Lời giải bài toán 125.
Gọi đường thẳng qua $B,E$ vuông góc $BC,DE$ cắt $AC,AD$ ở $X,Y \Rightarrow \widehat{AEY}=\widehat{BAC}.$
Do $BC=DE \Rightarrow \Delta XBC= \Delta YED \Rightarrow XB=YE,\widehat{BXC}=\widehat{EYD} \Rightarrow \widehat{ABX}=\widehat{EAD}.$
$\Rightarrow \Delta ABX \sim \Delta EAY \Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{YA}{XB}=\frac{YA}{YE} \Rightarrow \frac{\sin \widehat{ABE}}{\sin \widehat{AEB}}=\frac{\sin \widehat{AEY}}{\sin \widehat{EAD}} \Rightarrow \sin \widehat{AEB}=\sin \widehat{EAD}.$
Nếu $\widehat{AEB}+\widehat{EAD}=180^0$ thì $EB \parallel AD,$ mâu thuẫn với giả thiết ngũ giác $ABCDE$ lồi. Do đó $\widehat{AEB}=\widehat{EAD}.$
Gọi $AB$ cắt $DE$ ở $B',H$ là hình chiếu $A$ lên $DE,O'$ tâm $(AB'D).$ Khi đó:
$\widehat{B'AE}=\widehat{B'AO} \Leftrightarrow \widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^0-\widehat{ADE}=90^0-\widehat{ACB} \Leftrightarrow \widehat{ABE}+\widehat{AEB}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}-90^0$
$\Leftrightarrow \widehat{ABX}=\widehat{ABC}-90^0,$ đúng.
Vậy $\overline{A,E,O} \Rightarrow \widehat{B'AH}=\widehat{EAD}=\widehat{ABX} \Rightarrow AH \parallel BX \Rightarrow BC \parallel DE \Rightarrow BCDE$ là hình bình hành, đpcm.