GPT: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{97-x}=5$

đặt $\sqrt[4]{x}= a$ 

$\sqrt[4]{97-x}= b$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & a+b =5 & \\ & a^{4}+b^{4}=97 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2}+2ab =25 & \\ & (a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=97 & \end{matrix}\right.$

đặt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2} =u & \\ & ab=v & \end{matrix}\right.$ là ra

Bài làm của MSS 34:

 

Áp dụng bđt $4ab\leq (a+b)^{2}$ với mọi $a,b$:

$4xy\leq (x+y)^{2}$$\Leftrightarrow 2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=t$

Bpt trở thành: $t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}+2t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{2}(t-1)+2(t-1)(t+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)\geq 0$ (do $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1> 0$ mọi $t$ )

$\Leftrightarrow t\geq 1$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 1$

mà $2x^{2}+2y^{2}\geq (x+y)^{2}$ với mọi $x,y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}\geq 1$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:$A=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1= 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1$

Áp dụng bđt $ab\leq \frac{(a^{2}+b^{2})}{2}$ với mọi $a,b$

$3x^{2}y^{2}\leq \frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

nên $3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1\geq 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-\frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{9}{16}-2(x^{2}+y^{2})+1+\frac{9}{16}=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2})-2(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})+\frac{9}{16}=(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9}{4}x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}-\frac{7}{8})+\frac{9}{16}\geq \frac{9}{16}$

 (do $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$)

Vậy $Min A =\frac{9}{16}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}$ và $x=y$$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .

Đoạn đấu = bạn thiếu điều kiên x+y=1 (thiếu điều kiện này bạn không thể suy ra $x= y= \frac{1}{2}$ được )

Đoạn tô màu đỏ là bất đăng thức BCS

Cho bàn cờ vua $8 \times 8$. Theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, ta làm việc sau:

Trong ô cờ thứ nhất đặt 1 hạt ngô

Trong ô cờ thứ hai đặt 2 hạt ngô

Trong ô cờ thứ ba đặt 4 hạt ngô

...

Trong ô cờ thứ 64 đặt $2^{63}$ hạt ngô.

 

Một con mã ô đầu tiên của bàn cờ, nó đi lòng vòng và ăn các hạt ngô trong ô nó nhảy đến( con mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua) nhưng nó không ăn ở ô đầu tiên và không nhảy trở lại ô đầu tiên. Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô đầu tiên và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

 

Hãy CM rằng số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3.

MSS30 canhhoang30011999

Đầu tiên ta tô màu các ô có có số hạt ngô là số mũ chẵn là trắng có số mũ lẻ là đen thì theo cách đặt các hạt ngô ta được 1 bàn cờ vua có màu giống như 1 bàn cờ vua bình thường (đen trắng xen kẽ)

Ta lại dễ dàng thấy được con mã trong cờ vua khi di chuyển thì nó sẽ nhảy từ ô màu này sang ô màu khác 

Con mã của ta xuất phát ơ ô màu trắng nên dễ thấy để nó đi vào 1 ô màu trắng thì phải qua chăn nước đi (vì cứ sau 1 nước đi thì ô của nó lại đổi màu)

Từ đó ta thấy con mã cần chẵn nước đi để trở lại ô ban đầu 

Mà con mã lại đổi màu mỗi khi nó nhảy nên số ô màu trắng bằng số ô màu đen nó đi qua hay số ô có số hạt ngô có số mũ chẵn bằng số ô có số hạt ngô có số mũ lẻ (1)

Lại có $2^{2k}\equiv 1$ (mod 3)(2)

$2^{2q+1}\equiv -1$(mod 3)(3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$ số ngô con mã ăn được chia hết cho 3