Đến nội dung

bdtilove nội dung

Có 75 mục bởi bdtilove (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#357430 $$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geqslant(\frac{10}{9})^{3}...

Đã gửi bởi bdtilove on 29-09-2012 - 09:50 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài này nhẹ mà :lol:
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$

Nhẹ mà làm như bác cũng thành nặng đấy!! Thật ra bài này có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp giảm biến và sau cùng đưa về 1 biến kết hợp khảo sát!! Thật vậy: Giả sử $ c= Min(a,b,c) $ theo đó $ c \in [0,\frac{1}{3} $. Bằng Cauchy-Schwarz ta có:
$ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+a^2)(\frac{8}{9}+b^2+\frac{1}{9}) \ge (\frac{8}{9}+\frac{a}{3}+\frac{b}{3})^2(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1-c}{3})^2(1+c^2) $
bằng việc khảo sát: $ f(c.) $ với $ c \in [0,\frac{1}{3}] $ ta dễ dàng có được $ Minf(c.)=(\frac{10}{9})^3 $ khi $ c=\frac{1}{3} $
Thật ra bước cuối có thể giải quyết bằng khai triển nhưng cứ khảo bằng Maple 16 hay Wolfram cho nó phẻ!! >:) ~O) ~O)



#354636 max, min p= $a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

Đã gửi bởi bdtilove on 16-09-2012 - 17:30 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài toán này rất thú vị!! Mình có lời giải như sau là quy về một biến dành cho bài toán này:
Trước hết là Min. Giả sử $ c \ge 1 $ nên $ 1-c \le 0 $ và sử dụng đánh giá $ a^4+b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}=\frac{(3-c)^4}{8} $
Từ đó ta có đánh giá sau:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \ge \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \ge \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+3(2-a-b)^2(1-c)= \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+3(c-1)^2(1-c) $. Bằng việc khảo sát $ f(c.) $ với $ c \in [0,1] $ ta nhận được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3.
Kế đến là Max! Trong ba số $ a, b, c $ luôn có hai số cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1!! Giả sử đó là a và b! Từ đó ta có được bất đẳng thức sau đây $ a^4+b^4 \le (a+b-1)^4+1=(2-c)^4+1 $. Xét 2 trường hợp nhỏ là $ c \ge 1 $ và $ c \le 1 $. Nếu $ c \ge 1 $ thì $ 12(1-a)(1-b)(1-c) \le 0 $ Do đó:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le (a+b-1)^4+1+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le =(2-c)^4+c^4+1 $
Khảo sát $ f(c.) $ trên [1,2] ta thu được $ Maxf(c.)=17 $. Trường hợp $ c \le 1$
Theo AM-GM và một đánh giá đơn giản ta có:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le (a+b-1)^4+1+c^4+3(1-c)[2-a-b]^2 \le (2-c)^4+c^4+1+3(1-c)[3-a-b]^2= (2-c)^4+c^4+1+3(1-c)c^2 $ Khảo sát $ f(c.) $ trên [0,1] ta cũng thu được Max=17.
Với Min=3 đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1 $ còn Max=17 đẳng thức xảy ra khi $ a=2, b=1, c=0 $



#355011 $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}...

Đã gửi bởi bdtilove on 18-09-2012 - 08:27 trong Bất đẳng thức và cực trị

Thêm một lời giải nữa cho bài toán thú vị này:
Nhân cả hai vế cho $ (a+b)(b+c)(c+a) $ Ta sẽ chứng minh:
$ \sum a^2(a+b)(a+c) \ge 3\sqrt{2(a+b)(b+c)(c+a)} $
Sử dụng đánh giá: $ x^2(x+z)+y^2(y+z) \ge \frac{(x+y)^2}{4}(x+y+2z) $ là tổng của 2 bất đẳng thức đúng:
$ 4(x^3+y^3) \ge (x+y)^3 $ và $ 2(x^2+y^2) \ge (x+y)^2 $
Từ đây ta thu được:
$ \sum a^2(a+b)(a+c) \ge \sum \frac{(a+b)^3}{8}\left ( (a+c)+(b+c) \right ) $ Đặt $ x=a+b; y=b+c; z=c+a $ Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
$ \frac{x^3}{8}(y+z)+\frac{y^3}{8}(z+x)+\frac{z^3}{8}(x+y)\ge 3\sqrt{2xyz} $ với $ x+y+z=6 $

Ta lại có đánh giá như sau:
$ 3\sum x^{3}y+3\sum xy^{3}\ge 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)\ge 24(xy+yz+zx) $ Do đó ta chỉ cần chứng minh: $ (xy+yz+zx)\ge 3\sqrt{2xyz}\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^{2}\ge 3xyz(x+y+z) $ Hiển nhiên đúng!!Đẳng thức xảy ra khi $ x=y=z=2 $ hay $ a=b=c=1 $



#354640 max, min p= $a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

Đã gửi bởi bdtilove on 16-09-2012 - 17:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho 3 số a,b,c thoả mãn $0 \leq a,b,c \leq 2$ và $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhât của:

P=$a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

Nếu thi đại học thì mình nghĩ chỉ cho bậc 2 thôi!! Còn bậc 4 phức tạp và hơi nhiều tính toán!! Hy vọng bạn thích!!



#594663 $\sum \frac{ab}{(a+b)^2+kc^2}\leq...

Đã gửi bởi bdtilove on 21-10-2015 - 08:27 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài này khá thú vị và best k khá là khủng =]]]

$k_{max}$ là nghiệm thực của phương trình $k^3-k^2-17k-24=0$

Bằng máy tính thu được nghiệm là: $\frac{1}{6}\sqrt [3]{3212+108\,\sqrt {113}}+{\frac {104}{3\,\sqrt [3]{3212+
108\,\sqrt {113}}}}+\frac{1}{3}$

Nên lấy k=5 cho bài toán nó đẹp 1 xíu :v




#586940 Phân tích pqr bằng Maple.

Đã gửi bởi bdtilove on 03-09-2015 - 07:55 trong Phần mềm hỗ trợ học tập, giảng dạy - Các trang web hay

Mình đang làm một cuốn sách về các phần mềm hỗ trợ chứng minh BĐT 
Hiện nay một số công cụ đã được viết như
- Phân tích bình phương SOS
- Bán SOS bán Schur SOS-Schur
- Kĩ thuật pqr pqr-analysic
- Dốn biến MV-calculate
- Giải BĐT bậc 4 proving4
- Bottema2015
Ngoài ra còn hỗ trợ việc tìm giá trị tốt nhất của k và chứng minh các BĐT hình học và đại số...
Rất mong nhận dc sự góp ý của các bạn .
 
 
Hy vọng cuốn sách sẽ đến tay bạn đọc trong thời gian sớm nhất :)
Sau đây là video về tool pqr-analysic đc viết trên nền Maple

 

 




#355031 $ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt...

Đã gửi bởi bdtilove on 18-09-2012 - 10:30 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn: $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $



#355020 Khi sáng tạo một bất đẳng thức bạn sẽ suy nghĩ việc gì đầu tiên?

Đã gửi bởi bdtilove on 18-09-2012 - 09:44 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức

Mong mọi người bình chọn và comment công bằng để mình có cơ sở thống kê rõ ràng xem ý tưởng nào được sử dụng nhiều nhất!!
Cám ơn mọi người đã bình chọn!!



#355059 Khi sáng tạo một bất đẳng thức bạn sẽ suy nghĩ việc gì đầu tiên?

Đã gửi bởi bdtilove on 18-09-2012 - 12:55 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức

Riêng cá nhân em thì thường dùng các kĩ thuật giải tích để từ kết quả nào đó đã biết, đi ngược lại, tìm ra đề bài toán :D.

Thế có ăn gian không nhỉ?? :lol: Riêng mình dùng tất cả các kỹ thuật loạn xạ xì ngầu lên.... để che giấu đi sự đơn giản thực tế của bài toán!!!



#429200 Chuyên đề về toán Casio.

Đã gửi bởi bdtilove on 20-06-2013 - 14:41 trong Góp ý cho diễn đàn

Ý kiến của bạn rất hay! Hi vọng là sẽ có một diễn đàn như thế! Vì mình cũng rất thích thú với mĩnh vực này!

Thân ái!




#356742 $$xyz\geq ab^2$$

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 12:52 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài toán 2.
Ch0 $0<a<b$ và $x,y,z\in [a;b]$ thoả $x+y+z=a+2b$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$xyz\geq ab^2$$

Bài thứ 2 rất thú vị nên mình sẽ đưa lời giải!
Vì miền đúng của $ x, y, z $ là bất kì nên ta có thể giả sử cho $ a=1 $, $ b=2 $. Theo đó:
$x,y,z\in [1;2]$ và $x+y+z=5$ ta phải chứng minh $$xyz\geq 1.2.2=4$$ Rõ ràng là ta luôn có: $ (2-x)(2-y) \ge 0 $ hay là $ xy+4 \ge 2x+2y $ Theo đánh giá này ta có:
$xyz\geq (2(x+y)-4)z =(2(5-z)-4)z $ bằng khảo sát hàm bậc hai này ta dễ dàng có được $ Minxyz=4 $ xảy ra khi $ x=y=2, z=1 $ cùng các hoán vị!



#355513 Cho $a; b; c \ge 0$. Tìm Min của $P=(a^2+b^2+c^2)(\f...

Đã gửi bởi bdtilove on 20-09-2012 - 19:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a; b; c \ge 0$. Tìm giá trị lớn nhất của
$P=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1} {(2a-b)^2}+\frac{1} {(2b-c)^2}+\frac{1} {(2c-a)^2})$

Ý bạn là tìm Max hay Min?? Tựa kêu tìm Min, đề bài bảo tìm Max???



#356975 Phương pháp giải các bài toán cực trị có chứa dấu căn

Đã gửi bởi bdtilove on 27-09-2012 - 15:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

Kinh nghiệm thì không có thật nhưng mà anh nghĩ thường thì các biểu thức trong căn có thể quy về dạng bình phương được và sau đó chia trường hợp phá căn từ từ!!



#419985 Bất đẳng thức.

Đã gửi bởi bdtilove on 21-05-2013 - 16:42 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho các số thực dương $ a_1, a_2, a_3,.....a_n \ge 0 $ thỏa mãn $ a^3_1+a^3_2+a^3_3+....+a^3_n=n $  Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây luôn đúng:

$ \sqrt{a_1+1}+\sqrt{a_2+1}+.....+\sqrt{a_n+1} \ge n-1+\sqrt{(\sqrt[3]{n}+1}) $

~O)




#362984 $ 4(a^2+b^2+c^2)^2+45\ge (a+b+c)^4 $

Đã gửi bởi bdtilove on 19-10-2012 - 12:47 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho a, b, c là các số thực lớn hơn không. Thõa mãn abc=1. chứng minh rằng:
$ 4(a^2+b^2+c^2)^2+45\ge (a+b+c)^4 $



#586987 Hỏi về cách tính tích phần bằng Maple

Đã gửi bởi bdtilove on 03-09-2015 - 14:46 trong Phần mềm hỗ trợ học tập, giảng dạy - Các trang web hay

em dùng hàm int để tính, cơ bản là như vầy:

 + int(expression,x, options)

 + int(expression,x=a..b, options)

Như bài của em sẽ là như vầy:

int((x*sin(x))^2,x=0..pi,numeric=false)

P/s: mà hình như kết quả Maple ra không giống với của em lắm thì phải :V




#358527 Cho x,y,z>0. Tìm minP biết: $P=\dfrac{x^2y}{z^3...

Đã gửi bởi bdtilove on 03-10-2012 - 13:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,y,z>0. Tìm minP biết:

$P=\dfrac{x^2y}{z^3}+\dfrac{y^2z}{x^3}+\dfrac{z^2x}{y^3}.$

Min P=3!! Em chỉ việc áp dụng bdt AM-GM hay còn gọi là bdt Côsi cho 3 số là ra ngay thôi!!
$ P=\dfrac{x^2y}{z^3}+\dfrac{y^2z}{x^3}+\dfrac{z^2x}{y^3} \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{x^3y^3z^3}}=3 $



#358540 Tìm $GTNN$ của $A=x^{4}+y^{4}+x^{2...

Đã gửi bởi bdtilove on 03-10-2012 - 14:32 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bằng vài thao tác đơn giản ta có được $ MinA=\frac{-1}{3} $. ta có thể có được giá trị này bằng nhiều cách khác nhau, nhưng tối hậu nhất vẫn là pp GVTT (Giả vờ tán tỉnh ) của tác giả nthoangcute tại đây: http://diendantoanho...0x1sqrt5x-1200/
Còn anh sẽ giải theo cách lớp 10 cho em:
Theo kết quả có được ta cần chứng minh:
$ A=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1 \ge \frac{-1}{3} $




Ta có thể chứng minh bằng pp tam thức bậc hai: (Thật ra vì bài này toàn bậc chẵn nên ta mới có suy nghĩ dùng tam thức bậc hai)
Thật vậy ta có $ Delta(x^2)=(y^2-2)^2-4(y^4-2y^2+\frac{4}{3})=-3y^4+4y^2-\frac{-4}{3} $
Lại tính delta bước nữa $ Delta(y^2)=16-16=0 $. Vậy $ -3y^4+4y^2-\frac{-4}{3} \le 0 $ nên $ f(x^2) \ge 0 $



#356931 $\frac{1+a^2b}{a^2+b^2}+\frac{1+b^2c...

Đã gửi bởi bdtilove on 27-09-2012 - 07:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Lấy bài nơi khác thì phải ghi rõ nguồn nha:
http://www.artofprob...p?f=51&t=499878
Bài này trên Mathlink bạn ạ!! :icon6:
Thân!



#356744 Vệ tinh Việt Nam sắp rời trạm vũ trụ

Đã gửi bởi bdtilove on 26-09-2012 - 13:39 trong Góc giao lưu

Luôn luôn tự hào là người Việt Nam, sinh ra và lớn lên tại Việt Nam!!



#361446 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac...

Đã gửi bởi bdtilove on 13-10-2012 - 18:03 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $ a, b, c $ là 3 số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3 $. CMR:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2} $ Tổng quát hơn với cùng điều kiện như trên tìm hằng số tốt nhất sao cho bất đẳng thức này luôn đúng:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k} $
Sáng tạo bởi bdtilove123 và oldbeginner!!
http://www.artofprob...p?f=52&t=502182



#362263 $ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^...

Đã gửi bởi bdtilove on 16-10-2012 - 15:08 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Với mọi số thực dương a, b, c thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c)$
Middle European Mathematical Olympiad 2012 - Team Compt. T-2 Bài này bên

Mathlinks.ro họ thảo luận rất nhiều!! Mình đưa về để mọi người cùng thảo luận!! :D Rất mong nhận được lời giải mới cho bài này!!



#416486 $ a, b, c \ge 0 ,a+b+b=3 $. Chứng minh:

Đã gửi bởi bdtilove on 04-05-2013 - 21:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho các số thực $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn $ a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:

$ \sqrt{5a^2+5a+8}+\sqrt{5b^2+5b+8}+\sqrt{5c^2+5c+8} \ge \sqrt{5a^2+5b^2+5c^2+147} $

Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1 $ và $ a=\frac{11}{5}, b=c=\frac{2}{5} $

 




#417387 $ a^2-bc, b^2-ca, c^2-ab $

Đã gửi bởi bdtilove on 09-05-2013 - 08:34 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho các số thực dương $ a, b, c $. Chứng minh rằng:

$ (a^2-bc)\sqrt[3]{a^2+8bc}+(b^2-ca)\sqrt[3]{b^2+8ca}+(c^2-ab)\sqrt[3]{c^2+8ab} \geq 0 $

 

P/s: Mình có 1 lời giải cho bất đẳng thức này rồi, nhưng không may đó là lời giải bằng máy vi tính, mong các bạn có 1 lời giải đơn giản hơn!




#415317 $ a, b, c \ge 0 ,a+b+b=3 $. Chứng minh:

Đã gửi bởi bdtilove on 29-04-2013 - 08:48 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho các số thực $ a, b, c \ge 0 $. thỏa mãn $ a+b+c=3 $ Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{4a^3+199}+\frac{1}{4b^3+199}+\frac{1}{4c^3+199}\ge\frac{3}{4a^2+4b^2+4c^2+191} $

đẳng thức xảy ra khi $ (a,b,c)=(1,1,1) $ và $ (a,b,c)=(2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $

$ \sqrt{5a^2+3}+\sqrt{5b^2+3}+\sqrt{5c^2+3}\ge\sqrt{5a^2+5b^2+5c^2+57} $

đẳng thức xảy ra khi $ (a,b,c)=(1,1,1) $ và $ (a,b,c)=(\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{9}{5}) $