Mỗi người luôn có 1 cái định nghĩa hạnh phúc cho riêng mình! Không nên trông chờ vào một điều gì nhiệm mầu phải không mà chỉ trông chờ vào chính ta mới cho ta hạnh phúc theo suy nghĩ của ta!
Tặng những ai đang buồn,đang khổ.. câu này nhé: Biết buồn mà không buồn,biết đau mà không đau mới là người hạnh phúc,khôn ngoan!

Dạng bài tập như thế này hầu như có phương pháp sẵn, bạn dự đoán được được nghiệm x=2 sau đó có dùng trục căn thức mà làm!

ĐK:$x\geq \frac{-1}{4}$
Phương trình tương đương với:$\frac{2}{3}\sqrt{4x+1}=\left ( 3x-4 \right )^{2}-2x-\frac{11}{3}$
Đặt $\sqrt{4x+1}=3y-4$ với y$\geq \frac{4}{3}$
Khi đó ta có hệ phương trình:$\left ( 3y-4 \right )^{2}=4x+1\\$ và $\left ( 3x-4 \right )^{2}=\frac{2}{3}\left ( 3y-4 \right )+2x+\frac{11}{3}$
Từ đây là ra đựơc bạn ạ.
Mà tớ hỏi này tại sao khi gõ LATEX ở chỗ hệ pt ấy mình gõ phân số lại hiện lỗi nhỉ!

Mình góp cách này nhé!
Đk: x$\geq \frac{-5}{4}$
(1)$\Leftrightarrow 2(x^{4}+x^{2}+1+2x^{3}-2x^{2}-2x)+2x^{2}+2x-6=\sqrt{5+4x}-3$
$\Leftrightarrow (x-1)(2x^{3}+6x^{2}+6x+4)=4\frac{x-1}{3+\sqrt{5+4x}}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-1=0\\ g(x)=2x^{3}+6x^{2}+6x+4-4/(3+\sqrt{5+4x})=0 \end{bmatrix}$
Xét g'(x)=$6(x^{2}+2x+1)+\frac{8}{\sqrt{5+4x}\left ( 3+\sqrt{5+4x} \right )^{2}}> 0$
Suy ra g(x) đồng biến với mọi x $\geq \frac{-5}{4}$ $\Rightarrow g(x)\geq g(\frac{-5}{4})> 0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

Mình thấy bạn này có bí kíp gì đó!
Nhưng theo tớ làm bài này sau khi đón dự đoán được x =1 làm nghiệm ta dễ dàng tách được như vậy bằng phép liên hợp rồi tách thôi

Đó chưa phải cách tối ưu đâu bạn!!! Bạn hãy nghĩ thêm đi, còn cách hơn đó!!!

Đưa ra cách hay hơn đi bạn!

Giả sử x và 1/x là hai nghiệm có tích bằng 1. Ta có:

$x^5 -209x+56$(1) và $\frac{1}{x^5}-\frac{209}{x}+56$(2)
(1)-(2)được:
$(x-\frac{1}{x})(x^4+x^2+1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4})-209(x-\frac{1}{x})=0$
Suy ra$(x-\frac{1}{x})(x^4+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}-208)=0$
$\cdot x-\frac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$. Thử lại không là nghiệm của phương trình.
$\cdot x^4+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}-208=0.(3)$
Đặt $x^2+\frac{1}{x^2}=t\geq 2$. (3) trở thành:
$t^2-2+t-208=0\Leftrightarrow t^2+t-210=0\Leftrightarrow t=14\vee t=-15$ (loại)
Với t=14 ta tìm được nghiệm của (3) là $\pm (2+\sqrt{3})$
Thử lại được nghiệm phương trình đã cho: $2+\sqrt{2}$ và $2-\sqrt{3}$.

Bạn phải chứng minh 1/x cũng là nghiêm đi!

nhận thấy x = 1 là nghiệm. Ta sẽ chứng minh pt này có nghiệm duy nhất là 1.
pt tương đương với $3^x(2x-1)=2x+1$.
vì x=1/2 không là nghiệm nên pt tương đương với $3^x=\frac{2x+1}{2x-1}$.
Rõ ràng vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên pt này có nghiệm duy nhất là x =1.
ok?

Thiếu 1 nghiệm là x = -1 nữa bạn ạ!

Đặt f(x)=$3^{x}$, rõ ràng f(x) đồng biến trên R
g(x)=$\frac{2x+1}{2x-1}$, rõ ràng g(x) nghịch biến trên $(-\infty ;\frac{1}{2})và(\frac{1}{2};+\infty )$(bạn lưu ý là hai khoảng nhé)
Mặt khác nhẩm được hai nghiệm trên hai khoảng đó x =1 và x = -1.Từ đó suy ra phương trình có hai nghiệm là x= 1 và x= -1

Đưa về phương trình tích (2sinx -1)(cosx - sinx+3)=0 đi bạn

http://www.wolframal...t/?i=x^3+x=3x+1 , đấy, bạn xem đi, mình chịu bạn luôn !

http://www.wolframal...t/?i=x^3+x=3x+1 , đấy, bạn xem đi, mình chịu bạn luôn !

Đúng là chịu luôn với ông này mất!

Phương trình tương đương với:$2\left (\sqrt{3} \right )^{x}+2^x=2\Leftrightarrow 2+\left (\frac{2}{\sqrt{3}} \right )^x=2.\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^x$
Xét hàm số $f(x)=2+\left (\frac{2}{\sqrt{3}} \right )^x$,$g(x)=2.\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^x$$
Ta thấy f(x) đồng biến,g(x) nghịch biến trên R suy ra phương trình có nghiệm duy nhất,nhận thấy x=2 là nghiệm của pt.Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=2!

Câu a bạn xem lại đề đi!

ĐK:$x\geq 1$
Phương trình đã cho tương đương với:$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$
Đặt $u=\sqrt{x^{2}+x+1},v=\sqrt{x-1}$ suy ra: $2u^{2}+3v^{2}=7uv$
Tới đây bạn chia 2 vế cho uv là ổn rồi!

Với v=0 thì không thoả mãn
Chia hai vế cho $v^{2}$ ta được $2\left ( \frac{u}{v} \right )^{2}-7\frac{u}{v}+3=0$$\Leftrightarrow \frac{u}{v}=3$ hoặc $\frac{u}{v}=\frac{1}{2}$

cho em hỏi tí là bằng cách nào ta nghĩ ra cách đặt như vậy ạ

Mục đích của việc đặt là ra hệ đối xứng mà bạn! Bạn cũng có thể đặt thông thường $a=\sqrt{10-3x}$.

$x^2+(\frac{x}{x+2})^2=12\Leftrightarrow x^2(x+2)^2+x^2-12(x+2)^2=0$
Đặt $x=a;x+2=b$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} a^2b^2+a^2-12b^2=0\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$
Đến đây ta có thể dùng phương pháp thế tìm ra nghiệm của hệ phương trình, suy ra nghiệm của phương trình.

P/s: Mọi người giải cụ thể hộ mình nhé, lười quá k muốn trình bày.

Ra phương trình bậc bốn đây bạn này: $a^{4}+4a^3-7a^2-48a-48=0$

Bạn nào làm tiếp đi!

Nó có kái kiểu như thế này ^^
điều kiện.....
Đặt $\frac{1}{x}=y$
Phương trình trở thành:
$3\sqrt{x-y}+\sqrt{y(x-1)}=2x-y+1$
Áp dụng $AM-GM$
ta có:
$3\sqrt{x-y}+\sqrt{y(x-1)}\leq \frac{3(x-y+1)}{2}+\frac{y+x-1}{2}=2x-y+1$
suy ra dấu = xảy ra hay
$x-y=1$
Ta có phương trình mới:
$x^2-x-1=0$ vậy nghiệm của pt là...

Mình thấy kết quả thì đúng nhưng cách làm không ổn lắm! y và x-1 đã không âm đâu mà áp dụng AM-GM như vậy được!

Cậu cứ đọc kĩ đi là biết ngay ấy mà !!!

Cảm ơn rất nhiều mong bạn chia sẻ nhiều hơn thế nữa.Thân!

Thật hài hước, nhưng hình như đề bị sai rồi hay sao ấy !
(Tham khảo: Hà Quốc Văn)
Nếu muốn lời giải ngắn gọn nhất thì làm như sau:
Ta có PT tương đương với $ \left( 3\,\sqrt {x-2}-2\,\sqrt {x+1}+1 \right) \left( 5\,\sqrt {x-2}
-3\,\sqrt {x+1}-1 \right) =0$
Giải tiếp ta được $x=3$ hoặc $x=\frac{297}{64}$

Tớ thấy bạn thường có cách làm rất nhanh về những dạng hệ phương trình,pt,vì vậy rất mong bạn chia sẻ cho tớ và những ai chưa biết đi.Cảm ơn!

Bài này khá đơn giản mà bạn,qua 1 số thao tác đơn giản là OK!

Để tớ xem lại sory

$16x^{4}-24x^{2}-3+8\sqrt{3-4x} =0$

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{^{2}}+6}+y\sqrt{x^2+6}=7xy\\ y\sqrt{y^{^{2}}+6}+x\sqrt{x^2+6}=2+x^{2}+y^{2} \end{matrix}\right.$
P/S: Đây là đề thi thử 2013 trên người thầy.vn! Theo mình bài này cũng hay mọi người có thể cho nhiều cách bài này càng tốt.