Đã gửi bởi
Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau
$\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$
Cách 1 ( Biến đổi sơ cấp ) Cộng tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được
$\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$
Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được
$\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$
Đến đây dễ thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng ) Đặt $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,
trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$.
Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$.
Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$
nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.
Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.
