Bài 312: $(x^3+2)^3=81x-54$

$\iff (x^3+2)^3=81x-54$

$\iff (x^3+2)^3+27(x^3+2)=27x^3+54+81x-54$

$\iff (x^3+2)^3+27(x^3+2)=(3x)^3+27(3x)$

$\iff x^3+2=3x$

$\iff x=-2$    v     $x=1$

VD : Bài 40 : Giải hệ pt : 
{ $x^2+3y^2+4xy-18x-22y+31=0$ 
{ $2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0$ 

Lấy PT(2)-PT(1) $\iff x^2+y^2-2xy+24x-24y+144=0$

$\iff (x-y)^2+24(x-y)+144=0$

$\iff (x-y+12)^2=0$

$\iff x=y-12$

Thay vào một trong 2 pt, rồi giải pt bậc 2.

Mình có bài toán này đang có ý tưởng nhưng hơi dài và khó thực hiện, mn thử đề xuất ý tưởng xem

Bài 509: Giải hệ phương trình:

$$ \left\{\begin{matrix} 4y^3-y^4\sqrt{x}+2-\sqrt{6-2x}=0 \\ x(x-3)^2=y \end{matrix}\right.$$

Câu 33:

 \left\{\begin{matrix}\sqrt{x-y+2}+2\sqrt{y-x}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x-y+4}}\\\ x^{3}+\sqrt{2x-1}=2-\sqrt{y-2} \end{matrix}\right

Đặt $y-x=a$

$\iff \sqrt{2-a}+2\sqrt{a}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4-a}}$

$\iff \sqrt{(2-a)(4-a)}+2\sqrt{a(4-a)}=3\sqrt{3}$

Bình phương 2 lần lên ta sẽ có: $25a^4-220a^3+726a^2-892a+361=0$

$\iff (a-1)^2(25a^2-170a+361)=0$

$\iff a=1$

$\iff y=x+1$

(2) $\iff x^3+\sqrt{2x-1}-2+\sqrt{x-1}=0$ (ĐK: $x \geq 1$)

$\iff (x-1)(x^2+x+1)+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+2}+\sqrt{x-1}=0$

$\iff \sqrt{x-1}[(x^2+x+1)\sqrt{x-1}+\dfrac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x-1}+2}+1]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Vậy $x=1; y=2$

Bài 420: $x^{3}+2x-3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$

ĐK: $x \geq 1$

$x^3+2x-3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

$\iff (x^3+x^2+x-3)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(x^2-x)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff (x^2+2x+3)(x-1)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff (x^2+2x+3)[(x-1)-\sqrt{x^2-x+1}]-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff \dfrac{-x(x^2+2x+3)}{x-1+\sqrt{x^2-x+1}}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

Ta có: $VT<0$ với mọi $x \geq 1$, nên phương trình vô nghiệm

Đóng góp:

Bài 45: $$\begin{cases} &  x^3(2+3y)=8 \\  &  x(y^3+2)=6 \end{cases}$$

Bài 286: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$ Nghiệm là $x=\sqrt{2}$

ĐK: $x^2 \geq 1$

Ta có:

$x(1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}})=2\sqrt{2}$

$\rightarrow x >0$

$\iff x-\sqrt{2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{2}=0$

$\iff \dfrac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{x^2-2}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

$\iff x^2-2=0$   v    $\dfrac{1}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{1}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

(2) $\iff x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^2-1}+(x^2-1)\sqrt{2}$

$\iff x(\sqrt{x^2-1}-1)+\sqrt{2}(x^2-2)=0$

$\iff \dfrac{x(x^2-2)}{x^2+2}+(x^2-2)\sqrt{2}=0$

$\iff (x^2-2)(\dfrac{x}{x^2+2}+\sqrt{2})=0$

$\iff x^2-2=0$

$\iff x=\sqrt{2}$ ($x >0$)

Bài 80: $\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+5x^{2}+14y^{2}+97x+28y=755 \\ & (x-3)(x-4)= (y-11)(14-y) \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  x^3-y^3+5x^2+14y^2+97x+28y-755=0 \ (1) \\  &  x^2+y^2-7x-25y+166=0 \ (2) \end{cases}$

Lấy $PT(1)+7PT(2) \iff (x+4)^3-(y-7)^3=0$

$\iff x+4=y-7 \iff x=y-11$

Đến đây thay vào pt (2) để tìm nghiệm $x,y$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ không là nghiệm của hệ.

$(2) \iff \dfrac{x}{\dfrac{1}{y}+1}+\dfrac{1}{y(x+1)}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{y}}}{1+\sqrt{\dfrac{x}{y}}}$

Đặt $\dfrac{1}{y}=a$ thay vào ta có: (ĐK: $a \not = -1; x \not =-1$)

$\iff \dfrac{x}{a+1}+\dfrac{a}{x+1}=\dfrac{2\sqrt{xa}}{1+\sqrt{xa}}$

$\iff (x-a)(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{x+1})=0$

$\iff x=a$

$\iff x=\dfrac{1}{y}$

Thế vào (1) là ra... 

Nhờ mọi người giúp em giải câu hệ này vs ạ:

$(1) \iff (2y-x)(y^2+2y+x+2)=0$

$\iff x=2y$ (phần trong ngoặc luôn dương với $x \geq 1$)

Thế xuống pt (2) ta có:

$\iff \sqrt{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=x^2-2x+9$

Ta có: $\sqrt{x-1} \leq \dfrac{x}{2}; \ \sqrt[3]{2x+4} \leq \dfrac{2x+4+1+1}{3}=\dfrac{2x}{3}+2$

$\iff VT \leq \dfrac{x}{2}+\dfrac{2x}{3}+2$

Mà $VP- \dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}-2=x^2-\dfrac{31}{6}x+7>0$

$\rightarrow VT<VP$

Vậy hệ pt vô nghiệm

 

Trích bài đăng của bạn tanh chưa ai trả lời:

 

Bài 166: $\sqrt[3]{2x-1} = x\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2x+1}$

 

$\iff \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$

$\iff 2x-1+2x+1+3\sqrt[3]{4x^2-1}(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})=16x^3$

$\iff 4x+3\sqrt[3]{4x^2-1}.x.2\sqrt[3]{2}-16x^3=0$

$\iff 2x(2-8x^2)-6x\sqrt[3]{2-8x^2}=0$

$\iff 2x\sqrt[3]{2-8x^2}(\sqrt[3]{2-8x^2}^2-3)=0$

Đến đây ta sẽ tìm được nghiệm

VD : Bài 40 : Giải hệ pt : 
{ $x^2+3y^2+4xy-8x-22y+31=0$ 
{ $2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0$ 

Bạn xem đề đúng không, tại mình thấy số hơi lẻ 

Bài 172: Giải phương trình: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22$

Theo bất đẳng thức Cosi: $1.\sqrt{2x+1}+1.\sqrt{17-2x} \leq \sqrt{(1+1)(1+17)}=\sqrt{36}=6$

Ta sẽ chứng minh $x^4-8x^3+17x^2-8x+22 \geq 6$

$\iff x^4-8x^3+17x^2-8x+16 \geq 0$

$\iff (x^4-8x^3+16x^2)+(x^2-8x+16) \geq 0$

$\iff (x^2-4x)^2+(x-4)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi: $x=4$

Bài 294: $16x^{4}-4x^{2}+6x+27=12\sqrt[3]{2x+9}$ 

$VT=(16x^{4}-16x^{2}+4)+(12x^{2}+6x+23)\\=4(2x^{2}-1)^{2}+(x+3)^{2}+11x^{2}+14> 0$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x+9> 0$

Đến đây dùng Cauchy

$VP=12\sqrt[3]{2x+9}=3\sqrt[3]{8.8.(2x+9)}\leq 2x+25$

 Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$VT\geq 2x+25\\\Leftrightarrow 16x^{4}-4x^{2}+6x+27\geq 2x+25\\\Leftrightarrow 16x^{4}-4x^{2}+4x+2\geq 0\\\Leftrightarrow (4x^{2}-1)^{2}+(2x+1)^{2}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{-1}{2}$

PT có nghiệm duy nhất $x=\frac{-1}{2}$

Đã được giải bởi bạn phamngochung9a

Bài 202: Giải PT: $4x^3-4x-x\sqrt{1-x^2}+1=0$

Bài 203: Hệ: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^3+2=xy+y \end{cases}$

Bài 204: PT: $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{(2x-3x^2)^2}{9}+\sqrt{2-3x}-\dfrac{109}{81}=0$

Bài 317: $\begin{cases} & 8x^{3}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ & (3x+\sqrt{9x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 \end{cases}$

Dễ thấy $\sqrt{9x^2+1}-3x \not =0; \sqrt{y^2+1}-y \not = 0$ (Với mọi $x, y$)

Ta có: $(3x+\sqrt{9x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 \iff \dfrac{y+\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{9x^2+1}-3x}=1 \iff y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{9x^2+1}-3x$

TT: $\sqrt{9x^2+1}+3x=\sqrt{y^2+1}-y$

$\begin{cases} &  \sqrt{9x^2+1}+3x=\sqrt{y^2+1}-y \\  &  \sqrt{9x^2+1}-3x=y+\sqrt{y^2+1} \end{cases}$

Cộng vế với vế ta đc: $2\sqrt{9x^2+1}=2\sqrt{y^2+1} \iff \sqrt{9x^2+1}=\sqrt{y^2+1} \iff (3x-y)(3x+y)=0$

Đến đây tìm đc liên hệ giữa $x;y$ nên ta thay vào (1) rồi bình phương bình thường

 

Bài 200: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

 

Bài 201: $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{(2-3x^2)^2}{9}+\sqrt{2-3x}-\dfrac{109}{81}=0$

 

Mình xin lỗi đề 2 bài này phải sửa như vậy mới đúng.

Bài 415: $\begin{cases} & \sqrt{x^{2}(1+y^{2})}-\sqrt{1+x^{2}}=1-xy \\ & (2x-7xy)(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3xy})=5 \end{cases}$

Ta có: $x \geq \dfrac{2}{3}; x+3xy \geq 0 \rightarrow 1+3y \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{-1}{3} \rightarrow xy \geq \dfrac{-2}{9} \rightarrow xy+1>0$

$(1) \iff \sqrt{x^2(1+y^2)}-\sqrt{x^2+1}=1-xy$

$\iff \dfrac{x^2y^2-1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}=1-xy$

$\iff (xy-1)(\dfrac{xy+1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}+1)=0$

$\iff xy=1$

Đến đây thay xuống pt (2)...

Bài 200: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\ &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  2xy+2y-2y^2-4=0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2xy-2y^2-x+y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2y-1)(x-y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x-y}=a; \sqrt{2y-1}=b$, thay vào ta có hệ:

$\iff \begin{cases} &  a^2+b^2+a+b=4 \\ &  a^2b^2+a^2+b^2=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^2+(a+b)-2ab=4 \\ &  a^2b^2+(a+b)^2-2ab=3 \end{cases}$

Tới đây ta được hệ đối xứng: Đặt $a+b=S, ab=P$, thay vào ta có:

$\iff \begin{cases} &  S^2+S-2P=4  \\ &  P^2+S^2-2P=3 \ (1) \end{cases}$

$\iff S-P^2=1$

$\iff S=P^2+1$

Đến đây thế vào (1) để tìm được $P$....

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

Uhm, tại mình nhận thấy ở nó xuất hiện ở vế phải $(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$ nên mình có hướng tách $x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(x-1)$  tạo nhân tử để nhóm vừa khéo cho việc liên hợp

Bài 208 (trích từ bạn minhminh98 ) , mình không nhớ ở topic này có chưa nhưng thấy khá khó :

 

 $\left\{\begin{matrix}x^2y+x^2+1=2x\sqrt{x^2y+2} & \\ y^3(x^6-1)+3y(x^2-2)+3y^2+4=0 & \end{matrix}\right.$

$PT(1) \iff (\sqrt{x^2y+2}-x+1)(\sqrt{x^2y+2}-x-1)=0$

$\iff x^2y=x^2-2x-1 \ (*)$   v    $x^2y=x^2+2x-1 \ (**)$

$PT(2) \iff x^6y^3-y^3+3x^2y-6y+3y^2+4=0$

$\iff x^6y^3+3x^2y=y^3-3y^2+6y-4$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y^3-3y^2+3y-1)+3(y-1)$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y-1)^3+3(y-1)$

Xét: $x^2y > y-1 \iff VT > VP$

Xét $x^2y < y-1 \iff VT<VP$

$\iff x^2y=y-1$

Với $x^2y=x^2-2x-1 \longrightarrow x^2-2x=y$,thay vào (*)

Ta có: $x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$ (PT đối xứng bậc 4)

Với $x^2y=x^2+2x-1 \longrightarrow x^2+2x=y$, thay vào (**)

Ta có: $x^4+2x^3-x^2-2x+1=0$ (PT bậc 4 đối xứng)

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Thực ra thì đoạn này e mò cx không ra nên dùng wolframalpha tách thành nhân tử thôi cj

https://www.wolframa...{2}x-\sqrt{2}+2

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

Đúng là phần trong ngoặc luôn nhỏ hơn 0 nếu bấm máy tính, nhưng nhìn vào dấu trừ ngổn ngang vậy làm sao ai biết được nó nhỏ hơn 0 nhỉ? Mình nên đưa nó về một biểu thức dễ nhìn hơn  

Hệ có 1 nghiệm là: $x=1;y=4$

Từ (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ có nghiệm $x=1$ nên liệu có thể đưa $4y^3-y^4\sqrt{x}$ về dạng $(x-1)(,,,)$ đc k

P/s: Đó là hướng của mình, nhưng chắc khó vì phần còn lại ra tận bậc 7