Mình giải câu hình cho mấy bạn tham khảo nhé :3 =))
a) Câu a1:
Gọi giao điểm của CD và GH là X
Từ đề ==> ACB = 90 và DCF = 90
==> ACD = HCF ( cùng phụ với góc DCH )
Mà ACD = AED ( do tứ giác ADCE nội tiếp )
==> HCF = AED (1)
Ta có : EAG = CBA ( góc nội tiếp chắn cung = góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đó )
Mà CBA = DFC ( do tứ giác CFBD nội tiếp )
==> HFC = EAG ( 2)
Từ (1) và (2) ====> tam giác EAG đồng dạng vs tam giác CFH ====> ĐPCM :3
Câu a2:
Ta có : EAG = GDC ( do tứ giác ECDA nội tiếp )
Mà EAG = HFC ( cmt ) ======> GDC = HFC
Mà HFC + CDF = 90
Nên GDC + CDF = 90
Hay EDF = 90
Suy ra tứ giác CGDH nội tiếp ( do EDF + GDH = 90 + 90 = 180 )
==> DGH = DCH = 90 - HCF = 90 - AED = ADG
==> DGH = ADG
===> GH // AB
Mà O là trung điểm của AB , nên suy ra I là trung điểm của GH ( dùng đlý Talet các kiểu rùi suy ra thoy :3 )
b) Từ đề bài =====> JK // EF
Xét tam giác ECD vuông tại C có J là trung điểm ED thì JC = JD = JE =====> JC = JD (3)
Xét tương tự đối với tam giác vuông GCH và tam giác GDH vuông có I là trung điểm của GH ==> CI = ID (4)
Từ (3) và (4) ==========> JI vuông góc vs CD mà EF vuông góc vs CD
=============> JI // EF và JI là đường trung trực của CD ( phép biến đổi ra cái này tự làm nhé :3)
Mà JK // EF =====> J,I,K thẳng hàng ========> ĐPCM :3
c) Câu c1:
Vì J,I,K Thẳng hàng mà JI là đường trung trực của CD ( cmt) nên JK là đường trung trực của CD
==> JCD = JDC và DCK = CDF .
Mà JDC + CDF = 90 nên JCD + DCK = 90 , hay JCK = 90
==> JCKD nội tiếp
Bây giờ chỉ cần chứng minh JCOD nội tiếp nữa là xong :3
(((( bởi vì suy ra J,C,K,D,O cùng nằm trên 1 đường tròn, nên JCKO nội tiếp, mà JCK = 90 nên JOK = 90 ===> ĐPCM :3 )))))
Ta có : EJC = 180 - 2*GEC = 180 - 2*CAO = DOC
===> EJC = DOC
===> JCOD nội tiếp :3
Câu c2:
Vì J,C,K,D,O cùng nằm trên 1 đường tròn, do đó tứ giác JKDO nội tiếp :3
====> KDO = KJO = KCO ( do tứ giác JCKO nội tiếp )
Hay IJM = ICK
Vì JK là đường trung trực của CD (cmt) nên ICK = IDK
Mà ICK = IJM ( cmt)
===> IDK = IJM
====> JIMD nội tiếp
====> MIJ = 90
===> MI vuông góc vs JK
Gọi Y là giao điểm của JD và KO ====> JY, YK và YM đồng quy
Vì JO vuông góc vs OK và KD vuông góc vs DJ nên M là trực tâm của tam giác JKY
===> YM vuông góc vs JK , mà MI vuông góc vs JK nên suy ra IM trùng MY
Mà JY, YK và YM đồng quy (cmt) =====> JD, KO và IM đồng quy ===> ĐPCM
( Bạn nào có cách ngắn gọn hơn cx comment để mình học hỏi nhé, bài mình dài lắm, từng câu a,b,c cx đc :3 )
Hình vẽ ( Có thể chú thích 1 số điểm không cần thiết hoặc mình chưa nói tới ) :