Cho a là số thực dương,xét dãy số ($x_n$):
$\left\{\begin{matrix}
x_1=a & \\
x_{n+1}\geq n+2x_n-\sum_{k=1}^{n-1}kx_k & \forall n\geq 1
\end{matrix}\right.$

Tìm $limx_n$

Nó mà bay qua mặt em là chết pùm pùm chéo

Lúc đó hai anh anh nào chạy trước đấy =))

Có lẽ cả hai em

Viết trên bảng các số 1,2,....,2004.Có 2 người chơi theo quy tắc sau: Đến lượt, mỗi người có quyền xóa 2 số tùy ý a,b trên bảng thay vào số đó $a^{b}$.Trò chơi kết thúc khi trên bảng còn lại một số.Nếu số đó tận cùng là 2,3,7,8 thì người đi trước được xem là thắng.Nếu ngược lại thì người đi sau sẽ thắng.Hỏi ai là người chiến thắng trong lược chơi này.

Trên măt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d$_{1}$ :2x-3y-3=0 và d$_{2}$ :5x+2y-17=0.Đường thẳng d đi qua giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt hai tia Ox và Oy lần lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho$\frac{AB^{2}}{S^{2}_{\Delta OAB}}$ nhỏ nhất

$7a+13a^2+8a^3=2\sqrt[3]{3+3t-t^2}$

sửa đó chữ t thành a kìa kiên

Bài 82. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
8\left ( x^2+y^2 \right ) +4xy+\frac{5}{(x+y)^2}=13 \\ 2x+\frac{1}{x+y}=1
\end{cases}$$

Đề thi HSG Thái Nguyên 2011 - 2012 $\heartsuit$

Bài này cũng xuất hiện tương đối nhiều rồi

Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} 5(x+y)^{2}+3(x-y)^{2}+\frac{5}{(x+y)^{2}}=13 & \\ x+y+x-y+\frac{1}{x+y}=1 & \end{matrix}\right.$
Đặt: $\left\{\begin{matrix} a=x+y & \\ b=x-y & \\ a+\frac{1}{a}=t (\left | t \right |\geq 2) & \end{matrix}\right.$ ta được:
$\left\{\begin{matrix} 5t^{2}+3b^{2}=23 & \\ t+b=1 & \end{matrix}\right.$
Dễ dàng tìm được: t=2$\Rightarrow b=-1\Rightarrow a=1$
Từ đó hệ có nghiệm: (0;1)

Tiếp nha

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

----------------------

Bài 72:

$15x^{5}+11x^{3}+28=\sqrt{1-3x}$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

----------------------

Bài 73:

$(4x-1)\sqrt{1+x^{2}}=2x^{2}+2x+1$

(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho ${y^{11}} \ne 0$, ta được:
\[{\left( {\frac{x}{y}} \right)^{11}} + \frac{x}{y} = {y^{11}} + y\]
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right) = {t^{11}} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 11{t^{10}} + 1 > 0$. Suy ra hàm $f$ tăng.

Từ phương trình, suy ra: $f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f\left( y \right) \Rightarrow \frac{x}{y} = y \Leftrightarrow x = {y^2}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
\[7{y^4} + 13{y^2} + 8 = 2{y^4}\sqrt[3]{{{y^2}\left( {3{y^4} + 3{y^2} - 1} \right)}}\]
...

Đến đó giải phương trình sao nhỉ

\[7{y^4} + 13{y^2} + 8 = 2{y^4}\sqrt[3]{{{y^2}\left( {3{y^4} + 3{y^2} - 1} \right)}}\]
...

tớ nghĩ nên giải quyết tận gốc phương trình này

mình có thể đăng vài bài được không:
2)$\frac{2x}{2x^2-5x+3}+\frac{13x}{2x^2+x+3}=0$

Nếu x=0: thỏa
Nếu x$\neq 0$ :
PT$\Leftrightarrow \frac{2}{2x+\frac{3}{x}-5}+\frac{13}{2x+\frac{3}{x}+1}=0$
Đặt t=$2x+\frac{3}{x}$ (1)ta có:
$\Leftrightarrow \frac{2}{t-5}+\frac{13}{t+1}=0\Leftrightarrow t=\frac{43}{15}$ thế vào (1) ta thấy vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0

Bài 36 đã có ở đây http://diendantoanho...x420x35x22x-70/

p\s thế là xong bài 36

Post một bài cho đỡ buồn vậy

Bài 44.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+3x^{2}-18=y^{3}+y & \\ 2y^{3}+3y^{2}-18=z^{3}+z & \\ 2z^{3}+3z^{2}-18=x^{3}+x & \end{matrix}\right.$

p\s hình như là đề chọn đội tuyển 30\4

Làm vài bài nữa nhỉ
Bài 69. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$$
Đề thi HSG Lạng Sơn Lớp 11 - 2011/2012
---------------------------

Pt 1 $\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}y+2x^{2}-2xy+x-y=0 \Leftrightarrow x^{2}(x-y)+2x(x-y)+(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(x+1)^{2}=0$$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y & \\ x=-1 & \end{bmatrix}$
+Thay x=y vào pt 2 $\Rightarrow 3x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
+x=-1$\Rightarrow y=-3$
Vậy...
p\s câu này dễ thở nhỉ

Tiếp tục, mọi người chém ác thật, cơ bản là gần hết đề các tỉnh trong năm 2010,2011 rồi
Bài 43. Giải phương trình

$$x^4+2006x^3+1006009x^2+x-\sqrt{2x+2007}+1004=0$$

Đề thi đề nghị Olympic 30/4 - Trường Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam

pt $\Leftrightarrow -2x^{4}-4012x^{3}-2012018x^{2}=2x+2008-2\sqrt{2x+2007}\Leftrightarrow -2(x^{2}+1003x)^{2}=(\sqrt{2x+2007}-1)^{2}$
Suy ra pt có nghiệm x=-1003

Hạn chế cm như thế này nhé ! Hãy sử dụng chức năng "Thích"

---------------------

Tiếp tục với 1 bài nhẹ :X

Bài 71. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} xy^2-2y+3x^2=0 \\ y^2+x^2y+2x=0 \end{cases}$$

Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình - Vòng 1.

P/S: bài này nhìn qua đã thấy ý tưởng lộ liễu rồi

Xét x=0 thì y=0 thỏa mãn hệ
Khi $x\neq 0$ nhân 2 vế pt 2 cho x rồi trừ cho pt 1 vế theo vế ta có:
$x^{3}y+2y-x^{2}=0\Leftrightarrow y(x^{3}+2)=x^{2}\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}}{x^{3}+2}$
Thay vào pt 1 ta có:
$x(\frac{x^{2}}{x^{3}+2})^{2}-2(\frac{x^{2}}{x^{3}+2})+3x^{2}=0 \Leftrightarrow \frac{x^{3}}{(x^{3}+2)^{2}}-\frac{2}{x^{3}+2}+3=0 \Leftrightarrow x^{3}-2(x^{3}+2)+3(x^{3}+2)^{2}=0\Leftrightarrow 3x^{6}+11x^{3}+8=0\Leftrightarrow (x^{3}+1)(3x^{3}+8)=0$
Giải pt trên ta có
+$x^{3}=-1\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=1$
+$x^{3}=\frac{-8}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{-8}{3}}\Rightarrow y=\frac{-6}{\sqrt[3]{9}}$
Vậy...
p\s không biết ông làm sao chứ bài này mệt quá

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y \\
y^3 - 3y = z \\
z^3 - 3z = x \\
\end{array} \right.
$
Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

Đặt $f(t)=t^{3}-3t ;g(t)=t $
Khi đó hệ pt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & \\ f(y)=g(z) & \\ f(z)=g(x) & \end{matrix}\right.$
Giả sử x=max(x,y,z) thì $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq y\Rightarrow g(x)\geq g(y) & \\ x\geq z\Rightarrow g(x)\geq g(z) & \\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)\geq f(x) & \\ g(z)\leq f(z) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq x^{3}-3x& \\ z \leq z^{3}-3z & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x^{2}-4) \leq 0&\\ z(z^{2}-1) \geq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
0\leq x\leq 2 & \\
x\leq -2 &
\end{bmatrix} & \\
\begin{bmatrix}
z\geq 2 & \\
-2\leq z\leq 0 &
\end{bmatrix} &
\end{matrix}\right.$
Suy ra $\begin{bmatrix} x=z=0 & \\ x=z=2 & \\ x=z=-2 & \end{bmatrix}$
Thế vào hệ pt ta được $\begin{bmatrix} x=z=y=0 & \\ x=z=y=2 & \\ x=z=y=-2 & \end{bmatrix}$
Vậy ...

Đề thi HSG Khối 12 - Huế - 09/10
Bài 56. Giải phương trình
$$sin^3x+cos^4x=1$$
Đề thi HSG khối 12 - Huế - 2008
------------------------

pt $\Leftrightarrow sin^{3}x+cos^{4}x=sin^{2}x+cos^{2}x\Leftrightarrow sin^{2}x(1-sinx)+cos^{2}x(1-cos^{2}x)=0$
mà $sin^{2}x(1-sinx)\geq 0;cos^{2}x(1-cos^{2}x)\geq 0$
Do đó ta có
$\left\{\begin{matrix} sin^{2}x(1-sinx)= 0& \\ cos^{2}x(1-cos^{2}x)=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \begin{bmatrix} sinx=0 & \\ sinx=1 & \end{bmatrix}$
Vậy nghiệm của phương trình $x=k\Pi ;x=\frac{\Pi }{2}+2k\Pi,k\epsilon \mathbb{Z}$

Chậc chậc, bận quá không có time search đề
Tiếp tục nào !
Bài 57. Giải phương trình
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$$
Đề thi HSG tỉnh Bình Định - 09/10

Chém thôi :
Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai vế cho $x^{3}$ ta được:
$-2+\frac{10}{x}-\frac{17}{x^{2}}+\frac{8}{x^{3}}=2\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$
Đặt $t=\frac{1}{x};t\neq 0$
$\Leftrightarrow 8t^{3}-17t^{2}+10t-2=2\sqrt[3]{5t^{2}-1}$
$\Leftrightarrow (2t-1)^{3}+2(2t-1)=5t^{2}-1+2\sqrt[3]{5t^{2}-1}$
Xét hàm số $ f(x)=x^{3}+2x \Rightarrow f'(x)=3t^{2}+2> 0$ suy ra hàm số f tăng trên R.
$f(2t-1)=f(\sqrt[3]{5t^{2}-1})\Leftrightarrow 2t-1=\sqrt[3]{5t^{2}-1}\Leftrightarrow 8t^{3}-12t^{2}+6t-1=5t^{2}-1$
Giải ra ta được t=0 (loại) $t=\frac{17\pm \sqrt{97}}{16}\Rightarrow x=\frac{16}{17\pm \sqrt{97}}$
Vậy...

Đoạn nay suy ra được hả bạn? Minh nghĩ không phải đau nha

Em nghĩ là thế này không biết có đúng không
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
0\leq x\leq 2 & \\
x\leq -2 &
\end{bmatrix} & \\
\begin{bmatrix}
z\geq 2 & \\
-2\leq z\leq 0 &
\end{bmatrix} &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -2\leq z\leq 0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\leq 2\leq z & \\ x\leq -2\leq z & \end{bmatrix}$
Mà x là max (x,y,z) nên suy ra
Còn trường hợp x=y=z=0 thì em không biết sao để có thể suy ra không biết có thể nói rằng dễ thấy x=y=z=0 là nghiệm của hệ không có lẽ cách làm chưa đúng anh xem sai chỗ nào chỉnh giúp em hoặc anh có cách giải khác thì post lên cho mọi người tham khảo

Chậc chậc, bận quá không có time search đề
Bài 58. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
9y^3(3x^3-1)=-125 & & \\ 45x^2y+75x=6y^2
& &
\end{matrix}\right.$$
Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 09/10

Lời giải khác cho bài này (nguồn boxmath)

Lời giải:
*)$y=0$ không phải là nghiệm của hệ phương trình
*)$y$ khác $0$,chia phai vế pt$(1)$ cho $y^3$,pt$(2)$ cho $y^2$,ta được:
$$\begin{cases} 27x^3+\frac{125}{y^3}=9 \\ 45\frac{x^2}{y}+75\frac{x}{y^2}=6 \end{cases}$$
hay $$\begin{cases} (3x)^3+(\frac{5}{y})^3=9 \\ (3x)^2\frac{5}{y}+3x(\frac{5}{y})^2=6 \end{cases}$$
Đặt: $\begin{cases} a=3x \\ b=\frac{5}{y} \end{cases}$,hệ trở thành :
$$\begin{cases} a^3+b^3=9 \\ ab(a+b)=6 \end{cases}$$
Đến đây dễ rồi

$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Trích : Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm 2011-2012

PT$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^{3}+x^{2}-2x+(x^{2}-x+1)}{x^{2}+2}$
Đặt t=$\sqrt{x^2-x+1}$;$t\geq 0$ ta được:
$(x^{2}+2)t=x^{3}+x^{2}-2x+t^{2}$
$\Leftrightarrow t^{2}-(x^{2}+2)t+x^{3}+x^{2}-2x=0$
$\Delta =x^{4}-4x^{3}+8x+4=(x^{2}-2x+2)^{2}$
$\Rightarrow t=\frac{ x^{2}+2\pm \left | x^{2}-2x-2 \right |}{2} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=x^{2}-x & \\ t=x+2 & \end{bmatrix}$
+ t=$x^{2}-x$:$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$(thỏa)
+t=x+2:$\Rightarrow x=\frac{-3}{5}$(thỏa)
Vậy...

Anh Tiến hăng say quá nhỉ

----

Tiếp nhỉ

Bài 62. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2(y^3-x^2)=6x^2+7x-y+3 & & \\
2\sqrt{3-y}+2\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} & &
\end{matrix}\right.$$

Thi chọn đội tuyển Chuyên Thái Bình - Ngày 2.

P/S: bài này thực ra mình đã post 1 thời gian rồi, mà vẫn đưa vào đây cho nó đồng bộ, lúc tìm cho dễ

Đề sai kìa phải là $$\left\{\begin{matrix}
2(y^3-x^3)=6x^2+7x-y+3 & & \\
2\sqrt{3-y}+2\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} & &
\end{matrix}\right.$$

Điều kiện: $y \epsilon \left [ -1;3 \right ]$
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra được
$2{y^3} + y = 2{(x + 1)^3} + (x + 1)$
$f(t) = 2{t^3} + t có f'(t) = 6{t^2} + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}$ do đó hàm số f(t) đồng biến trên$\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(y)=f(x+1)\Leftrightarrow y=x+1$ thay vào phương trình 2 ta được...
p\s tới đó thì ...

ĐỀ thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc (02/11/2012 môn toán- thpt Chuyên)


$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} & \\
y^{2}+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} & \\
z^{2}+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}&
\end{matrix}\right.$

mod: công thức kẹp trong cặp thẻ đô la ($ ) nhé bạn

Giả sử : $x\geq y\geq z$
Xét $f(t)=t^2+3t+2$ và $g(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}$ với $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
f(t) là hàm đồng biến,g(t) là hàm nghịch biến trên khoảng $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
Suy ra $f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)$
Lại có $g(y)\leq g(z)$
Nên $g(y)=g(z)$ suy ra $y=z$
Chứng minh tương tự ta được: $x=y$
Suy ra $x=y=z$
Thế vào phương trình trên ta giải được
$(x;y;z)=(1;1;1)$

Oh, đến đây nếu không có gì thì cứ bình lên thôi nhỉ
$2\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+4}=\sqrt{\frac{9x^2}{4}+4} \\ \Longrightarrow 9x^2+8x-32-16\sqrt{8-2x^2}=0 \\ \Longrightarrow-\left ( 9x^2-32 \right )\left ( 9x^2+16x+32 \right )=0\\ \Longrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\frac{4\sqrt{2}}{3} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{3}\end{matrix} \right.$
----------------------------

Nhầm to rồi "hắc lào " ơi
sai đề rồi kìa phải là
$2\sqrt{2-x}+2\sqrt{2x+4}=\sqrt{\frac{9x^2}{4}+4}$
p\s hèn gì làm mãi không ra ông chuyên gia nhầm đề