Tớc tiên ta sẽ chứng minh $f$ là ánh xạ tuyến tính. Đặt $u=(x_1,x_2,x_3);v=(y_1,y_2,y_3)$ Ta có $f(u+v)=f(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(-2x_2+x_3-2y_2+y_3,x_1+2x_3+y_1+2y_3,x_1+2x_2+x_3+y_1+2y_2+y_3)=(-2x_2+x_3,x_1+2x_3,x_1+2x_2+x_3)+(-2y_2+y_3,y_1+2y_3,y_1+2y_2+y_3)=f(u)+f(v)$
Lại có $f(ku)=f(kx_1,kx_2,kx_3)=(-2kx_2+kx_3,kx_1+2kx_3,kx_1+2kx_2+kx_3)=k(-2x_2+x_3,x_1+2x_3,x_1+2x_2+x_3)=kf(u) \Rightarrow $ Điều phải chứng minh.
Ta có $ \left\{\begin{array}{l} f(e_1)=f(1,2,1) =(-3,3,6) \\ f(e_2)=f(-1,-1,1)=(3,1,-2) \\ f(e_3) = f(2,3,-1)=(-7,0,7) \end{array}\ right.$ Nên ma trận A của $f$ đối với cơ sở $B$ là
$A=\left[\begin{array}{l}-3&3&-7\\3&1&0\\6&-2&7\end{array}\right]$