Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

có mà

đúng ra là $x,y,z>0$ hoặc $x,y,z<0$ nhưng bạn ấy gõ nhầm

à thế thì có thể xài Cauchy

Vậy Min A = $2\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn mình làm mà không được

Bđt Mincopxki: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi $bc=ad$

Áp dụng vào đi bạn

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+(x+1)^2=y^2$

bài này có thể xài phương pháp biến đổi về phương trình Pell như bạn nntien hoặc bước nhảy Viete, nhưng cách này hơi phức tạp vì cấp 3 mới học

Tìm $m \in Z$để P=$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z$

$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{4m^{2}+4}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{(2m+1)^2-4m-2+5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow 5\vdots (2m+1)$

Tới đây dễ rồi bạn

Co the xay dung lai cach giai pt Pell nhung day la cai sai cua nguoi ra de

Sao lại sai? Mình thấy có sai gì đâu

đây là chương trình lớp mấy đây nhỉ

Đây hình như là chương trình cấp 3 mới đi sâu vào, cấp 2 chỉ cần biết là đủ rồi

Chứng minh rằng ko tồn tại số chính phương có dạng 3k+2

Với số nguyên $a$ bất kỳ, xét 3 trường hợp: $a$ chia hết cho $3$, $a$ chia $3$ dư $1$ và $a$ chia $3$ dư $2$
Tính $a^2$ rồi xét đồng dư với 3 sẽ ra.

$x=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}$, trong đó $x_i \leq x$ từ đó suy ra $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x$

Suy ra lượng sữa lúc đầu cho mỗi chú là:

$0,\frac{x}{6},\frac{2x}{6},\frac{3x}{6},\frac{4x}{6},\frac{5x}{6},x$, trong đó $x=\frac{6}{7}$.

Đoạn này nghĩa là sao vậy? Bạn giải thích rõ hơn được không?

giải câu 2 nha.

pt tương đương vs $(x+1)(\sqrt{2x^{2}-2x}-x-2)=x^{2}-6x-4$

$\Leftrightarrow (x+1)\frac{x^{2}-6x-4}{\sqrt{2x^{2}-2x}+x+2}=x^{2}-6x-4$

$\Leftrightarrow (x^{2}-6x-4)(\frac{x+1}{\sqrt{2x^{2}-2x}+x+2}-1)=0$

giải ra

cái này giải ntn bạn? Bình phương 2 vế lên à?

Thi chuyên toán người ta có cho xài Sigma ko nhỉ 

Hình như không đâu bạn, thi casio mới được thôi

Có $\frac{2.6.10.....(4n-2)}{(n+5)(n+6)...(2n)}=2^n.\frac{1.3.5...(2n-1)}{(n+5)(n+6)...(2n)}=\frac{1.2.3....(2n-1)(2n)}{1.2.3...n.(n+5)(n+6)...(2n)}= (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.

Vậy $a_{n}=1+(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=(n^2+5n+5)^2$ là một số chính phương.

Kết quả thì ra đúng rồi, nhưng bạn xem lại phần chữ đỏ nha, không ổn cho lắm

Tìm min của

A = $\sqrt{x^2-4x+5} + \sqrt{y^2-4y+5} + \sqrt{x^2+y^2}$ 

Mình sử dụng Mincopski cho 2 cái đầu rồi mà giờ không biết làm sao nữa

$\sqrt{x^2-4x+5} + \sqrt{y^2-4y+5} + \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+1} + \sqrt{(y-2)^2+1} + \sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}+\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{2}$

Mình chiều ý bạn làm Mincopxki nhưng hình như không ổn lắm phải không? Làm sao có thể ra $\sqrt{2}$ được?? Vì lúc này dấu bằng xảy ra khi $x=y=3$ hoặc $x=y=1$
Bạn xem coi sai chỗ nào?

Cho tam giác nhọn ABC với góc A = $60^0$ , BC =$2\sqrt3$. Bên trong tam giác cho 13 điểm bất kì . CMR trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà k/c giữa chúng không lớn hơn 1

Bài này không sử dụng Drichlet được không?

Có công thức: $2R=\frac{BC}{sinA}=4\Leftrightarrow R=2$ với R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác kẻ các đường vuông góc xuống 3 cạnh, ta được 3 tứ giác nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính 2, nghĩa là có một tứ giác chứa ít nhất 5 điểm.

Tiếp tục kẻ các đường vuông góc từ tâm đường tròn chứa 5 điểm ấy xuống 4 cạnh, ta lại được 4 tứ giác nội tiếp đường tròn đk 1, suy ra tồn tại một tứ giác chứa ít nhất 2 điểm mà khoảng cách của chúng không quá 1. (áp dụng Dirichlet đấy) :3

mình đã nói rồi mà đừng spam lạc đề trong topic này !   nhưng thôi kệ, làm cho vui vậy : 

Áp dụng BĐT cô - si cho 3 số dương, ta có $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$

Vậy GTNN là 3 $\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\Leftrightarrow x=y=z$

  Gõ latex chậm hơn adamfu rồi ! chán !

Cảm ơn bạn !

uầy bài này có cho x,y,z dương đâu nhỉ

Sao lại không ổn vậy bạn?

Đúng mà ?

Mình xin lỗi, mình nhầm lẫn, tại cách của mình khác nên lúc đọc các bạn unknown nó gường gượng ấy mà. Cách mình quy vế giai thừa cho đơn giản ấy.

Không tồn tại các số nguyên a,b,c và k nguyên dương sao cho $a^2+b^2+c^2=2^k$

Mệnh đề trên đúng hay sai , chứng minh điều ấy

Mình nghĩ mệnh đề này sai, chứng minh thì trong link: http://diendantoanho...-nghiệm-nguyên/

Góp một bài:

Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$ sao cho $\overline{bbcc}$ là số chính phương.

Lời giải:  Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:

$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$

Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.

Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay

Đặt $n^2$ = $\overline{bbcc}$

$n^2 = 11(100b+c)=11(99b+b+c)$

Vì 99b+b+c chia hết 11  nên b+c chia hết 11

Dễ suy ra b+c =11

Vậy $n^2=11(99b+11)=11^2(9b+1)$

Vậy 9b+1 phải là số chính phương 

Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4

Vậy số tự nhiên đó là 69774496

Chả hiểu cái "Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$" để làm gì nữa?

Mình thật sự cũng chả hiểu, sách nó ghi vậy, chỉ là mình sửa lại các số xung quanh bbcc cho hấp dẫn thôi :v với mình nghĩ làm như vậy để thay cho câu "b khác 0"

Trong trang này http://dethi.violet....ntry_id/9517939 mình thấy người ta viết có vô số số nguyên tố có dạng 4x+3 với x là số tự nhiên nhưng không có nghĩa là các số có dạng 4x+3 đều là số nguyên tố phải không

Đúng rồi bạn, ví dụ như với $x=3$ thì không thoả $4x+3$ là số nguyên tố nhưng vẫn có thể tìm vô số giá trị khác của $x$ sao cho $4x+3$ là số nguyên tố

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...

Được bạn, cách bạn thuần tuý hơn cách kia, bởi đây ko phải là bài tập dạng casio nên làm như bạn chặt hơn

gpt $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^{2}+8x})=16(x-1)$

Mình nghĩ là đặt ẩn phụ

Cụ thể:

$a=\sqrt{x}$ và $b=\sqrt{x+8}$

dấu sau dấu bằng là dấu cộng hả ,sao thế nhỉ

$\sum a=a+b+c;\sum a+a^2=a+a^2+b+b^2+c+c^2$ (2 ví dụ về cái dấu mà bạn hỏi)

Mình thì không biết giải thích thế nào nên đưa cho bạn 2 ví dụ để bạn hiểu

Xin lỗi đã viết sai đáng lẽ phải là 

A= $ \sqrt{x^2-4x+5}+ \sqrt{y^2-2y+5} + \sqrt{x^2+y^2}$

mà bài này còn có thể sử dụng bđt khác hả bạn

Mình không biết nữa, nhưng nếu sửa đề lại như bạn thì Mincopxki là ổn rồi

Ai co bo de hinh hoc khong

http://dethi.violet....try_id/10290126

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

Gợi ý + dự đoán:

1. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

3. Sử dụng tính chất: $ab\vdots p$ với $a,b,p$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố thì $a\vdots p$