Chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 5 năm 2019:

https://drive.google...iew?usp=sharing

Chúng tôi rất mong mọi người tích cực tham gia giải bài và hy vọng có những lời giải đẹp

Xin chân thành cảm ơn.

Quân. T.

Các bài toán trong chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 3 năm 2019:

https://drive.google...iew?usp=sharing

Chúng tôi rất mong mọi người tích cực tham gia giải bài và hy vọng có những lời giải đẹp

Xin chân thành cảm ơn.

Quân. T.

Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là iếp điểm, C nằm giữa M và D, A và C nằm khác phía đối với MO). Gọi I là trung điểm CD.

a) CM: MB^2 = MC.MD

b) CM: AOIB nội tiếp.

c) TIa BI cắt (O) tại J. CM: AD^2 = AJ.AM

d) Đường thẳng qua I song song với DB cắt AB tại K, CK cắt OB tại G. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIG theo R.

 

Mọi người giúp mình câu d) với. Xin cảm ơn!

IK // DB $\Rightarrow \angle CIK = \angle CDB = \angle CAB = \angle CAK\Rightarrow$ ACKI là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \angle IAK=\angle ICK$

5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn đường kính MO $\Rightarrow \angle IMB = \angle IAB=\angle IAK$

Vậy $\angle ICK = \angle IMB \Rightarrow CK // MB$

Vậy CK vuông góc với OB tại G hay $\angle OGC = 90^0\Rightarrow$ OCGI là tứ giác nội tiếp và OC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CIG. Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CGI = R/2

Cho (O;R), A không thuộc đường tròn (O). AB, AC là tiếp tuyến (O). Trên cung lớn BC lấy N. Kẻ đường thẳng d qua A // BN. d cắt NC tại I.

1) CM: góc AOC = góc BNC.

2) CM: tứ giác AOIC nội tiếp.

3) Kéo dài BO cắt (O) tại B'. Kẻ đường thẳng vuông góc với BB' tại O, cắt B'C tại E. AE cắt OC tại K. Cho OA = 2R. CM: tam giác AOK đều.

4) Khi N di chuyển trên cung lớn BC thì I di chuyển trên đường nào?

 

Các bạn giúp mình câu 4) nhé! Cảm ơn mọi người.

Câu 2 AOIC là tứ giác nội tiếp thì I nằm trên (AOC) hay I nằm trên đường tròn (OA) ở câu 4

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AH$ là đường cao kẻ từ $A$, $D$ là trung điểm của $AC$, $OB$ cắt $HD$ tại $L$. $OD$ cắt $BC$ tại $K$. $AL$ cắt $(O)$ tại $M$ và $OA$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O)$.

Do $\angle DHA=\angle DAH=\angle OAB=\angle OBA\Rightarrow$ tứ giác ABHL là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle ALB=\angle AHB=90^0$.

Vậy OL vuông góc với dây AM tại L hay L là trung điểm của AM.

Xét hai tam giác AOK và ALH có $\angle AKO=\angle AKD=\angle AHD=\angle AHL$. $\angle AOK=\angle ALH$ (cùng bù với góc AOD). Vậy tam giác AOK và ALH đồng dạng.

Do O là trung điểm của AN, L là trung điểm của AM nên tam giác ANK và tam giác AMH đồng dạng $\Rightarrow \angle ANK=\angle AMH$

Gọi T là giao điểm của KN và MH. Do $\angle ANK=\angle AMH\Rightarrow$ tứ giác AMTN nội tiếp hay T nằm trên (O) (ĐPCM).

Đường tròn (A; AH) đi qua M, N. Gọi J là giao điểm thứ 2 của (A; AH) với (K).

Do PM.PN=PB.PC nên P nằm trên trục đẳng phương của (A) và (K). Vậy P, H, J thẳng hàng.

A và K là tâm nên AK vuông góc với HJ.

Vậy AK vuông góc với PH.

Cho $ \triangle ABC $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ ngoại tiếp đường tròn $ (I) $. $ D $ là một điểm di chuyển trên cạnh $ BC $. Đường tròn $ Thebault $ của $ \triangle ABC $ ứng với $ AD $ và các đỉnh $ B, C $ tiếp xúc trong với $ (O) $ tại $ Y, Z $. Chứng minh đường tròn $ (DYZ)$ đi qua hai điểm cố định.

(I) tiếp xúc với BC tại P, X là điểm chính giữa của cung BC. Mới chứng minh được (DYZ) đi qua P, còn điểm thứ 2 là Q nằm trên XP chưa xác định đc!!!

$BI,CI$ lần lượt cắt $EF$ tại $U,V.BV \perp CI,CU \perp BI \Rightarrow BV,CU$ đi qua $H.$

$HD$ cắt $EF$ tại $L \Rightarrow (HI, LD) = -1 \Rightarrow \frac{HL}{HD}= \frac{IL}{ID}.$

Áp dụng định lý Menelaus đảo cho $\Delta KDL$ suy ra đpcm.

I, N, D thẳng hàng. AI cắt (O) tại P, P là điểm chính giữa cung BC không chứa A, ta có M, D, P thẳng hàng.

Gọi Q là điểm chính giữa chung BAC, P, O, Q thẳng hàng.

Góc AMQ = APQ = AIN = AMN -> M, N, Q thẳng hàng. ND//PQ nên MO đi qua trung điểm của ND.

Bài toán(Aops): Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$, phân giác ngoài $\angle A$ cắt $BC$ ở $D$. Gọi $(ADM)\cap AB,AC=E,F\neq A$. $N$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng: $MN\| AD$.

Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi P là điểm chính giữa cung BC không chứa A, PA vuông góc với DA tại A. Q là điểm chính giữa cung BC chứa A. Ta có D, A, Q thẳng hàng, P, M, O, Q thẳng hàng.

Dễ thấy (ADM) đi qua P và DP là đường kính của đường tròn (ADM). Tam giác PEF cân tại P từ đó có DP là trung trực của EF nên DP đi qua N và DP vuông góc với EF tại N.

Tam giác PED và PCQ đồng dạng, EN và CM là đường cao nên $\Rightarrow \frac{PN}{PD}=\frac{PM}{PQ}\Rightarrow MN//DQ\Rightarrow MN//AD$ (đpcm).

Ta có: $\angle CAF=\angle CHF=\angle QHK(1)$

$\angle ACF=\angle AHK(2)$

$\angle CAF=\angle ACF(3)$

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \angle AHK=\angle QHK\Rightarrow$ A và Q đối xứng với nhau qua HK.

Vậy FQ=FQ=FC.

FQ=FC cố định nên diện tích tam giác QCF lớn nhất khi góc $\angle QFC=90^0$, khi đó HO vuông góc với EF

AQ đi qua trung điểm của DE nên AQ là đường đối trung của tam giác ABC nên AQ đi qua điểm cố định là giao 2 tiếp tuyến tại B và C của (O).

Gọi BB', CC' là 2 đường cao của tam giác ABC. B'C' cắt AD tại J. Ta có (A, H, J, D) = -1.

AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là G. Dễ chứng minh được HG song song với JE.

Vậy ta có hệ thức $\frac{AJ}{AH}=\frac{AE}{AG}=\frac{AI}{AO}$

Hay JI song song với HO, hay JI song song với DK.

Do đó (A, O, I, K) = -1.

Vậy D(A, O, I, K) = -1, từ đó có MQ, NP, OD đồng quy.

Câu 5: Gọi I là giao điểm của AC và BD. J là trung điểm của AM. MN cắt AC tại P.

Dễ thấy A, H, K, M, I cùng nằm trên đường tròn (J; JI). Từ đó chứng minh tam giác IHK là tam giác đều.

Áp dụng Menelaus cho 3 điểm M, N, P với tam giác AIJ, từ đó có PA = AC. P cố định.

NE cắt (BDE) tại F. Dễ thấy BF là đường kính của (BDE) nên M, D, F thẳng hàng.

BO cắt (O) tại G. BG là đường kính của (O), BF là đường kính của (BDE) nên F, G, S thẳng hàng.

GA// NE (cùng vuông góc với AB). AC= MN. Từ đó chứng minh tam giác AGC = tam giác NFM. Vậy GA//=NF hay AGNF là hình bình hành.

P là trung điểm của AN nên P là trung điểm của GF. Vậy 4 điểm F, G, P, S thằng hàng.

OK // GP nên OK //PS.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Trên cung $BC$ không chứa $A$, lấy điểm $P$ (không trùng với $B, C$). Dựng $D$ sao cho $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AD}$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $ACD$. Đặt $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $K$ lên các đường thẳng $AB, BC$. Đường thẳng $EF$ có gì đặc biệt?

Mình không rõ câu hỏi lắm. K là trực tâm tam giác ACD nên $\angle AKC + \angle ADC = 180^0 \Rightarrow \angle AKC + \angle APC = 180^0\Rightarrow$ K nằm trên (O). EF là đường Simson.

 

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ dây BC vuông góc OA tại H

a.       Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

b.      Từ B kẻ Bx //OA cắt (O) tại D(D khác B). Chứng minh CD là đường kính của (O)

c.       Kẻ BI vuông CD tại I. Chứng minh  4 HO. HA = CI. CD

d.      Gọi K là giao điểm của AD và BI. Chứng minh K là trung điểm của BI

Giup e câu d được ko a! 

 

AC kéo dài cắt BD tại E. Bạn suy luận tiếp là được thôi.

Gọi K là giao điểm của $(I_{1}I_{2}P)$ và (O). M, N lần lượt là giao của $PI_{1}$ và $PI_{2}$ với (O). Chứng minh $\frac{KM}{KN}=\frac{AM}{AN}$ từ đó có K cố định.

PM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là G. Nhận thấy A, O, G thẳng hàng. HG cắt BC tại I, I là trung điểm của BC.

Qua H vẽ đường thẳng song song với BC cắt PM tại N. Do $\angle AHN=\angle APN=90^0$ nên A, P, N, H cùng thuộc một đường tròn.

Tam giác GHN có I là trung điểm của HG, IM// HN nên M là trung điểm của GN. Vậy OM // AN $\Rightarrow OMC=\angle ANH=\angle APH$ (đpcm)

Tam giác ICB và AYZ đồng dạng nên $\frac{IB}{IC}=\frac{AY}{AZ}=\frac{BF}{CE}$.

Góc $\angle IBF=\angle ICE=\left | \angle \frac{B}{2}-\angle \frac{C}{2} \right |$

Vậy tam giác IBF và ICE đồng dạng. Từ đó có IEF và IBC đồng dạng. Tương tự có IDF và ICA đồng dạng. Cộng các góc để có IE vuông góc với FD. Chứng minh tương tự có IF vuông góc với ED. Vậy I là trực tâm của tam giác DEF.

cho tam giác ABC có AB=AC= $\frac{2}{3}$a , BC=a .đường cao AE , tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (o),đường tròn (o)  tiếp xúc cạnh AC tại F .

a) tính BF

b)CMR BF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFC

Hạ BH vuông góc với AC. Tính BH, HF từ đó tính được BF. $BF^2=\frac{1}{2}a^2$.

Do $BF^2=\frac{1}{2}a^2=BE.BC$ nên BF là tiếp tuyến vói (CEF).

Câu b và bài này giống nhau:

https://diendantoanh...uộc-cm-sao-cho/

Câu hình:

a. Gọi G là giao điểm thứ 2 của DI và (I).

Dễ thấy (D, H, P, A) = -1. Chứng minh DH.DA = DN.DM nên tứ giác AHNM là tứ giác nội tiếp. HG vuông góc với DA nên (D, G, N, M) = -1.

Do (D, H, P, A) = -1, (D, G, N, M) = -1 nên AM. PN, HG đồng quy tại Q. Vậy Q, H, G thẳng hàng nên QH vuông góc với AI.

b. GỌi X là trung điểm của DH, Y là trung điểm của DE. Do (A, P, H, D)=-1, X là trung điểm của HD nên ta có HP.AX = AH. XD.

Từ đó chứng minh tam giác HPE và XDL đồng dạng nên DL // PE.

I là trung điểm của AB chứ bác Lyness?