Bài 267: $\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+y^2=\sqrt[3]{x(2x+1)}  \\  3x^2-x+\dfrac{1}{2}=y\sqrt{x^2+x} \end{matrix}\right.$

Mình thấy dạng hệ này khá hay. Mình có tham khảo cách làm của bạn NTA1907 ở bài 263, coi như bài 267 là bài tập củng cố dạng này vậy

$PT(2) \iff 3x^2-x+\dfrac{1}{2}=y\sqrt{x^2+x} \leq \dfrac{y^2+x^2+x}{2}$

$\rightarrow 6x^2-2x+1 \leq y^2+x^2+x$

$\rightarrow 5x^2-3x+1 \leq y^2$

$\rightarrow 5x^2-3x+1+(x-1)^2 \leq y^2+(x-1)^2=\sqrt[3]{x(2x+1)}$

$\rightarrow 6x^2-5x+2 \leq \sqrt[3]{2x^2+x} \leq \dfrac{2x^2+x+1+1}{3}$

$\rightarrow 16x^2-16x+4 \leq 0$

$\rightarrow (2x-1)^2 \leq 0$

$\rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Mình xin chia sẻ thêm về dạng UCT hệ số bất định cho tam thức bậc hai.

$\begin{cases} &  a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0 \\  &  a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 \end{cases}$

Ta sẽ giả sử $PT(1)+kPT(2)$ sẽ tạo đc một đa thức có $\Delta$ đẹp, nghĩa là số chính phương.

Khi đó đa thức mới thu đc là: $(a_1+ka_2)x^2+(b_1+kb_2)y^2+(c_1+k.c_2)xy+(d_1+kd_2)x+(e_1+ke_2)y+(f_1+kf_2)=0$

Đặt $a=a_1+ka_2 ; \ b=b_1+kb_2; \ c=c_1+k.c_2; \ d=d_1+kd_2; \ e=e_1+ke_2; \ f=f_1+kf_2$.

Khi đó: $k$ sẽ là nghiệm của pt: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$ 

Tìm đc k rồi bạn sẽ tìm đc mới t/ứ và phân tích nhân tử đẹp với đa thức đó

Bạn có thể lấy VD 40 của bạn I LOVE MC để kiểm chứng.

Bạn giải thích giúp mình với.

Mình phân tích đa thức thành nhân tử thôi

Bài 94: $3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

ĐK: $-2 \leq x \leq 2$

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{2-x}=b$ thay vào ta có:

$\iff 3a-6b+4ab=a^2+4b^2$

$\iff (a-2b)(a-2b-3)=0$

Đến đây ra rồi

Bài 359: $\begin{cases} & (x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2x^{2}+x+y+1 \\ & (x-2)\sqrt{y}+(x-1)\sqrt{y+2}=2x^{2}-8x \end{cases}$

$(1) \iff (x^2+x)\sqrt{x-y+3}=2x^2+x+y+1$

$\iff -(x^2+x)\sqrt{x-y+3}+2x^2+x+y+1=0$

Đặt $\sqrt{x-y+3}=a$, thay vào ta có:

$\iff -a^2-(x^2+x)a+2x^2+x+y+1+x-y+3=0$

$\iff -a^2-(x^2+x)a+2x^2+2x+4=0$

$\iff (a-2)(a^2+x^2+x+2)=0$

$\iff a=2$

$\iff x-y+3=4$

$\iff x-1=y$

Sau khi thế xuống phương trình (2) ta đc pt này nhưng nó ra kq khá lẻ, mong mọi người cùng làm giúp

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2[1+\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

..

Bài 219: $\begin{cases} & \sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{7}{2+\sqrt{xy}} \\ & x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}= 7 \end{cases}$

ĐK: $xy >0$

$\begin{cases} &  \dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}=\dfrac{7}{2+\sqrt{xy}} \\  &  (x+y)\sqrt{xy}=7 \end{cases}$

Đặt $x+y=a; \sqrt{xy}=b$

$\iff \begin{cases} &  \dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{2+b} \\  &  ab=7 \end{cases}$

Dễ thấy $a \not =0 \iff a=\dfrac{7}{b}$, thế vào (1) ta có:

$\iff \dfrac{7}{b}=\dfrac{7b}{2+b}$

$\iff 7b^2-7b-14=0$

.........

Bài 99: $x^{2}-3x+\dfrac{13}{2}= \sqrt{(x^{2}-2x+2)(x^{2}-4x+5)}+2x$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2-4x+5}=b$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{(x^2-2x+2)+(x^2-4x+5)}{2}=2\sqrt{x^2-2x+2}\sqrt{x^2-4x+5}+(x^2-2x+2)-(x^2-4x+5)$

$\iff \dfrac{a^2+b^2}{2}=ab+a^2-b^2$

$\iff \dfrac{a^2}{2}+ab-\dfrac{3}{2}b^2=0$

$\iff (a-b)(a+3b)=0$

...

Bài 274 : (chuyên LHP-Nam Định) 
Giải hệ : 
$\begin{cases} &x=y^3-5y^2+8y-3&\\&y=-2x^3+10x-16x+9& \end{cases}$

Cái PT(2) có phải là $y=-2x^3+10x^2-16x+9$ không nhỉ?

 

Do $x \neq 0$, chia cả $2$ vế phương trình cho $x^3$ ta được:

$\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{7}{x}=2\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=t$ ta được

$ 8t^3-13t^2+7t=2\sqrt[3]{t^2+3t-3} $

$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=t^2+3t-3+2\sqrt[3]{t^2+3t-3}$...

 

Chỗ này hình như phải là: $VP \iff \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3x}$ 

Bài 387: $\frac{5x-13-\sqrt{57+10x-3x^{2}}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x}}\geq x^{2}+2x+9$

ĐK: $-3 \leq x \leq \dfrac{19}{3}$

Đặt $\sqrt{x+3}=a; \sqrt{19-3x}=b$

Ta có: $VT=\dfrac{2a^2-b^2-ab}{a-b}=\dfrac{(a-b)(2a+b)}{a-b}=2a+b=2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}$

$\rightarrow 2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x} \geq x^2+2x+9$ (1)

Xét: $x^2+2x+9-2\sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x}$

$=(\sqrt{x+3}-1)^2+(x^2+x+5-\sqrt{19-3x})$

$=(\sqrt{x+3}-1)^2+\dfrac{x^2(x+1)^2+(10x^2+13x+6)}{x^2+x+5+\sqrt{19-3x}} >0$( với mọi $x$)

$\rightarrow x^2+2x+9 >2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}$

Vậy bpt (1) vô nghiệm.

 

Bài 130:  Giải phương trình sau:

 

$\sqrt{x^{2}-3x+2}+1=x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

 

ĐK: $1 \geq x >0$  v  $x \geq 2$

$\iff \sqrt{x^2-3x+2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x-1$

$\Longrightarrow x^2-3x+2+\dfrac{1}{x}-2\sqrt{x+\dfrac{2}{x}-3}=x^2-2x+1$

$\iff x-\dfrac{1}{x}-1+2\sqrt{x+\dfrac{2}{x}-3}=0$

$\iff x-\dfrac{1}{x}-1=-2\sqrt{x+\dfrac{2}{x}-3}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=a \Longrightarrow xa=1$

$\iff x-a-1=-2\sqrt{x+2a-3}$

$\Longrightarrow x^2+a^2+13-2ax+2a-2x=4(x+2a-3)$

$\Longrightarrow x^2+a^2+11-6(a+x)=0$

$\Longrightarrow (x+a)^2-6(x+a)+9=0$ ( Vì $xa=1$)

$\Longrightarrow (x+a-3)^2=0$

$\Longrightarrow x+\dfrac{1}{x}-3=0$

$\Longrightarrow x^2-3x+1=0$

$\iff x=\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ 

Thay $x$ ngược lại PT đã cho thì chỉ có $x=\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ Thỏa mãn

Bài 47: $\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}=\dfrac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

ĐK: $0< x \leq 1$

Ta có: $\iff \sqrt{\dfrac{1}{x}-1}=\dfrac{\dfrac{2}{x}+1}{\dfrac{1}{x^2}+1}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=a (a \geq 1)$

$\iff \sqrt{a-1}=\dfrac{2a+1}{a^2+1}$

$\iff (a^2+1)\sqrt{a-1}=2a+1$

$\iff (a^2+1)(\sqrt{a-1}-1)+a^2-2a=0$

$\iff \dfrac{(a^2+1)(a-2)}{\sqrt{a-1}+1}+a(a-2)=0$

$\iff (a-2)(\dfrac{a^2+1}{\sqrt{a-1}+1}+a)=0$

$\iff a=2$ ( vì phần trong ngoặc dương)

$\iff \dfrac{1}{x}=2$

$\iff x=\dfrac{1}{2}$

Bài 137: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y \\ &x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

$PT (1) \iff \sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}=y+\sqrt{y^4+2}$

$\iff (y-\sqrt[4]{x-1})+(\sqrt{y^4+2}-\sqrt{x+1})=0$

$\iff \dfrac{y^4-x+1}{(y+\sqrt[4]{x+1})(y^2+\sqrt{x+1})}+\dfrac{y^4-x+1}{\sqrt{y^4+2}+\sqrt{x+1}}=0$

$\iff (y^4-x+1)(...)=0$

$\iff x=y^4+1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây thế xuống phương trình dưới...

Đã sửa

Bài 224: $\begin{cases} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2} \\ & \sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^{2}= 0 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{y}=b$

$\iff 2\sqrt{a^2+3b^2}=a+3b$

$\iff 3(a-b)^2=0$

$\iff a=b$

$\iff x+2=y$, Thế xuống dưới:

$\iff (\sqrt{x+1}-2)+(1-\sqrt{4-x})+9-x^2=0$

$\iff (x-3)(x+3-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff (x-3)(x+1+\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{\sqrt{4-x}}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff x=3$ phần sau luôn dương

Nhận xét $\sqrt{2-x^2}+1=\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}-1}$ 
$4x-4=4(x-1)$ 

Phương trình không có nghiệm bằng 1, bạn, thay vào đó có 1 nghiệm vô tỉ rất lẻ.

Bài 273: Tìm giá trị "cụ thể" của $t$ để:

$\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+3}=\frac{1}{t}$

ĐK: $t \not =-1; t \not = -2; t \not =-3; t \not = 0$

$\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{t}{t+2}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+3}$

$\iff \dfrac{2t+3}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{3}{t(t+3)}$

$\iff \dfrac{2t+3}{t^2+3t+2}=\dfrac{3}{t^2+3t}$

Đặt $t^2+3t=a \ (1)$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{2t+3}{a+2}=\dfrac{3}{a}$

$\iff 2ta+3a=3a+6$

$\iff ta=3$

Vì $t \not =0$ nên $a=\dfrac{3}{t}$

Thế vào (1) ta có: $t^2+3t=\dfrac{3}{t} \iff t^3+3t^2-3=0$

Nghiệm hơi lẻ ....

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

 

Bài 48: anh gianglqd xem xem chỗ này có phải là: $\sqrt{y+x}^3$ sửa thành $\sqrt{y-x}^3$ ?

Khi đó: $\begin{cases} &  y-x \geq 0  \\  &  x-y \geq 0 \\ &  x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} &  x \geq y \\  &  y \geq x \end{cases} \longrightarrow x=y$

Thay vào một trong 2 trình: $(\sqrt{x}-x)^2=2 \iff \sqrt{x}-x=\sqrt{2}$   v   $\sqrt{x}-x=-\sqrt{2}$

Bài 328: $\begin{cases} & (6x+2\sqrt{3x-2})\sqrt{3-y}=x^{2}-3x-8y+26 \\ & \sqrt{3x-2}+3\sqrt{3-y}= 5x-1 \end{cases}$

ĐK: $x \geq \dfrac{2}{3} \ ; \ y \leq 3$

$(1) \iff (6x+2\sqrt{3x-2})\sqrt{3-y}=x^2-(3x-2)+8(3-y)$

Đặt $\sqrt{3x-2}=a; \sqrt{3-y}=b$

$\iff (6x+2a)b=x^2-a^2+8b^2$

$\iff a^2+2ab+b^2=x^2-6xb+9b^2$

$\iff (a+b)^2=(x-3b)^2$

$\iff (x-a-4b)(x+a-2b)=0$

$\iff x-\sqrt{3x-2}-4\sqrt{3-y}=0$    v     $x+\sqrt{3x-2}-2\sqrt{3-y}=0$

Đến đây kết hợp với pt (2) của hệ ta có: 

$\iff \begin{cases} &  x-\sqrt{3x-2}-4\sqrt{3-y}=0 \\ &  \sqrt{3x-2}+3\sqrt{3-y}=5x-1 \end{cases}$

$4.(2)+3.(1) \rightarrow 17x-4=\sqrt{3x-2}$

Đến đây ta chỉ việc bình phương ....

Bài 165: $\sqrt{x^{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\frac{2}{3}}}=x$ 

ĐK: $x^2 > \dfrac{2}{3}$

$\iff \sqrt{x^2+1}=x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-\dfrac{2}{3}}}$

$\iff x^2+1=x^2+\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-\dfrac{2}{3}}}+\dfrac{1}{x^2-\dfrac{2}{3}}$

$\iff 1=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-\dfrac{2}{3}}}+\dfrac{1}{x^2-\dfrac{2}{3}}$

Đặt $\sqrt{x^2-\dfrac{2}{3}}=a \ (a>0) \longrightarrow x^2-a^2=\dfrac{2}{3} \iff 3x^2-3a^2=2$

$PT \iff 1=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2x}{a}$

$\iff a^2-2xa=1$

Ta có hệ:$\begin{cases} &  3x^2-3a^2=2 \\  &  2a^2-4xa=2 \end{cases}$

$\iff 3x^2+4xa-5a^2=0$

Tới đây ta được hệ đẳng cấp bậc 2.

P/s: Nghiệm ra lẻ...

Bài 389: $\left\{\begin{matrix} &x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+3) \\ &x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$

$(1) \iff 4xy^3+3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}=y^2x^2+4y^4+3y^2$

$\iff 3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}-8y^2=(xy-2y^2)^2 \geq 0$

$\rightarrow 3\dfrac{y}{x}+\sqrt{5(\dfrac{y}{x})^2-1}-8(\dfrac{y}{x})^2 \geq 0$

$\rightarrow 3a+\sqrt{5a^2-1}-8a^2 \geq 0$

$\rightarrow 2a-1=0$ (chuyển vế bình phương)

$\rightarrow a=\dfrac{1}{2} \rightarrow x=2y$

Đến đây thay xuống pt dưới... 

Bài 186: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff x^3-3x^2+\sqrt{x+1}(x-1-\sqrt[3]{3x-1})+2(x-1)-(x-1)\sqrt{x+1}=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^3-3x^2}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+(x-1)(2-\sqrt{x+1})=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2(x-3)}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+\dfrac{(x-1)(3-x)}{\sqrt{x+1}+2}=0$

$\iff (x-3)[x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

$\iff x=3$  v  $x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$ (1)

Vì $\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2} >0$ (với mọi $x$) nên ta xét $x^2-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}$  (2)

(2) $\iff \dfrac{x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1}{\sqrt{x+1}+2}$

Dễ thấy (2) luôn lớn hơn 0 vì $x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1 >0$ $\Longrightarrow$ (1) vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$

$x^3-9x^2+3x-3=0$

$\iff (x-3-2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2^2} ) (1+2\sqrt[3]{2}-2 \sqrt[3]{2^2}+(-6+2\sqrt[3]{2}+2 \sqrt[3]{2^2}) x+x^2)=0$

$\iff x=3+2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2^2}$ (và phần trong ngoặc vô nghiệm với $\Delta=-12 (-4+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}) <0$)

....

Giải pt
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$\iff x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

$\rightarrow x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$

$\rightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0$

$\iff \sqrt{x^2-x}=1$

$\iff x^2-x-1=0$

....

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+2xy\sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )\left ( 1-y^{2} \right )}+y^{2}=1$$

 

Dòng bình phương này nhầm r cj nó là $x^2-y^2+2xy\sqrt{(x^2-1)(1-y^2)}=1$ !!?