạn lắm

 

ĐỀ SỐ 3

Bài 2:

Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho:

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7})}=\sqrt{2}$

 

 

Đặt $u=\sqrt{2}+\sqrt{7}$

cần tìn đa thức f(x) và g(x) sao cho $f(u)-g(u)\sqrt{2}=0$ hay u là nghiệm của PT: $f(x)-g(x)\sqrt{2}=0$

xét tích:$(x-\sqrt{7}-\sqrt{2})(x-\sqrt{7}+\sqrt{2})=x^2-2\sqrt{7}x+5$

=> u là nghiệm của phương trình: $x^2-2\sqrt{7}x+5=0$

$=> u^2-2\sqrt{7}u+5=0 => \frac{u^2+5}{2u}=\sqrt{7}$

Mặt khác: $\sqrt{2}=u-\sqrt{7}=u-\frac{u^2+5}{2u}=\frac{u^2-5}{2u}$

Từ đó chọn $f(x)=x^2-5$ và $g(x)=2x$ thỏa mãn đề bài

Đặt $a=2013$.\[
\begin{array}{rcl}
 f\left( a \right)f\left( {a + 1} \right) &=& f\left( a \right)\left( {\left( {a + 1} \right)^2  + p\left( {a + 1} \right) + q} \right) \\
  &=& f\left( a \right)\left( {f\left( a \right) + 2a + p + 1} \right) \\
  &=& f\left( a \right)^2  + \left( {2a + p + 1} \right)f\left( a \right) \\
  &=& \left( {f\left( a \right) + a} \right)^2  + \left( {p + 1} \right)f\left( a \right) - a^2  \\
  &=& \left( {f\left( a \right) + a} \right)^2  + pf\left( a \right) + pa + q \\
  &=& f\left( {f\left( a \right) + a} \right) \\
 \end{array}
\]

Bài này nên biến đổi từ dưới lên thì sẽ  hay hơn

Ta có $f(f(k)+k)=f(k).f(k+1)$

 

ĐỀ SỐ 4

Bài 3:

a.Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:$\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2+9abc-a-b-c}$

 

Mọi người thử  xử lí bài này đi !

bạn ơi mình thấy bạn giải hình như còn sót nghiệm (cái cuối mới suy ra)

mình cũng ko biết nó còn nghiệm ko nhưng chưa thể chắc chắn nó ko có nghiệm

Trước hết chứng minh cái trong ngoặc $\neq$  0 đi cơ

Theo mọi người thì có sai sót gì trong lời giải k? Để CM cái biểu thức trong ngoặc khác 0 thì làm sao nhỉ?

Đề vẫn là thế à nếu thế thì $1\vdots a,b\Rightarrow a=b=1$ có luân đpcm

Nhưng mà a, b nguyên dương thì => luôn được 2 phân thức kia nguyên dương rồi mà