Bài 432:Giải phương trình: $\sqrt{2x^4+2x^3+3x^2+1}=1-x^4-2x^3$

Ta có: $\sqrt{2x^4+2x^3+3x^2+1}=1-x^4-2x^3 \rightarrow 1-x^4-2x^3>0$ 

$\iff \sqrt{(x^2+1)^2+(x^2+x)^2}=(x^2+1)-(x^2+x)^2$

$\iff \sqrt{a^2+b^2}=a-b^2$ (với $a=x^2+1; b=x^2+x$)

$\rightarrow a^2+b^2=a^2-2ab^2+b^4$

$\rightarrow b^2(1+2a-b^2)=0$

$\rightarrow \left[\begin{matrix}b=0\\ 1+2a-b^2=0 \end{matrix}\right.$

Với $1+2a-b^2=0 \rightarrow 2\sqrt{x^2+1}=x^2+x-1 \rightarrow -x^4-2x^3+5x^2+2x+3=0$

$\iff (1-x^4-2x^3)+(5x^2+2x+2)=0$ (vô nghiệm vì VT>VP)

Vậy $b=0 \iff \left[\begin{matrix}x=0\\ x=-1 \end{matrix}\right.$

Bài 436: Giải bpt: $(2x+2)\sqrt{x+1}+(3x+9)\sqrt{2x+3}\le 4x^2+10x+4$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff (x+1)[2\sqrt{x+1}-(x+1)]+(x+3)[3\sqrt{2x+3}-(2x+3)] \leq x^2-x-6$

$\iff \dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}+\dfrac{3(x+3)\sqrt{2x+3}(3-x)}{3+\sqrt{2x+3}} \leq (x-3)(x+2)$

$\iff (x-3)[x+2+\dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}}+\dfrac{3(x+3)\sqrt{2x+3}}{3+\sqrt{2x+3}}] \geq 0$

$\iff x \geq 3$ (vì trong ngoặc luôn dương)

Bài 389: $\left\{\begin{matrix} &x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+3) \\ &x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$

$(1) \iff 4xy^3+3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}=y^2x^2+4y^4+3y^2$

$\iff 3xy+x\sqrt{5y^2-x^2}-8y^2=(xy-2y^2)^2 \geq 0$

$\rightarrow 3\dfrac{y}{x}+\sqrt{5(\dfrac{y}{x})^2-1}-8(\dfrac{y}{x})^2 \geq 0$

$\rightarrow 3a+\sqrt{5a^2-1}-8a^2 \geq 0$

$\rightarrow 2a-1=0$ (chuyển vế bình phương)

$\rightarrow a=\dfrac{1}{2} \rightarrow x=2y$

Đến đây thay xuống pt dưới... 

Bài 348: $\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{x-1}< x^{3}-3x^{2}+4x-1$

ĐK: $x \geq \dfrac{2}{3}$

$\iff x^3-3x^2+4x-1-\sqrt{3x-2}-\sqrt[3]{x-1} >0$

$\iff x^3-3x^2+2x+(x-\sqrt{3x-2})+(x-1-\sqrt[3]{x-1}) >0$

$\iff x(x^2-3x+2)+\dfrac{x^2-3x+2}{x+\sqrt{3x-2}}+\dfrac{x(x^2-3x+2)}{(x-1)^2+(x-2)\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-1}^2} >0$

$\iff (x-1)(x-2)(x+\dfrac{1}{x+\sqrt{3x-2}}+\dfrac{x}{(x-1)^2+(x-2)\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-1}^2}) >0$

$\rightarrow x >2$    v    $\dfrac{2}{3}<x<1$

Bài 295: $2a^{3}-(2a^{2}-3a+1)\sqrt{a^{2}-2a}-4a^{2}-a+3=0$

ĐK: $a^2-2a \geq 0$

Phương trình tương đương với: $(2a^3-4a^2-a+3)-(2a^2-3a+1)\sqrt{a^2-2a}=0$

$\iff (a-1)(2a^2-2a-3)-(a-1)(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

$\iff (a-1)[2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0$

$\iff a=1$   v    $2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0 \ \ (1)$

Xét (1) ta có:

$2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

Đặt $\sqrt{a^2-2a}=x \ (x \geq 0)$, thay vào ta có:

$\iff 2a^2-2a-3-(2a-1)x=0$

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a^2-2a-3-2a^2+4a=0$

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a-3=0$

$\iff (x-1)(2x-a+3)=0$

Đến đây thay $x=\sqrt{a^2-2a}$ vào rồi bình phương bình thường

Bài 394: $\begin{cases} & 2\sqrt{x^{2}+3x}+2y^{3}-3=x+2y\sqrt{x} \\ & \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^{2}=0 \end{cases}$

ĐK: $x \geq 0$

$\iff \begin{cases} 2\sqrt{x(x+3)}+2y^3=(x+3)+2y\sqrt{x} \\ \sqrt{x}-\sqrt{x+3}+y^2=0  \end{cases}$
 

Đặt $\begin{cases} \sqrt{x}=a \\ \sqrt{x+3}=b \\ y=c \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 2ab+2c^3=b^2+2ca \\ c^2=b-a  \end{cases}$

Ta có: $(1) \iff 2ab+2c(b-a)=b^2+2ca$

$\iff b^2+4ca-2ab+2bc=0$

$\iff (b-2c)(b-2a)=0$

$\iff \left[\begin{matrix} \sqrt{x+3}=2\sqrt{x} \\  \sqrt{x+3}=2y \end{matrix}\right.$

....

Đến đây $2y=\sqrt{x+3}$ vào pt (2) ta đc: $y^2-2y+\sqrt{4y^2-3}=0$

$\iff (y-1)^2+\dfrac{4(y-1)(y+1)}{\sqrt{4y^2-3}+1}=0$

$\iff (y-1)(y-1+\dfrac{4y+4}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff (y-1)(y+\dfrac{4y+3-\sqrt{4y^2-3}}{\sqrt{4y^2-3}+1})=0$

$\iff y=1$ ( phần trong ngoặc luôn dương vì $4y+3>\sqrt{4y^2-3}$ với $y >0$)

Bài 450: $\begin{cases} & x+(x^{2}+x)(\sqrt{x-y+3}-2)= 1+y\\ & (x+1)\sqrt{y^{2}+y+2}+(y-1)\sqrt{x^{2}+x+1}= x+y \end{cases}$

$(1) \iff (x-y-1)+(x^2+x).\dfrac{x-y-1}{\sqrt{x-y+3}+2}=0$

$\iff (x-y-1)(1+\dfrac{x^2+x}{\sqrt{x-y-3}+2})=0$

$\iff (x-y-1)(\sqrt{x-y-3}+x^2+x+2)=0$

$\iff x=y+1$

Thay xuống pt(2) ta có:

$(y+2)\sqrt{y^2+y+2}+(y-1)\sqrt{y^2+3y+3}=2y+1$

Đặt $\begin{cases} \sqrt{y^2+y+2}=a \\ \sqrt{y^2+3y+3}=b \end{cases} \rightarrow 2y+1=b^2-a^2 \rightarrow y=\dfrac{b^2-a^2-1}{2}$

$\iff (b^2-a^2+3)a+(b^2-a^2-3)b=2(b^2-a^2)$

$\iff (a-b)[a^2+2ab+b^2-2(a+b)-3]=0$

$\iff (a-b)(a+b+1)(a+b-3)=0$

Đến đây bạn thay $a,b$ và bình phương...

Hệ có 1 nghiệm là: $x=1;y=4$

Từ (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ có nghiệm $x=1$ nên liệu có thể đưa $4y^3-y^4\sqrt{x}$ về dạng $(x-1)(,,,)$ đc k

P/s: Đó là hướng của mình, nhưng chắc khó vì phần còn lại ra tận bậc 7

Mình có bài toán này đang có ý tưởng nhưng hơi dài và khó thực hiện, mn thử đề xuất ý tưởng xem

Bài 509: Giải hệ phương trình:

$$ \left\{\begin{matrix} 4y^3-y^4\sqrt{x}+2-\sqrt{6-2x}=0 \\ x(x-3)^2=y \end{matrix}\right.$$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Thực ra thì đoạn này e mò cx không ra nên dùng wolframalpha tách thành nhân tử thôi cj

https://www.wolframa...{2}x-\sqrt{2}+2

Nhờ mọi người giúp em giải câu hệ này vs ạ:

$(1) \iff (2y-x)(y^2+2y+x+2)=0$

$\iff x=2y$ (phần trong ngoặc luôn dương với $x \geq 1$)

Thế xuống pt (2) ta có:

$\iff \sqrt{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=x^2-2x+9$

Ta có: $\sqrt{x-1} \leq \dfrac{x}{2}; \ \sqrt[3]{2x+4} \leq \dfrac{2x+4+1+1}{3}=\dfrac{2x}{3}+2$

$\iff VT \leq \dfrac{x}{2}+\dfrac{2x}{3}+2$

Mà $VP- \dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}-2=x^2-\dfrac{31}{6}x+7>0$

$\rightarrow VT<VP$

Vậy hệ pt vô nghiệm

Bài 274 : (chuyên LHP-Nam Định) 
Giải hệ : 
$\begin{cases} &x=y^3-5y^2+8y-3&\\&y=-2x^3+10x-16x+9& \end{cases}$

Cái PT(2) có phải là $y=-2x^3+10x^2-16x+9$ không nhỉ?

Bài 273: Tìm giá trị "cụ thể" của $t$ để:

$\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+3}=\frac{1}{t}$

ĐK: $t \not =-1; t \not = -2; t \not =-3; t \not = 0$

$\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{t}{t+2}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+3}$

$\iff \dfrac{2t+3}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{3}{t(t+3)}$

$\iff \dfrac{2t+3}{t^2+3t+2}=\dfrac{3}{t^2+3t}$

Đặt $t^2+3t=a \ (1)$, thay vào ta có:

$\iff \dfrac{2t+3}{a+2}=\dfrac{3}{a}$

$\iff 2ta+3a=3a+6$

$\iff ta=3$

Vì $t \not =0$ nên $a=\dfrac{3}{t}$

Thế vào (1) ta có: $t^2+3t=\dfrac{3}{t} \iff t^3+3t^2-3=0$

Nghiệm hơi lẻ ....

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Với $x^2+y^2=1 \longrightarrow \begin{cases} &  -1 \leq x \leq 1 \\  &  -1 \leq y \leq 1 \end{cases} \longrightarrow -1 \leq xy \leq 1$

Ta có: $x+y+xy+2018 > 2018 -1-1-1=2015 >0$

Xét 3 TH: 

Với $x>y \longrightarrow \sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}>0 \iff \sqrt[2017]{y}-\sqrt[2017]{x} >0 \iff y >x$ (Mâu thuẫn)

TT với TH: $x<y$ (mâu thuẫn)

$\longrightarrow x=y$. Thay vào (1): $x=y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

Nhận xét $\sqrt{2-x^2}+1=\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}-1}$ 
$4x-4=4(x-1)$ 

Phương trình không có nghiệm bằng 1, bạn, thay vào đó có 1 nghiệm vô tỉ rất lẻ.

 

Do $x \neq 0$, chia cả $2$ vế phương trình cho $x^3$ ta được:

$\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{7}{x}=2\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=t$ ta được

$ 8t^3-13t^2+7t=2\sqrt[3]{t^2+3t-3} $

$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=t^2+3t-3+2\sqrt[3]{t^2+3t-3}$...

 

Chỗ này hình như phải là: $VP \iff \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}-3x}$ 

Bài 25:Giải phương trình:$\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$

ĐK: $x^2-2x-1 \geq 0$

$\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-(x-2)=0$

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{x^3-14-(x-2)^3}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{6(x^2-2x-1)}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}(\sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{6\sqrt{x^2-2x-1}}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

$\iff x^2-2x-1=0$ (vì phần trpng ngoặc luôn dương)

$\iff x=1+\sqrt{2}$  v  $x=1-\sqrt{2}$ (t/m)

P/S: ai có cách khác không, vì cách trên vẫn phải dùng liên hợp

Câu 28* $\left\{\begin{matrix} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1)\\(y-1)(x^2+6)=x(y^2+1) \end{matrix}\right.$

Đối xứng loại hai rồi!

Trừ (1) cho (2): $\iff (x-y)(2xy-7-x-y)=0$

$\iff x=y$ Thay vào (1): $(x-1)(x^2+6)=x(x^2+1)$ ....

Với $2xy-7-x-y=0 \ (*)$

+ $y=\dfrac{1}{2}$ , dễ thấy không phải nghiệm của (*)

+ $y \not = \dfrac{1}{2}$ $\iff x=\dfrac{7+y}{2x-1}$ thay vào pt (1) ta có:

$\iff y^4-6y^3+15y^2-26y+24=0$

$\iff (y-2)(y-3)(y^2-y+4)=0$

$\iff y=2$  v  $y=3$

....

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

 

Bài 48: anh gianglqd xem xem chỗ này có phải là: $\sqrt{y+x}^3$ sửa thành $\sqrt{y-x}^3$ ?

Khi đó: $\begin{cases} &  y-x \geq 0  \\  &  x-y \geq 0 \\ &  x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} &  x \geq y \\  &  y \geq x \end{cases} \longrightarrow x=y$

Thay vào một trong 2 trình: $(\sqrt{x}-x)^2=2 \iff \sqrt{x}-x=\sqrt{2}$   v   $\sqrt{x}-x=-\sqrt{2}$

Bài 143: $2\sqrt{(2-x)(5-x)}=x+\sqrt{(2-x)(10-x)}$

ĐK:$x \geq 10$  v  $x \leq 2$

Ta có: $\Longrightarrow 4(x^2-7x+10)=x^2+x^2-12x+20+2\sqrt{x^4-12x^3+20x^2}$

$\Longrightarrow x^2-8x+10=\sqrt{x^4-12x^3+20x^2}$

$\Longrightarrow (x^2-8x+10)^2=x^4-12x^3+20x^2$

$\Longrightarrow -4x^3+64x^2-160x+100=0$

$\Longrightarrow (x-1)(x^2-15x+25)=0$

$\Longrightarrow  x=1$  v  $x=\dfrac{15+5\sqrt{5}}{2}$

Bài 224: $\begin{cases} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2} \\ & \sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^{2}= 0 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{y}=b$

$\iff 2\sqrt{a^2+3b^2}=a+3b$

$\iff 3(a-b)^2=0$

$\iff a=b$

$\iff x+2=y$, Thế xuống dưới:

$\iff (\sqrt{x+1}-2)+(1-\sqrt{4-x})+9-x^2=0$

$\iff (x-3)(x+3-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff (x-3)(x+1+\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{\sqrt{4-x}}{1+\sqrt{4-x}})=0$

$\iff x=3$ phần sau luôn dương

Giải pt
$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$\iff x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

$\rightarrow x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$

$\rightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0$

$\iff \sqrt{x^2-x}=1$

$\iff x^2-x-1=0$

....

Bài 186: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff x^3-3x^2+\sqrt{x+1}(x-1-\sqrt[3]{3x-1})+2(x-1)-(x-1)\sqrt{x+1}=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^3-3x^2}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+(x-1)(2-\sqrt{x+1})=0$

$\iff x^2(x-3)+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2(x-3)}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}+\dfrac{(x-1)(3-x)}{\sqrt{x+1}+2}=0$

$\iff (x-3)[x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

$\iff x=3$  v  $x^2+\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}]=0$ (1)

Vì $\sqrt{x+1}.\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{3x-1}^2} >0$ (với mọi $x$) nên ta xét $x^2-\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+2}$  (2)

(2) $\iff \dfrac{x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1}{\sqrt{x+1}+2}$

Dễ thấy (2) luôn lớn hơn 0 vì $x^2\sqrt{x+1}+2x^2-x+1 >0$ $\Longrightarrow$ (1) vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$

Bài 170 : Giải hệ phương trình : 
$\begin{cases} &x^3-3x^2-6x+4y^2+3xy-xy^2-12y=-8&\\&\sqrt{x+9}-5=\sqrt{y+4}+\sqrt{y-2}& \end{cases}$ 

(1) $\iff (x+y-1)(x-y+2)(x-4)=0$

$\iff x=1-y$   v   $x=y-2$  v   $x=4$

Đến đây thay xuống dưới

Bài 8: Giải HPT:

$\begin{cases}& 3x^{2}+12y^{2}+24xy-9(x+2y)\sqrt{2xy}=0 \\ & 5x^{2}-7y^{2}+xy=15\end{cases}$

ĐK: $xy \geq 0$

(1) $\iff 3(x^2+4xy+4y^2)-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

$\iff 3(x+2y)^2-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

$\iff (x+2y-2\sqrt{2xy})(x+2y-\sqrt{2xy})=0$

$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{2y})^2(x+2y-\sqrt{2y})=0$

$\iff x=2y$ (vì $x+2y-\sqrt{2y} >0$)

Thay vào pt (2): 

$\iff15y^2=15$

$\iff y=1$ v $y=-1$

$\iff x=2$  v $x=-2$

Vậy nghiệm hệ $(x;y)=(2;1); (-2;-1)$