Đến nội dung

bdtilove nội dung

Có 75 mục bởi bdtilove (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#631712 Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính

Đã gửi bởi bdtilove on 07-05-2016 - 09:52 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức

Thật ra ta có kết quả sau: Với $a,b,c$ là ba số thực bất kỳ và $A,B,C$ là các số thực cho trước. Xét đa thức

\[P(a,b,c) = \sum a^4 + A\sum b^2c^2 + B \sum a^3b + C\sum ab^3 -(1+A+B+C)abc(a+b+c).\]

Khi đó nếu $3(1+A) = B^2 + BC + C^2,$ thì \[P(a,b,c) = \frac{1}{18} \sum \left [ 3a^2-3b^2+(B-C)ab-(2B+C)bc+(B+2C)ca \right ]^2 \geqslant 0.\]

Với $A=0,B=1,C=-2$ ta được bài toán 1.

Với $A=-\frac{9}{25},B=-\frac{4}{5},C=-\frac{4}{5}$ ta được bài toán 3.

Với $A=2,B=-3,C=0$ ta được ví dụ 1.

 

cái này vẫn còn yếu, nếu đọc và hiểu được mã nguồn của degree4 trong đó có nhiều phân tích hay hơn thế này nhiều.




#353821 $ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 13-09-2012 - 09:30 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $ a, b, c \ge 0 $ là ba số thực. Thỏa mãn: $ a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt{c^2+a} \ge 3\sqrt{2} $



#354196 $ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 14-09-2012 - 21:36 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Lúc đầu bạn gõ $\LaTeX$ lỗi mà.Thôi bỏ qua chuyện đó đi.Nhưng mà mình nghĩ bài toán này là 1 bài toán hoán vị,không đối xứng.Tức là mình không thể giả sử $a\geq b\geq c$ được :-s
Kĩ thuật kia là j thế bạn =p~ bạn có tài liệu j về nó không minh xin với

Trên thực tế
$(3-c+\sqrt{\frac{3-c}{2}})^{2}+(\sqrt{\frac{3-c}{2}}+\sqrt{c}+c)^{2}\ge 18$ với mọi $c \in [0,3]$ Cho nên ta chỉ cần xét $ a \ge b $ hoặc $ b \ge a $ mà hai trường hợp này thì như nhau!!! Còn $ c $ Max hay Min không quan trọng!Cho nên chỉ cần xét 1 trường hợp cho toàn bài!! Mình nghĩ là vậy!! Còn bạn thì sao?? Còn MKS Cyclic không có trong ebook nào đâu!! Nhưng nếu bạn thích mình có thể trao đổi qua Yahoo!!



#354071 $ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 14-09-2012 - 15:11 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Ặc sao bạn kog trả lời ra ngoài mà edit bài mình vậy!!
Latex mình biết gõ mà!!
Đây là lời giải của mình (kỹ thuật mình dùng tạm gọi là MKS Cyclic), không mất tính tổng quát giả sử $ a \ge b \ge c $ Viết lại bất đẳng thức cần chứng mình thành: $ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt{a+c^2} \ge 3\sqrt{2} $ Sử dụng bất đẳng thức Minkowski quy bất đẳng thức cần chứng minh thành:
$ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt{a+c^2} \ge \sqrt{(a+b+\sqrt{a})^2+(\sqrt{b}+\sqrt{c}+c)^2} $ Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: $(a+b+\sqrt{a})^2+(\sqrt{b}+\sqrt{c}+c)^2 \ge 18 $ với $ a+b+c=3 $. Nhưng trước hết ta sẽ chứng minh $ f(a,b,c) \ge f(t,t,c) $ với $ t=\frac{a+b}{2} $. Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với: $ (a+b)(\sqrt{a}-\sqrt{\frac{(a+b)}{2}})+(c+\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{\frac{(a+b)}{2}}) $ nhưng không quá khó để thấy:
$ (a+b)(\sqrt{a}-\sqrt{\frac{(a+b)}{2}}) \ge 0 \ge (a+b)(\sqrt{b}-\sqrt{\frac{(a+b)}{2}}) $ cho nên bất đẳng thức cuối có thể viết lại thành: $ (a^2+b-c-\sqrt{c})(\sqrt{\frac{(a+b)}{2}}-\sqrt{b}) \ge 0 $ đúng do $ a^2 \ge \sqrt{c} $ và $ b \ge c$ cũng như $ \frac{(a+b)}{2} \ge b $. Vậy sử dụng điều kiện $ a+b+c=3 $ ta có $ t=\frac{3-c}{2} $. Vậy bất đẳng thức cuối sẽ là: $ (3-c+\sqrt{\frac{3-c}{2}})^{2}+(\sqrt{\frac{3-c}{2}}+\sqrt{c}+c)^{2}\ge 18 $ bằng việc khảo sát $ f(c.)$ với $ c \in [0,1] $ ta có ngay kết quả cần chứng minh!! Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1 $ Lời giải của mình rất dài và nhiều tính toán nhưng mình chỉ có mỗi lời giải này!



#354019 $ \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 14-09-2012 - 08:15 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Đặt $a=3x,b=3y,c=3z$ thì ta có $x,y,z\geq 0,x+y+z=1$ và cần chứng minh:
$$\sqrt{3(3x^2+y)}+\sqrt{3(3y^2+z)}+\sqrt{3(3z^2+x)}\geq 3\sqrt{2}$$

Lời giải của bạn rất thú vị!!
Nhưng bước này:
$\sqrt{x^2+y}+\sqrt{y^2+z}+\sqrt{z^2+x}\geq 2, x, y, z \ge 0$ Có thể giải đơn giản hơn bằng đánh giá
$ \sqrt{p}+\sqrt{q} \ge \sqrt{r}+\sqrt{p+q-r} $ Với $ r=Min (p,q,r) $ Mình có 1 lời giải bằng Minkowski kết hợp với giải tích!!

__________________________________
Bạn p0st để mọi người cùng học hỏi được không? :D
Bạn có thể tham khảo về $\LaTeX$ tại:
http://diendantoanho...cong-thức-toan/



#355469 $$x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Đã gửi bởi bdtilove on 20-09-2012 - 15:25 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài toán: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Mình đã đưa ra kết quả cho bài này tại đây:
http://diendantoanho...ưa-co-lời-giải/
Xin phép chủ bài toán cho mình đem nó qua Mathlinks.ro nha!



#356730 $$x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 09:36 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài này thực chất giống với bài $x+y+z=1$.Tìm min max của $xy+yz+zx-kxyz$ ạ :)

Giống chỗ nào nhỉ?? Nhìn mãi không ra!! :ohmy: Hình thức thì giống nhưng bản chất thì không thấy giống!!



#357825 Giải mật mã

Đã gửi bởi bdtilove on 30-09-2012 - 16:03 trong IQ và Toán thông minh

Ta sẽ bắt đầu với các hình có kèm số:
-Hình 1:Thành phố(CITY) nên 1-C;9-I;7-T;5-Y.
-Hình 2:Cờ vua(CHESS) nên 2-H;3-E;8-S.
-Hình 3:Cây (TREE) nên 4-R.
-Hình 4:Messi với số áo 10 hay còn được biết đến với tên M10 (tên viết tắt kèm theo số áo) nên 6-M.
Đến đây ta trở lại với 2 hình đầu tiên -chiếc điện thoại và cầu thang hình xoắn ốc.
Điền các chữ trên tương ứng với cách sắp xếp các số trên điện thoại ta có:
Hình đã gửi


Và cuối cùng chiếc cầu thang chính là cách đọc ô chữ trên:theo hình vòng xoắn ốc.
Ta được:CHEMISTRY(HÓA HỌC).
Hóa học và dãy số mật mã, ta nghĩ ngay đến bảng tuần hoàn.
Hình đã gửi
-39:Y
-8:O
-92:U
-18:AR
-(26-9):(Fe-F) :E
-23:V
-68:ER
-39:Y
-17:CL
-(34-16):(Se-S):E
-23:V
-68:ER
Và mật mã chính là :YOU ARE VERY CLEVER.

Hai chìa khóa quan trọng nhất lại là 2 thứ mình dở nhất!! Cần phải update thêm mới được!!



#357530 Giải mật mã

Đã gửi bởi bdtilove on 29-09-2012 - 18:45 trong IQ và Toán thông minh

Theo anh nghĩ:
0=
1=c
2=h
3=e
4=r
5=y
6=
7=t
8=s
9=i
.....số 0 và 6 liên quan đến đá banh mà xưa nay anh không bao giờ xem đá banh hết... thứ lỗi... dành lại cho các bạn!! Tiếp nào!!
Thân!



#357824 Giải mật mã

Đã gửi bởi bdtilove on 30-09-2012 - 16:02 trong IQ và Toán thông minh

Nghĩa của từ này là bạn rất thông minh, phải ko ?

Ừm!! Thông minh mới giải được chứ!!



#356800 $$x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 18:31 trong Bất đẳng thức - Cực trị

@@~ Do $1-2(xy+yz+zx-kxyz)=x^2+y^2+z^2+2kxyz$ nên rõ ràng để tìm max min của $x^2+y^2+z^2+2kxyz$ cũng như $x^2+y^2+z^2+kxyz$ ta chỉ cần tìm max min của $xy+yz+zx-kxyz$ :mellow:

Anh giải trực tiếp với bậc hai của $ x, y, z $ luôn và chia làm 3 trường hợp tất cả!! Phần Min thì chỉ chứng minh trong trường hợp $ k=\frac{9}{2} $ và Max thì trường hợp $ k=18 $ và $ k >18 $ là đủ!! Còn em giải với bậc 1 theo $ x, y, z $ công việc nhẹ nhàng hơn anh rất nhiều!! :(



#355319 Các bạn ơi cho mình xin ý kiến ?

Đã gửi bởi bdtilove on 19-09-2012 - 18:40 trong Tài liệu tham khảo khác

Năm nay mình học lớp 10 , mục tiêu của mình là thi olympic 30/4 , cái phần mà mình thấy mình yếu nhất là bất đẳng thức ! các bạn cho mình hỏi mình nên tham khảo sách gì để nâng cao phần này ? có nên đọc mấy cuốn như những viên kim cương trong bđt toán học hay sáng tạo bất đẳng thứck ?
à mà cho mình xin tên mấy cuốn sách để ôn thi olympic 30/4 đc k v ?
Thanks trc ( nếu có sai box xin mod thông cảm ! )

Cuốn Những viên kim cương trong bất đẳng thức quá dầy và nhiều kiến thức mà bạn chưa thể tiếp cận!!
Bạn chỉ học lớp 10, mình nghĩ bạn nên tiếp cận các sách sau:
Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức! Có thể tải tại đây:
http://www.vnmath.co...t-ang-thuc.html
Sử dụng Cauchy-Schwarzt để chứng minh bất đẳng thức!
Phân dạng và phương pháp chứng minh bất đẳng thức! ( Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vasile Citoaje )
Secrect in Inequality vol 1 (Trên mạng có rất nhiều)
Old and new inequality vol 1!



#358083 Old and new inequalities vol 2 (Tiếng Việt)

Đã gửi bởi bdtilove on 01-10-2012 - 18:02 trong Tài nguyên Olympic toán

NHóm WoW xin giới thiệu đến các bạn bản dịch quyển Old and New inequalities vol 2 của anh Võ Quốc Bá Cẩn và Cosmin Poahata.....
Trước hết mình xin nói rõ với các bạn!!
Ebook dưới đây là mình và zipienie cùng dịch!!
Ebook này chỉ là chương 1 của quyển sách chứ không phải toàn bộ quyển sách này!! ( Vì nhiều vấn đề khác nhau mà hơn hết là vấn đề bản quyền!!)
Hiện tại nhóm WoW đang cố gắng thuyết phục anh Cẩn đồng ý cho phép share toàn bộ nội dung sách này!!
Mọi sai sót cũng như là ý kiến đóng góp xin gởi về địa chỉ của nhóm WoW: [email protected] hoặc [email protected]
Xin các bạn đừng gửi các Email với nội dung giống hoặc gần giống với:

Anh ơi share cho em với được không ạ?? Bạn ơi share cho mình với, mình hứa không cho ai biết đâu!!....... Vì cả mình và zipienie đều có sách nguyên bản chứ không phải ở dạng Ebook.
Mọi ý kiến đóng góp của các bạn là sự khích lệ lớn lao với nhóm WoW chúng tôi!
Bất cứ Site hay Forum toán học nào cũng đều được nhóm WoW cho phép mang ebook này về Share tại diễn đàn của mình. Trừ http://forum.mathscope.org/ không được sự đồng ý của nhóm nên không được phép đem về bên đó!!
Mong các bạn đọc kĩ!

File gửi kèm




#358205 Old and new inequalities vol 2 (Tiếng Việt)

Đã gửi bởi bdtilove on 02-10-2012 - 08:14 trong Tài nguyên Olympic toán

Bản dịch đã được chỉnh lại!! Cám ơn những đóng góp của bạn đọc!! :D
Các bạn download lại ở trên nha!!



#358298 Nhóm WoW tuyển thành viên.

Đã gửi bởi bdtilove on 02-10-2012 - 15:14 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Chào bạn, mình cũng mong muốn được góp một chút sức lực vào việc chia sẻ nguồn kiến thức vô tận cho mọi người, mình đã từng gặp nhiều khó khăn khi xem các sách, tài liệu nước ngoài vì vậy mình hiểu sự cần thiết của tài liệu viết bằng tiếng Việt.
Vì một số lí do cá nhân nên tên, tuổi mình xin phép được giữ lại (mình đã trên 15), mỗi ngày mình có thể dịch từ 2 đến 5 trang sách mỗi ngày, $\LaTeX$ mình có thể sử dụng khá là thành thạo (nếu không gặp vấn đề gì về $\LaTeX$ hoặc trình bày mình sẽ hỏi).
Mong muốn được tham gia vào nhóm dịch và có thể liên hệ với mình qua mail: [email protected]
Chúc nhóm phát triển và đạt được mục đích mong muốn.

Chào mừng bạn đến với nhóm WoW mình đã gửi Email cho bạn gồm:
+File gốc của tài liệu mà nhóm đang dịch.
+Trọn bộ phần mềm LacViet như đã hứa!
+Phân công công việc!
++++ Nhớ Check Email nhá?? :D



#358208 Nhóm WoW tuyển thành viên.

Đã gửi bởi bdtilove on 02-10-2012 - 08:24 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Đôi điều về nhóm WoW :

Nhóm dịch Magic of Math (WoW) là một nhóm dịch vừa mới thành lập cách đây không lâu. Do sự gặp gỡ tình cờ của 2 dịch giả trên Mathlinks.ro… Dù lĩnh vực của hai dịch giả vô cùng khác biệt với nick thứ nhất là bất đẳng thức còn của nick thứ 2 lại là phương trình, bất phương trình và hệ phương trình… nhưng cả hai đều có chung một ước muốn là chia sẽ kiến thức cho các bạn khác có cùng sở thích, đam mê là toán học. Nhưng khả năng của cả 2 đều có hạn nên sau một thời gian chúng tôi quyết định thành lập nhóm dịch sách (từ tiếng Anh sang tiếng Việt). Để có thể mang đến cho tất cả các bạn đam mê toán học trên khắp mọi miền đất nước, những tài liệu viết tay, đánh máy, những quyển sách toán của các nước khác. Ngoài mục đích là đem kiến thức đến cho các bạn, nhóm dịch WoW còn Mong muốn bổ sung thêm cho các bạn những kiến thức, định lý, kỹ thuật cũng như các kết quả mới đây ( đã lâu ) nhưng các bạn không có điều kiện tiếp xúc do rào cản về ngôn ngữ hoặc là do thiếu kiến thức về thuật ngữ.
Vì là lần đầu tiên tiếp xúc với “dịch thuật” mà cả 2 đều còn trẻ (18 tuổi) nên cả 2 đều không thể tránh khỏi những sai sót trong quá trình dịch cũng như biên tập tài liệu. Rất Mong các bạn bỏ qua và gửi ý kiến đóng góp cho nhóm WoW qua địa chỉ: [email protected]
Mọi nhận xét, phê bình cũng như đóng góp của các bạn luôn là những lời động viên dành cho nhóm dịch WoW chúng tôi.




Nhóm WoW tuyển thêm dịch giả!

Như các bạn đã thấy, một quyển sách, một bản viết tay hay một tài liệu bất kì đều khá nhiều (trên 100 trang) với khối lượng công việc lớn như vậy thì 2 người trong nhóm WoW không thể nào hoàn thành nhanh được, do đó nhóm WoW Mong muốn các bạn trên khắp 3 miền đất nước cùng tham gia vào nhóm WoW để có thể hoàn thành công việc một cách nhanh chóng cũng như cho ra nhiều tác phẩm trong thời gian ngắn hơn và chất lượng hơn. Cho nên nhóm WoW cần tuyển thêm thành viên với yêu cầu:
+ Một nhóm chuyên về Latex và có khả năng dịch từ 2 trang sách trở lên mỗi ngày. ( Biết sử dụng các phần mềm như Miktex 2.9…..) (Nhóm 1)
+ Một nhóm dịch giả có khả năng dịch từ 2 trang sách trở lên mỗi ngày. (Nhóm 2)
Giới hạn độ tuổi với các bạn tham gia là từ 15 tuổi trở lên.
Nhóm sẽ hỗ trợ cho các bạn tham gia những khoản sau đây để tiện việc dịch và tăng khả năng dịch:
+ Trọn bộ phần mềm LACVIET mtd For Students 2011. Cho các bạn để có thể tiện tra cứu thuật ngữ và học tập.
+ File gốc của tài liệu ( File Latex, Word, PDF ) mà tác giả đã dùng để tạo nên tài liệu nhằm tiết kiệm thời gian chỉnh sửa và gõ lại của các bạn.
Rất mong các bạn trên khắp 3 miền tham gia nhóm dịch WoW… mọi đơn đăng kí xin gửi về địa chỉ Gmail của nhóm WoW là [email protected] hoặc tại đây theo mẫu:
+ Họ và tên:
+ Ngày tháng năm sinh:
+ Nhóm muốn tham gia:
+Địa chỉ liên hệ: (Email hoặc Gmail....)




Trưởng nhóm WoW

bdtilove




#358088 Old and new inequalities vol 2 (Tiếng Việt)

Đã gửi bởi bdtilove on 01-10-2012 - 18:16 trong Tài nguyên Olympic toán

Thay mặt toàn thể các bạn trẻ yêu bất đẳng thức trên diễn đàn,em xin cảm ơn anh!
* Like mạnh mọi người ơi :)) Ba0 đêm trăn trở của anh bdtilove đấy ;) *

Hức hức hức!! Chỉ có chú là hiểu nổi lòng của anh nhất!! Anh và nhóm hứa sẽ đem hết sức mình dịch nhiều tài liệu mang đậm phong cách VMF hơn nữa!!



#356756 Bản dịch ''1220 Number Theory Problems'' của Mathlinks.ro

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 15:21 trong Tài nguyên Olympic toán

Theo mình các bạn không được dịch cũng không được làm gì với quyển này, vì làm như vậy sẽ vi phạm bản quyền tác giả, phải hỏi ý kiến của anh $AHP$ trước đã rồi làm gì thì làm!

Đích thân tôi đã hỏi Armin Hossien rồi!! Thế cậu nghĩ File Tex ở trên trời rớt xuống à! :D



#354971 Cho $a,b>0$. CMR: $\frac{1}{a^2}+...

Đã gửi bởi bdtilove on 17-09-2012 - 22:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

Lời giải của WhjteShadow rất thú vị, nhưng không phải ai cũng nghĩ ra nếu không biết được sự thật!!!!
Bằng AM-GM ta có: $ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge \sqrt{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^2+b^2})}=\frac{4}{ab}$
ta sẽ chứng minh
$(a+b)^4 \ge 4ab(a^2+b^2)$ hay là: $(a-b)^4 \ge 0$



#355320 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $D=(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)$

Đã gửi bởi bdtilove on 19-09-2012 - 18:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có:$(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\leq (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)\leq \frac{(x^2+2xy+3y^2)^3}{27}$
$$=\frac{\left [(x+y)^2+2y^2 \right ]^3}{27}\leq \frac{\left [\frac{3}{2}(x+y)^2 \right ]^3}{27}$$(do $y\leq \frac{x+y}{2}$)
$=\frac{(x+y)^6}{64}\leq \frac{(x+y+z)^6}{64}=1$ (do $x+y+z=2$)
Dấu bằng xảy ra khi có 2 số bằng nhau;1 số bằng 0.

Lời giải của BoBoiBoy sai rồi!!
Chỗ sai là đây, lời giải đã sử dụng đánh giá: $ (x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)\leq (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)\leq $ Vì x và y Max cho x=y=1! Ta thu được: $ (x^2+y^2)(y^2+xy)(y^2+xy)=8 < 1??????????$



#355317 Cho $a,b>0$. CMR: $\frac{1}{a^2}+...

Đã gửi bởi bdtilove on 19-09-2012 - 18:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Kinh vậy :lol: :lol: :lol:

Sax!! Tui nói lời giải của WhjteShadow mà! Đâu phải của tui đâu!! Để Edit lại cho an toàn!!



#356740 Bản dịch ''1220 Number Theory Problems'' của Mathlinks.ro

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 12:25 trong Tài nguyên Olympic toán

Trên thực tế, mình có đề xuất với bạn như thế này!! 1220 đề toán quả thật là quá dài và các vấn đề trong ebook trên đều nằm ngoài tầm với của các em cấp hai, các bạn cấp 3 trừ các bạn thi Olympic... vả lại đó chỉ là đề toán chứ chưa có lời giải.... vậy không lẽ phải quay sang đọc tiếng anh vì phần lời giải đều là các link tới Mathlinks????? :angry: .....
Theo mình thì mình đề xuất thế này!! Ta sẽ chia cuốn sách làm 4 hay 5 phần gì đó...mỗi phần gồm lời giải kèm theo ( Đã dịch).....
Như vậy thì hơi cực nhưng sẽ là giải pháp tối ưu cho người đọc!!!
Thân!



#359133 $$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 05-10-2012 - 17:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a+b+c)^2 \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$$

Anh có lời giải cho bài số 1 của em:
Từ đánh giá đơn giản: $ (x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx) $ ta có được: $ ab+bc+ca \ge \sqrt{abc(a+b+c)} $
Theo đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là:

$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a+b+c)^2 \ge 4(ab+bc+ca)$Rút gọn thành:
$a^2+b^2+c^2+ \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge 2(ab+bc+ca)$
Lại có:
$\begin{aligned}a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}=abc\sum_{cyc}\frac 1{\sqrt{bc}}&\geq \frac{9abc}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\\&\geq \frac{9abc}{a+b+c};\end{aligned}$
Theo đó ta cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca);$
Đây thực chất là bdt Schur bậc 3!!!
P/s: http://www.artofprob....com/blog/75446 :D



#355114 $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}...

Đã gửi bởi bdtilove on 18-09-2012 - 18:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài này em dùng phân tích bình phương S.0.S
--------------------------------------------------------------
Biến đổi bằng cách quy đồng ta được BDT tương đương như sau:( thay a+c=3-b và tương tự)

\[
\begin{array}{l}
\sum a ^2 (3 - b)(3 - c) \ge 3\sqrt 2 \sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} \\
VT = 9(a^2 + b^2 + c^2 ) + 3abc - 3ab(a + b) - 3bc(b + c) - 3ac(c + a) \\
= 9(a^2 + b^2 + c^2 ) + 3abc - 9ab - 9bc - 9ac + 9abc \\
\end{array}
\]
Bất đẳng thức trên tương đương với :

\[
\frac{9}{2}{\rm{[}}(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 {\rm{]}} \ge {\rm{3}}\sqrt 2 \frac{{a(b - c)^2 + c(a - b)^2 + b(a - c)^2 }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc}}
\]
Sc=\[
\frac{3}{2} - \frac{{c\sqrt 2 }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc}}
\]
Sb=\[
\frac{3}{2} - \frac{{b\sqrt 2 }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc}}
\]
Sa=\[
\frac{3}{2} - \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc}}
\]
Ta có:
Sc=\[
\begin{array}{l}
\frac{{3(\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc) - 2\sqrt 2 c}}{{2(\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} + 2\sqrt 2 abc)}} \\
3(\sqrt {(a + b)(b + c)(c + a)} \ge 2\sqrt 2 \sqrt {(a + b + c)(ab + ac + bc)} \ge 2\sqrt {2c} \\
\Leftrightarrow 3ab + 3ac + 3bc \ge c^2 \\
\end{array}
\]
Đặt f(x)=\[
3ab + 3ac + 3bc - c^2
\]
Ta thấy f(a,b,c)\[
\ge f(\sqrt {ab} ,\sqrt {ab} ,c)
\]
=> \[
\begin{array}{l}
f(x) \ge f(\sqrt[3]{{abc}},\sqrt[3]{{abc}},\sqrt[3]{{abc}}) \\
d = \sqrt[3]{{abc}} \\
f(x) \ge 8d^2 > 0 \\
\end{array}
\]
Tương tự chứng minh Sb,Sa dương.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Đã SOS mà còn MV!! Vả lại đây là phần Bất đẳng thức dành cho đại học, ai lại xài mấy pp hiện đại chứ!! Bạn nên tìm lời giải khác thì hơn!!



#357429 $$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geqslant(\frac{10}{9})^{3}...

Đã gửi bởi bdtilove on 29-09-2012 - 09:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333

Nếu lời giải có trong diễn đàn thì bạn hãy đưa link còn nếu diễn đàn khác thì tốt nhất là không nên bạn nha!! Click vào mà bắt phải đăng kí mới cho xem thì quả thật mình ức chế lắm!!!
Thân!