Cho cốc nước phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO=h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đỉnh S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h.

Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD ( hướng quay của tia AB đến CD và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc $\widehat{ABC}=2arccot\sqrt{2}$.

a) Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B.

b) Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó.

Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$

Cho n là số tự nhiên, $n\geq 2$. Chứng minh đẳng thức sau:

$n^{2}C_{n}^{0}+(n-1)^{2}C_{n}^{1}+(n-2)^{2}C_{n}^{2}+...+2^{2}C_{n}^{n}-2+1^{2}C_{n}^{n}-1=n(n+1)2^{n-2}$

Cho mình xin link sách Tài liệu chuyên toán Đại số 10 đi perfectstrong ơi!!!

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C,D là hình chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng minh I là trung điểm của HK.

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp, M và N là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho $\frac{MA}{MB}=\frac{NC}{ND}$. Điểm P thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho $\frac{PM}{PN}=\frac{AB}{CD}$. Chứng minh rằng tỷ số diện tích của hai tam giác PAD và PBC không phụ thuộc vào vị trí của M và N.

Tìm tất cả các hàm: $f:R\rightarrow R$ sao cho: $f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y));\forall x,y\epsilon R$

Tìm tất cả các số nguyên a,b,c thoả mãn điều kiện 1<a<b<c và abc chia hết cho (a-1)(b-1)(c-1)

Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi: $x_{0}=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}}\forall n\epsilon N$

Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$

Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\epsilon Z\\\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\epsilon Z \\ \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $\frac{3a^{4}}{b^{2}}+\frac{2b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}-4\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\geqslant 0$

Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 9 điểm có toạ độ là các số nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là một số chẵn.

Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm của đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng $\widehat{AIO}\leq 90^{o}$ khi và chỉ khi $AB+AC\geq 2BC$

Cho hàm số $f(x):N^{*}\rightarrow N$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} f(1)=2;f(2)=0\\f(3k)=3f(k)+1;f(3k+1)=3f(k)+2;f(3k+2)=3f(k) \end{matrix}\right.$

Hỏi có thể tồn tại n để f(n)=2008 được không?

Bài 1: Tìm các giá trị không âm của m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{x-m}+2\sqrt{x-1}=\sqrt{x}$

Bài 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện $x\geq 9:\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}\leq a \end{matrix}\right.$

Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Cho hàm số $f(x)=(x^{3}-3x^{2}+2)\sqrt{x^{2}-2x+3}$. Chứng minh rằng với mọi hệ số thực m, hệ phương trình sau luôn có nghiệm thực:

$\left\{\begin{matrix} f^{(2008)}(x)+f^{(2008)}(y)=0 & \\x^{2}-my=4-m & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho:

$\frac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$

Giải phương trình:

$log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \begin{vmatrix} y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-3 \end{vmatrix} & & \\ (2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y& & \\ x^{2}+z-4x=0& & \end{matrix}\right.$