Bài 72.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC cố định và A di động sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn tâm H bán kính AH cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N.

           a) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với MN cũng đi qua một điểm cố định.

           b) Gọi D và E theo thứ tự là giao điểm của AB, AC với tiếp tuyến tại O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. Gọi Q là điểm đối xứng với A qua DE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QDE tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 70. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và một điểm M bất kì nằm trong (O) nhưng không nằm trên đường kính AB. Gọi N là giao điểm của đường phân giác trong của góc AMB với đường tròn (O). Đường phân giác ngoài của góc AMB cắt đường thẳng NA, NB lần lượt tại P và Q. Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính NQ tại R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính NP tại S (R, S khác M. Qua R kẻ đường thẳng song song với PQ cắt AN tại C, qua S kẻ đường thẳng song song với PQ cắt BN tại D. Gọi I là trung điểm của CD.

          a) Chứng minh rằng ba điểm N, O, I thẳng hàng

          b) Chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với đỉnh N của tam giác NRS luôn đi qua một điểm cố định khi M di động phía trong đường tròn.

Bài 69. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^{0}$ nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho AM = AD. Đường thẳng DM cắt BC tại N. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là hình chiếu của C trên AN.

          a) Chứng minh rằng $\widehat{MHN}=\widehat{MCK}$.

          b) Gọi T là giao điểm của AB và CK. Lấy các điểm E, F lần lượt trên đoạn AT và CT sao cho EF song song với AC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác TEF nằm trên AC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tam giác TEF và đường tròn ngoại tiếp tam giác NAC tiếp xúc với nhau.

Đường đối trung trong tam giác là một trường hợp đặc biệt của hai đường đẳng giác trong tam giác. Đường đối trung và đường đẳng giác có một số tính chất hay và cũng dễ chứng minh. Trong các bài toán khi sử dụng đến các đường này ta có thể chứng minh như nó dưới dạng bổ đề. 

Bài 73. Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ HI vuông góc với EF tại I và HK vuông góc với DE tại K. Gọi giao điểm của IK và AD là M, giao điểm của FM và DE là N. Gọi S là điểm đối xứng với B qua D.

          a) Chứng minh rằng ba điểm A, N, S thẳng hàng.

          b) Gọi P là giao điểm của AS với đường tròn (O) và Q là điểm đối xứng với P qua BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ cắt AP tại G. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác AGO nằm trên đường thẳng HQ.  

Bài 75. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm P đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. Gọi giao điểm của BE và CF là H. Vẽ HD vuông góc với BC tại D. Gọi K là giao điểm của EF và AH. Gọi I là trung điểm của AH. IC cắt đường tròn (O) tại M khác C.

          a) Chứng minh rằng ba điểm A, H, D thẳng hàng và ba điểm B, K, M thẳng hàng.

          b) Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O). Gọi S là điểm đối xứng T qua BC. Gọi J, N theo thứ tự là giao điểm của EF với SN, SC.  Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác SJN

Mình xin đăng tiếp bài hình.

Bài 79. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường cao AF và M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt HM tại Q khác H. Lấy điểm X thuộc BC sao cho XH vuông góc với QM. Gọi L, P lần lượt là trung điểm của QH và QA. Đường thẳng qua Q song song với LX cắt MP tại N. Vẽ đường tròn tâm X bán kính XH cắt đường tròn (O) tại K sao cho K cùng phía với A so với BC.

Mình có lời giải bài hình 75 ở đây không biết có sai sót ở đâu không nữa. Mọi người xem rồi cho ý kiến nha. 

Mình đã sửa lại đề bài 64 rồi nhé.

Xin lỗi để mình kiểm tra lại đề gốc nhé.  

Bài 64. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O’)  tiếp xúc trong với đường tròn (O) và tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt tại R, P, Q. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 

           a) Chứng minh rằng $\widehat{ARI}=\widehat{CRI}$.

           b) Đường trung trực của AI cắt AC, AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AC, AB tại E, F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC.

Bài 63. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có E, F thuộc đoạn CA và BA sao cho EF song song với BC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt AC tại M, đường trung trực của đoạn EF cắt cắt AB tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt CF tại P khác C, đường tròn ngoại tiếp tam giác EFN cắt CF tại Q khác F.

          a) Chứng minh rằng đường trung trực của PQ đi qua trung điểm của MN.

          b) Gọi L là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O) và I là một điểm bất kì trên đoạn AL. Gọi J là hình chiếu của I trên BC. Đường tròn tâm I bán kính IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại X, Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AXY và đường tròn tâm L bán kính LB tiếp xúc với nhau.

Bài 48. Cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn tâm A bán kính AE cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M (M nằm giữa A và H). Đường thẳng OM và DM cắt đường tròn (A, AE) lần lượt tại K và N. Gọi giao điểm của MO và BC là I.

Bài 38. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và P là một điểm trên đoạn BC (P khác B, C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại T khác H. Đường thẳng PT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại K khác T. Giả sử BK cắt AC tại M và CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BN, CM.

Bài 37. Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn $\left ( O \right )$. Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của $\left (O \right )$(E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho $DE< DF$, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của  $\left ( O \right )$ cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.

Mình xin đóng góp một lời giải cho bài 46. Đề thi chuyên toán Phan Bội Châu Ngh An 2017 - 2018. Do trình bày dài nên minh  xin gửi tệp đính kem

Bài 49. Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn không cân. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D trên AC, AB.

Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AG, BD, CE cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt tia AB, tia DB lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của AH.

       a) Chứng minh rằng IP = IQ và I là trực tâm của tam giác MBC.

       b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AS, AT với đường tròn đường kính BC (S, T là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba điểm S, H, T thẳng hàng 

Bài 59. Cho đường tròn (O) có đường kính BC và A là một điểmnằm trên nửa đường tròn. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng MI cắt AB tại N, đường thẳng DF cắt đường cao AH tại P.

      a) Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân.

      b) Gọi T là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh rằng TB.CD = TC.BD

Bài 52. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC (A khác B và C). Vẽ đường tròn tâm A tiếp xúc với BC tại H, cắt đường tròn (O) tại E và F. Gọi I là trung điểm của HC, D là hình chiếu của I trên EF. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại G.

         a) Chứng minh rằng các đường thẳng AG, EF, AB đồng quy.

         b) Chứng minh rằng ba điểm A, D, C thẳng hàng.

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.

Đóng góp tiếp bài hệ phương trình 

Bài 91. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x+3=2\sqrt{(x+3y)(y-1)} & \\ \sqrt{6y-7}+\sqrt{4-2x}=\sqrt{\frac{1}{8}(9x^{2}+16)}& \end{matrix}\right.$

Bài 90. Giải phương trình:

$x\left ( 1+\sqrt{1+2x} \right )+1=\sqrt{(x^{2}+x+1)(3x+2)}$

Bài 91. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x+3=2\sqrt{(x+3y)(y-1)} & \\ \sqrt{6y-7}+\sqrt{4-2x}=\sqrt{\frac{1}{8}(9x^{2}+16)}& \end{matrix}\right.$

$$\boxed{\text{ VMF}}$$

ĐỀ THI SỐ 2

Bài 1. a) Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là các số chính phương.

          i) Biết rằng ít nhất một trong ba số chính phương trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.

          ii) Tồn tại hay không các số nguyên thỏa mãn điều kiện ban đầu sao cho (a – b)(b – c)(c – a) không chia hết cho 27.

          b) Cho số nguyên tố p. Giả sử x và y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng .$\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$.

Bài 2. a) Giải phương trình:  $3(x+1)\sqrt{x^2+x+3}-3x^2-4x-7=0$

           b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=5xy & \\4x^2+y^2=5xy^2 & \end{matrix}\right.$

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: $\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}\geq 2$.

Bài 4. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho OA > 2R. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là các tiếp điểm. Vẽ dây cung CD song song với AB và dây cung CE vuông góc với BD tại K. Dựng AM vuông góc với BE tại M và OA cắt BC tại H.

          a) Chứng minh rằng CK.OC = DK.AC và AB là tia phân giác của góc MAC.

          b) Giả sử HM cắt AB tại N và cắt OC tại I. Chứng minh rằng MH//BD và NK//BE.

          c) Giả sử HE cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh rằng ba điểm D, I, G thẳng hàng.

          d) Giả sử BI cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh rằng ES, CD, OB, MH đồng quy. 

Bài 5. Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, nằm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác mà đỉnh là ba trong 19 điểm trên có ít nhất một góc không lớn hơn $45^0$ và nằm trong đường tròn bán kính nhỏ hơn $\frac{3}{5}$. .