Thêm mấy cái nữa nhé:
$1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2$
$1.2+2.3+3.4+4.5+....+n(n+1)= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \dfrac{n( n + 1 )( 2n + 1 )}{6}$
$1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

mình thấy hình như đúng nà , cậu chỉ ra chỗ sai giúp mình được không để mình sửa.

Ý b rất đơn giản , bạn thấy nagy $3^2-2^2=(3-2)(3+2)=3+2,5^2-4^2=(5+4)(5-4)...(n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=n+1+n$. Cuối cùng đưa được dãy số đã cho về dạng $ 1+2+3+..+2008+2009=2009.2010/2$

1. Vì đa thức có bậc 3 nên có dạng tổng quát là :$ax^3+bx^2+cx+d$
Theo đề bài ta được $f(x)-f(x-1)=x^2$
=>$f(1)-f(0)=1=>a+b+c+d-d=1$
$f(0)-f(-1)=0=>d-(-a+b-c+d)=0=>d+a-b+c-d=0$
$f(2)-f(1)=........$
$f(-1)-f(-2)=.......$
Bạn viết tiếp 2 phương trình cuối rồi ta sẽ được hệ 4 PT 4 ẩn. Giải hệ tìm được ngay a,b,c,d.

vấn đề là cuộc thi này ai ra đề ,ai chấm.
Phải thật giỏi mới làm được.

Xin lỗi tất cả các bạn .Mấy ngày nay nhà mình mất mạng nên k0 online và chấm bài được. Mong các bạn thông cảm và mathlovely chuyển người chấm bài giúp tớ.Mình sẽ post các bài thi đã gửi cho mình lên. Mong anh pirates,chị Janie và quốc cường chấm giúp mình.
Hôm nay mình lên quán net viết vài dòng cáo lỗi cùng các bạn.
Có lẽ vài ngày nữa mình mới online được. Thành thật xin lỗi tất cả các bạn , mong các bạn thông cảm cho mình.

Đặng Văn Sang

Gửi bài vào đây nha Vũ:gửi đại thử sức thôi
Bài 1: Ta có:
$A=3^{3n+3}-27=3^{3(n+1)}-27=27^{n+1}-27$
$=27(27^n-1)=27(27-1)(27^{n-1}+27^{n-2}+......26+1)$
$=27.26[(26+1)^{n-1}+(26+1)^{n-2}+.....26+1)]=27.26[26k+n]$
Do đó ta có:
$3^{3n+3}-26n-27=27.26[26k+n]-26n=26[27(26k+n)-n]=26(702k+27n-n)=26(702+26n)=26.26(27k-n)=676(27k-n)$
Vì $676\vdots169$ nên$676(27k-n)\vdots169$hay A chia hết 169
Bài 2:Ta có:
$n^2-5n-49=n^2-5n-36-13=n^2-9n+4n-36-13=(n-9)(n+4)-13$
Với n-9 chia hết cho 13=> n+4 cũng chia hết cho 13.Nếu đặt n-9=13a;n-4=13b=>$(n-9)(n+4)=13^2ab\vdots13^2$ nên (n-9)(n+4)-13 không chia hết cho 13=> dpcm
Với n-9 không chia hết cho 13 thì n+4 cũng không chia hết cho 13 => (n-9)(n+4)-13không chia hết cho 13 nên cũng không chia hết cho 169
Bài 3: Gọi số đó là ab(có gạch trên đầu)với 0<a;b 9 theo giả thiết ta có:
$10a+b\vdots ab$ $10a+b=kab$ b chia hết a đặt b=na
$10a+na=kana$hay 10+n=kna n là ước của 10 hay n=1;2;5
Nếu n=1:Rightarrow a=b;ka=11=>a=1(vì a:leg9) Số cần tìm là 11
Nếu n=2:Rightarrow b=2a hay a :leg 4
ka=6 kết hợp với a:leg 4
+ a=1 b=2 Số đó là 12
+ a=2:Rightarrow b=4 Số đó là 24
+ a=3:Rightarrow b=6 Số đó là 36
Nếu n=5:Rightarrow b=5a hay a:leg 1
ka=5 kết hợp với a :leg 1:Rightarrow a=1;b=5 Số đó là 15
Vậy các số cần tìm là: 11;12;24;36;15
Bài 4: $A=a+b+c+ab+bc+ca$
Áp dụng BDT cauchy ta có:
$A=a+b+c+ab+bc+ca \geq 3.\sqrt[3]{abc}+3.\sqrt[3]{ab.bc.ca}=6$
Vậy đẳng thức xãy ra khi
a=b=c
ab=bc=ca
abc=a
a=b=c=1
Đề xuất: Đề thi nên có nhiều mảng như pt;BDT;hình..... toàn số không cũng không hay lắm

mấy bài BĐT hay phết , đang học BĐT nên chép lại nghiên cứu........................

mình nói người khác, k0 nói bạn mà.

hai bài còn lại khá đơn giản, nhường các bạn khác.

Định lý Bezout:
Phần dư xủa đa thức f(x) cho nhị thức x-a là f(a)

Mình tên là: Nguyễn Thái Phúc
Tên trong diendantoanhoc: nguyen thai phuc
Đây là bài giải của mình
Bài 1:
$\begin{array}{l} A = 3^{3n + 3} - 26n - 27 \\ = 27^{n + 1} - 27 - 26n \\ = 26(27^n - 1) + 27^n - 1 - 26n \end{array}\$
ta có$\ 26(27^n - 1) = 26^2 .C \vdots 169\\$
$\27^n - 1 - 26n = 26(27^{n - 1} - 1 + 27^{n - 2} - 1 + ..... + 27^1 - 1 + 27^0 - 1) = 26^2 B \vdots 169\$
$\Rightarrow A \vdots 169\$
Bài 2:a)
$\begin{array}{l} A = n^2 - 5n - 49 \\ \Leftrightarrow 4A = 4n^2 - 20n + 25 - 221 = (2n - 5)^2 - 221 \\ \end{array}\$
nếu$\ A \vdots 169 \Leftrightarrow 4A \vdots 169 \Leftrightarrow (2n - 5)^2 - 13.17 \vdots 169 \Leftrightarrow (2n - 5)^2 \vdots 13 \Leftrightarrow (2n - 5)^2 \vdots 169\$(vì 13 là số nguyên tố)
mà$\(2n - 5)^2 - 13.17 \vdots 169 \Leftrightarrow 13.17 \vdots 169\$
=>Vô lí=> A không chia hết cho 169
b)$\ P = n^2 + 3n + 5 \Leftrightarrow 4P = (2n + 3)^2 + 11\$
nếu
$\ P \vdots 121 \Leftrightarrow 4P \vdots 121 \Leftrightarrow (2n + 3)^2 + 11 \vdots 121 \Leftrightarrow (2n + 3)^2 \vdots 11 \Leftrightarrow (2n + 3)^2 \vdots 121\$(vì 11 là số nguyên tố)
mà
$\(2n + 3)^2 + 11 \vdots 121 \Leftrightarrow 11 \vdots 121\$=>vô lý.Vậy P không chia hết cho 121
Bài 3: Số đó có dạng$\overline {ab} \$ với $\overline {ab} = mab\$
$\Rightarrow 10a + b = mab \Leftrightarrow b \vdots a \Leftrightarrow b = ak \Leftrightarrow 10a + ak = ma^2 k \Leftrightarrow 10 + k = mak \Leftrightarrow 10 \vdots k \Leftrightarrow k = 1,2,5\$
Với k=1<=>ma=11=>a=1=>b=1
Với k=2<=>ma=6 =>(a;b)=(1;2);(2;4)(3;6)
Với k=3<=>ma=3=>a=1;b=5 hoặc a=3;b=9
Thử lại thì các số cần tìm là 11,12,15,24,36
Bài 4 Áp dụng côsi trực tiếp cho 6 số dương
$\ a + b + c + ab + bc + ca \ge 6\sqrt[6]{{(abc)^3 }} = 6\$(vì abc=1)
đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=ab=bc=ca=6/6=1

đặt $1.2+2.3+3.4+.....+n(n+1)=A$
Ta có:$3A=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n(n+1)(n+2-(n-1))=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...n(n-1)(n+1)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)(n+2)=>A=n(n+1)(n+2)/3$
Lại có:$1+2+3+...+n=n(n+1)/2=>1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(n+2)/6-n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6$
Cái chỗ 2.3.(4-1) =2.3.4-1.2.3 đúng k0 , cứ khai triển như thế với 3.4.(5-2) rồi 4.5.(6-3) mình sẽ khử được ngay mấy cái hạng tử đứng trước cuối cùng ra được kết quả như trên. Bạn maths_lovely hiểu chưa

đề quận nào mà dễ vậy em , dễ hơn cả đề bạn kingyo post nữa

đó không gọi là chứng minh mà chỉ gọi là lừa các em lớp dưới thôi.
còn bạn hoangnamfc viết:
(a+b)(a-b)=b(a-b)
<=> 0(a+b)=0.(a-b)
<=> 0=0
vô nghiệm
bạn viết thế không đúng , phải là :
(a+b)(a-b)=b(a-b)
<=> 0(a+b)=0.b , điều này luôn đúng với mọi a,b nên không thể suy ra được a+b=b
còn phép 0(a+b)=0.b không phải là vô nghiệm mà là nghiệm đúng với mọi a,b.
Còn sơ hở ở chỗ không thể có phép chia mà số chia bằng 0 nên không thể rút gọn đồng thời 2 vế

để phân tích đa thức bậc 4 thành nhân tử thì bạn dùng phương pháp hệ số bất định

Với bất kì số nguyên dương k nào ta kí hiệu f(k) là số các phần tử của tập hợp ( k+1 ,k+2.....2k) mà khi biểu diễn trong hệ nhị phân thi có đúng 3 số 1.
CMR với mọi m nguyên dương luôn tìm được ít nhất 1 số k nguyên dương sao cho f(k)=m.
Xác định tất cả m nguyên dương sao cho có đúng 1 số nguyên dương k thỏa mãn f(k)=m.

dạo này rơm rạ ngoài đường phơi nhiều quá

chẳng nhẽ lại không khuyết mới dùng được.
Một gợi ý cho bạn khi tìm nghiệm phương trình kể cả bậc 4 và mọi bậc:
Với đa thức bất kì nếu có x/y tối giản là nghiệm đa thức thì x là ước của hạng tử tự do , y là ước của hệ số hạng tử bậc cao nhất
- Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử tự do
- Nếu hệ số hạng tử bậc cao nhất là 1 thì tất cả các nghiệm hữu tỉ đều là nghiệm nguyên

download mathtype về mà gõ sẽ dễ đọc ngay thôi mà

mấy bài này dễ thôi.
Bài 1 thì thuộc đẳng thức $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$ là xong , nếu đề bài k0 cho dùng thì chứng minh cái đẳng thức đó rồi dùng,chứng minh đơn giản chẳng nói làm gì.
Bài 2.
Câu a thì tổng các hệ số bằng 0 nên có 1 nghiệm là 1, đến đây bạn giải tiếp.
câu b thì thế y cho x thấy biểu thức bằng 0 nên phân tích ra sẽ có nhân tử x-y . Đến đây cũng đơn giản rồi.
Mấy câu bậc 4 dùng hệ số bất định.
Câu 3.
Phân tích cái trên tử thấy nó luôn không âm. Chứng minh cái mẫu k0 âm là xong

bạn có thể vào forum số học xem cách chứng minh của pirates

dạng này có nhiều trong nâng cao và các chuyên đề đại số 9

bạn ơi cần gì phải lớp 11 , 12.
trong cuốn 23 chuyên đề và 1001 bài toán dành THCS có mấy bài kiểu này đấy
ah mà mình xin lỗi huyen HD 95 nha

Ngọc hoàng:
thiên lí nhãn đâu dịch giúp ta bài này
Thiên lí nhãn:
Nó gõ kiểu đấy có bố thần sống lại cũng k0 đọc nổi