Một giả thuyết giống định lý Cayley–Bacharach
Giả thuyết 1: Cho sáu điểm $A, A', B, B', C, C'$ cùng nằm trên một đường bậc hai và đường bậc ba (nào đó). Cho một đường bậc hai đi qua $B, B', C, C'$ và cắt đường bậc ba đó tại $A_1, A_2$. Đường bậc hai đi qua $C, C', A, A'$ và cắt đường bậc ba đó tại $B_1, B_2$. Đường bậc ba đi qua $A, A', B, B'$ và cắt đường bậc ba tại $C_1, C_2$. Khi đó sáu điểm $A_1,A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ nằm trên một đường bậc hai. Nếu ta chọn trước các điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng thì các điểm $A_2, B_2, C_2$ cũng phải thẳng hàng.
Giả thuyết 2: Cho một đường conic cắt một đường bậc ba tại 6 điểm $A, B, C, D, E, F$. Cho một đường conic khác đi qua ba điểm $A,B,C$ cắt đường bậc ba tại $G, H, I$, cho đường conic khác đi qua ba điểm $D, E, F$ cắt đường bậc ba tại $J, Q, K$. Khi đó sáu điểm $G, H, I, J, Q, K$ sẽ nằm trên một đường conic.
Chứng minh giả thuyết 2:
Đây là cách chứng minh cho giả thuyết 2 của một giáo sư (mà mình không hiểu) nhưng cứ trình bày lại ra đây để mọi người tham khảo:
Áp dụng luật nhóm, nếu như một đường bậc hai giao với một đường bậc ba tại sáu điểm thì tổng sáu điểm phải bằng không. Ta có A+B+C+D+E+F=0; A+B+C+G+H+I=0; D+E+F+J+Q+K=0 => G+H+I+J+Q+K=0 => Sáu điểm G, H, I, J, Q, K nằm trên một đường conic. Giả thuyết mạnh hơn được chứng minh.
Giả thuyết tổng quát: Cho hai đường cong (đa thức) cắt nhau tại $\frac{d^2+3d}{2}+\frac{l^2+3l}{2}+2$ điểm. Nếu $\frac{d^2+3d}{2}+1$ điểm nằm trên đường cong bậc $d$ thì $\frac{l^2+3l}{2}+1$ điểm còn lại sẽ nằm trên đường cong bậc $l$