Đến nội dung

phuc_90 nội dung

Có 79 mục bởi phuc_90 (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#731191 Với các số thực a, b, c thỏa mãn $1 \leq a, b, c \leq 2$,...

Đã gửi bởi phuc_90 on 17-10-2021 - 15:22 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giả sử $a\leq b\leq c$.

Ta có $\frac{(b-a)(b-c)}{ab}\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 1+\frac{c}{a}$.

Tương tự $\frac{(b-a)(b-c)}{bc}\leq 0\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\leq 1+\frac{a}{c}$.

Do đó $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )(a+b+c)\leq 5+2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}$.

Suy ra $VT\leq \left(\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\right)\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\leq 7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+2(a+c)+5=A+5$.

Ta lại có $\frac{(a-1)(a-2)}{a}\leq 0\Rightarrow a\leq 3-\frac{2}{a}$. Tương tự $c\leq 3-\frac{2}{c}$ nên $A\leq 12+3\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}$.

Ta chứng minh: $3\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}\leq 3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c$. (*)

$(*)\Leftrightarrow 2c\left ( 1-\frac{1}{a^2} \right )+3\left ( 1-\frac{1}{a} \right )\geq \frac{2}{c^2}(a-1)$

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( \frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2} \right )\geq 0$. (luôn đúng do $a-1\geq 0$ và $\frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}=2c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2} \right )+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}\geq \frac{3c}{2}+\frac{3}{2}-\frac{2}{c^2}>0$).

Suy ra ta chỉ cần chứng minh $3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c\leq 10\Leftrightarrow \frac{(c-1)(2c^2-5c-2)}{c^2}\leq 0$. (luôn đúng)

Do đó $A\leq 12+10=22\Rightarrow VT\leq 27$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

 

Chỗ chữ màu xanh hình như có vấn đề ?

 

Ta luôn có $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{c}$




#730058 Tư vấn về sách và tài liệu nên đọc môn giải tích

Đã gửi bởi phuc_90 on 02-09-2021 - 06:55 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

Hai cuốn sách bạn nói, cuốn nào cũng tốt. Quan trọng là trình bày mình thấy dễ hiểu là được.



#731021 Tính tổng Sn (khó)

Đã gửi bởi phuc_90 on 07-10-2021 - 09:25 trong Mệnh đề - tập hợp

Cộng 2 số hạng đầu tiên, rồi lấy kết quả này cộng với số hạng tiếp theo...lặp lại quá trình này sẽ ra kết quả.



#730270 Tính lim $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n...

Đã gửi bởi phuc_90 on 09-09-2021 - 23:05 trong Dãy số - Giới hạn

Bạn chứng minh được nó hội tụ không

 

Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$  ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

và $f'(x)=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}<0$ suy ra $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

Với $x_1=2006$ suy ra $x_2\approx 2.73$ và $x_3\approx 2.81$

 

Khi đó $x_1>x_3 \Rightarrow x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4 \Rightarrow x_3=f(x_2)>f(x_4)=x_5$

 

Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $(x_{2n+1})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1+\sqrt{3}$

 

$(x_{2n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Khi đó giới hạn của dãy $(x_{2n+1})$, $(x_{2n})$ tồn tại, đặt $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n+1}=a$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n}=b$

 

Từ đó ta tìm nghiệm của hệ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^2-1}}\end{matrix}\right.$$  với $a\geq 1+\sqrt{3}$ và $1+\sqrt{3}<b\leq \sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Hệ có nghiệm $a=b=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$

 

Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$




#730039 Tính $P(0)$

Đã gửi bởi phuc_90 on 31-08-2021 - 22:28 trong Đa thức

Theo đề bài ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq P(x)-2\leq 15\left ( x-1 \right )^2$ với mọi $x$  (*)

 

Cho $x=1$ thì $0 \leq P(1)-2 \leq 0$  suy ra  $P(1)=2$

 

Đặt $G(x)=P(x)-2$ nên $degG=degP=2$ và $G(1)=P(1)-2=0$ hay $1$ là nghiệm của $G(x)$

 

Khi đó $G(x)$ được viết lại thành $G(x)=a(x-1)(x-b)$ với $a,b \in \mathbb{R} $

 

Từ (*) ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq a(x-1)(x-b), \forall x$  hay $\left ( x-1 \right )\left ( \left ( a-1 \right )x+1-ab \right )\geq 0 , \forall x$ (**)

 

Từ (**) cho $x=b$ ta có $-(b-1)^2 \geq 0$ suy ra $b=1$, do đó $G(x)=a(x-1)^2$

 

Ta lại có $2016=P(13)-2=G(13)=144a$  suy ra $a=14$

 

Khi đó $P(0)=G(0)+2=14+2=16$

 

 




#730626 Tính $\lim \frac{n}{2^n}$

Đã gửi bởi phuc_90 on 22-09-2021 - 17:19 trong Dãy số - Giới hạn

Em xin phép hỏi các thầy cô và bạn bè, giúp em giải câu giới hạn này mà không dùng tiêu chuẩn tỷ số D'alembert (kiến thức 11 và được phép dùng giới hạn $\lim an = 0$ khi $|an| < 1$.)

 

Tính $\lim \frac{n}{2^n}$

 

Em chân thành cảm ơn!

 

Ta có  $2^n=(1+1)^n=C^0_n+n+C^2_n+...+C^n_n>n$  suy ra $\frac{n}{2^n}<1$

 

Rồi áp dụng giới hạn $\lim a_n = 0$ khi $|a_n| < 1$




#730591 Tìm tổng 1975 số đầu của dãy số?

Đã gửi bởi phuc_90 on 21-09-2021 - 20:19 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy $(u_{n}):u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$.
$S_{2012}=2013;S_{2013}=2012$,với $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}$.
Tìm $S_{1975}$.

 

Cho dãy $(a_n)_n$ được xác định như sau

 

$$a_0=1\,\,,\,\,a_1=1\,\,,\,\,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\,\,\,,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$

 

Khi đó bằng qui nạp ta chứng minh được $\left\{\begin{matrix}a_{n+1}^{2}-a_na_{n+2}=(-1)^{n+1}\,\,,\,\,\forall n\geq 1\\ a_1+a_2+...+a_n=a_{n+2}-2\,\,\,,\,\,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$

 

Mặt khác, ta thấy $u_3=u_2+u_1=a_1u_2+a_0u_1$

 

Giả sử $u_{n+2}=a_nu_2+a_{n-1}u_1\,\,\,,\,\, \forall n\leq k$

 

Khi đó

$u_{k+3}=u_{k+2}+u_{k+1}$

         $=a_ku_2+a_{k-1}u_1+a_{k-1}u_2+a_{k-2}u_1$

         $=(a_k+a_{k-1})u_2+(a_{k-1}+a_{k-2})u_1$

         $=a_{k+1}u_2+a_ku_1$

 

Theo nguyên lý qui nạp ta đã chứng minh được $u_{n+2}=a_nu_2+a_{n-1}u_1\,\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

 

Khi đó ta tính được

$$S_{n+2}=(1+a_1+a_2+...+a_n)u_2+(1+a_0+a_1+a_2+...+a_{n-1})u_1=(a_{n+2}-1)u_2+a_{n+1}u_1\,\,\,\,\,(*)$$

 

Với $\left\{\begin{matrix}S_{2012}=2013\\S_{2013}=2012 \end{matrix}\right. $   $\Rightarrow$    $\left\{\begin{matrix}(a_{2012}-1)u_2+a_{2011}u_1=2013\\ (a_{2013}-1)u_2+a_{2012}u_1=2012\end{matrix}\right.$

 

Ta tìm được  $\left\{\begin{matrix}u_1=\frac{1-a_{2012}-2013a_{2011}}{1-a_{2010}}\\ u_2=\frac{2013a_{2012}-2012a_{2011}}{1-a_{2010}}\end{matrix}\right.$

 

Thế vào (*) ta được $S_{n+2}=\frac{(a_{n+2}-1)(2013a_{2012}-2012a_{2011})+a_{n+1}(1-a_{2012}-2013a_{2011})}{1-a_{2010}}$

 

Vậy $S_{1975}=\frac{(a_{1975}-1)(2013a_{2012}-2012a_{2011})+a_{1974}(1-a_{2012}-2013a_{2011})}{1-a_{2010}}$




#731082 Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

Đã gửi bởi phuc_90 on 10-10-2021 - 14:49 trong Đa thức

Bài toán:   Tìm tất cả đa thức $P(x)\,,\,Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$




#731102 Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

Đã gửi bởi phuc_90 on 11-10-2021 - 13:49 trong Đa thức

 

Ta đặt $\displaystyle \deg P( x) =\deg Q( x) =n$ và đặt $\displaystyle R( x) =P( x) -Q( x)$ với $\displaystyle \deg R( x) =k\leqslant n-1$. Ta sẽ chỉ ra $\displaystyle R( x)$ là đa thức đồng nhất hằng. Chú ý rằng ta có thể tách 
$P( P( x)) -Q( Q( x)) =P( P( x)) -Q( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x)) =R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))$
 
Đặt $\displaystyle Q( x) =\sum _{i=1}^{n} a_{i} .x^{i}$ trong đó $\displaystyle a_{n} =1$. 
$Q( P( x)) -Q( Q( x)) =P( x)^{n} -Q( x)^{n} +\sum _{i=1}^{n-1} a_{i}\left[ P( x)^{i} -Q( x)^{i}\right]$
 
Mặt khác $\displaystyle \deg\left( P( x)^{n} -Q( x)^{n}\right) =\deg\left( R( x)\left(\sum _{i=1}^{n-1} P( x)^{i} Q( x)^{n-i-1}\right)\right) =n^{2} -n+k$ nên $\displaystyle \deg( Q( P( x)) -Q( Q( x))) =n^{2} -n+k$ và  $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k$ vì $\displaystyle nk\leqslant n^{2} -n+k$ nên rõ ràng đây là điều không thể xảy ra do vế trái là đa thức 0. Vậy $\displaystyle \deg R( x) =0$ hay $\displaystyle R( x) \equiv c$ và ta có $\displaystyle P( x) =Q( x) +c$ . Thay vào 
 
$Q( P( x)) +c=$$Q( Q( x) +c) +c=Q( Q( x))$
Từ đây đặt $\displaystyle Q( x) =t$ thì suy ra $\displaystyle Q( t+c) +c=Q( t)$ với vô số giá trị $\displaystyle t$ nên $\displaystyle c=0$. Dẫn tới $\displaystyle P( x) \equiv Q( x)$

 

Lời giải này lập luận còn thiếu sót, không rõ ràng, không chính xác.

 

Thiếu sót:  Thiếu trường hợp $deg P \neq deg Q$

 

Không rõ ràng:   Nếu $deg P=deg Q=n$ thì hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức bạn đang xét tới là chúng bằng 1 hay khác 1. Nếu chúng cùng bằng 1 thì $k\leq n-1$, còn chúng khác nhau thì $k\leq n$.

 

Chỗ lập luận được bôi màu xanh dương. Nếu $k=n-1$ thì sao ? Lúc này $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k=n^2-1$  và  $deg (P(P(x))-Q(Q(x))=n^2-1$ (ở đây tôi xem như bạn đang xét hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức là bằng 1) thì làm sao có điều vô lý ở đây

 

Không chính xác:   Chỗ lập luận được bôi màu đỏ, bạn phán $VT=P(P(x))-Q(Q(x))$ bằng 0, tôi cũng chào thua :icon6:




#730213 Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$

Đã gửi bởi phuc_90 on 07-09-2021 - 16:50 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số thực $(U_{n})$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_{1} =\frac{-2}{5}& \\ 25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10} & \end{matrix}\right.$, $n\geq 1$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$

 

 

$25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10}$

 

$\Leftrightarrow (5u_{n+1}+3)(5u_n+3)+1=\sqrt{(5u_n+3)^2+1}$

 

Đặt $v_n=5u_n+3$ ta có $v_1=5u_1+3=1$ và $v_{n+1}v_n+1=\sqrt{v_{n}^2+1}$

 

Bình phương 2 vế và biến đổi ta được $v_n=\frac{2v_{n+1}}{1-v_{n+1}^2}$

 

Ta thấy $v_1=1=tan\frac{\pi}{4}$ và $v_2=\sqrt{2}-1=tan\frac{\pi}{8}$

 

Nên bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $v_n=tan\frac{\pi}{2^{n+1}}$

 

suy ra  $u_n=\frac{tan\frac{\pi}{2^{n+1}}}{5}-\frac{3}{5}$




#730037 Tìm inf, sup của $A=\left \{ \frac{1}{2n}:n= 1,2,......

Đã gửi bởi phuc_90 on 31-08-2021 - 21:25 trong Giải tích

Câu 1, dãy 1/2n đơn điệu giảm bị chặn dưới bởi 0, nên hội tụi và giới hạn của 1/2n bằng 0 là inf của dãy. Hơn nữa vì dãy là hội tụ nên sup của dãy bằng inf của dãy, vậy sup = 0

Sup mà bằng Inf thì tập cần tính chỉ chứa các phần tử bằng nhau và bằng giá trị Sup, Inf, theo đề bài đã cho thì không phải nha bạn.

 

$A=\left \{ \frac{1}{2n} | n\in\mathbb{N^*} \right \}$  có $infA=0$ và $supA=\frac{1}{2}$




#730502 Tìm a;b để tồn tại k nguyên dương thỏa $a_{0}>a_{1...

Đã gửi bởi phuc_90 on 18-09-2021 - 12:32 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm tất cả điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

P/S: Bài này em có dùng thử dùng phương trình đặc trưng nhưng số xấu quá nên nhờ mọi người xem giúp.

 

Post bài toán gốc lên đi em trai (đọc bài toán này cũng không hiểu em muốn hỏi cái gì)
 




#730489 Tìm a;b để tồn tại k nguyên dương thỏa $a_{0}>a_{1...

Đã gửi bởi phuc_90 on 17-09-2021 - 15:58 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

 

$a=9$ ,  $b=2$  thì $k=2$




#730524 Tìm a;b để tồn tại k nguyên dương thỏa $a_{0}>a_{1...

Đã gửi bởi phuc_90 on 19-09-2021 - 11:19 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $x_{n}$ xác định như sau: $x_{0}=a;x_{1}=b$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_{n}$ biết a;b là các số nguyên dương và a>4b và 5b>a. Tìm tất cả các số nguyên dương a;b như thế để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $x_{0}>x_{1}>x_{2}>...>x_{k-1}>x_{k}=1$

 

Cho $a_0\,\,,\,\, b_0$ là các số nguyên dương thỏa $$\left\{\begin{matrix}a_0>5\\ a_0>4b_0\\ 5b_0>a_0\\ a_{0}^{2}-5a_0b_0+b_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$$

 

Với mọi số nguyên dương $n$ ta đặt  $$\left\{\begin{matrix}a_n=a_0+nb_0\\ b_n=(5n+1)b_0-na_0\end{matrix}\right.$$

 

Khi đó các giá trị $(a_0,b_0),(a_1,b_1),...,(a_n,b_n),...$ là các giá trị $(a,b)$ phải tìm.

 

Ví dụ:

 

Ta xét các trường hợp riêng

 

-   Với $a_0=24 \,,\, b_0=5$ thì các bộ số $(24,5)\,,\, (29,6)\,,\, (34,7)\,,\,...$ sẽ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=2$

 

Bây giờ thử bộ đầu tiên $(a,b)=(24,5)$ thì $x_0=24>x_1=5>x_2=1$

 

-   Với $a_0=551\,,\, b_0=115$ thì các bộ số $(551,115)\,,\, (666,139)\,,\, (781,163)\,,...$ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=4$

 

Bây giờ thử bộ thứ 2 là $(a,b)=(666,139)$ thì $x_0=666>x_1=139>x_2=29>x_3=6>x_4=1$




#730106 Prove that $\left ( A- AB= B^{2} \right.$ và...

Đã gửi bởi phuc_90 on 03-09-2021 - 21:30 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

 

Let $A, B\in\mathbb{M}_{2}\left ( \mathbb{C} \right )$ such that $A- AB= B^{2}$ and $B- BA= A^{2}.$ Prove that $A= B.$
 

 

 

Theo điều kiện giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}A=(A+B)B\\B=(A+B)A \end{matrix}\right.$

 

Khi đó $\left\{\begin{matrix}A+B=(A+B)(A+B)\\A-B=-(A+B)(A-B) \end{matrix}\right.$

 

Suy ra $(A+B)(A-B)=-(A+B)(A+B)(A-B)=-(A+B)(A-B)$ hay $(A+B)(A-B)=0$

 

Khai triển ra ta được $A^2+BA-B^2-AB=0$ hay $B-A=0$

 

Vậy $A=B$




#731298 Nếu $|A|=k \ne 0$, hãy tính $|2A-3I|$ theo $k...

Đã gửi bởi phuc_90 on 24-10-2021 - 21:36 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho A là ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn  $A^2-3A+2I=0$

a, Chứng minh: $A$ khả nghịch

b, Tìm $A^{-1}$ theo $A$ và $I$

c, Nếu $|A|=k \ne 0$, hãy tính $|2A-3I|$ theo $k$

 

Ta có  $A^2-3A+2I_n=0 \,\,\,\Rightarrow \,\,\,A\left ( \frac{3}{2}I_n-\frac{1}{2}A \right )=\left ( \frac{3}{2}I_n-\frac{1}{2}A \right )A=I_n$

 

nên $A$  khả nghịch và  $A^{-1}=\left ( \frac{3}{2}I_n-\frac{1}{2}A \right )$

 

Đặt $|2A-3I_n|=a\in \mathbb{R}$ , ta lại có $(2A-3I_n)(2A-3I_n)=I_n$

 

$\Rightarrow$     $a^2=|2A-3I_n||2A-3I_n|=|(2A-3I_n)(2A-3I_n)|=|I_n|=1$

 

Vậy  $|2A-3I_n|=1$  nếu $a>0$  hoặc  $|2A-3I_n|=-1$  nếu  $a<0$




#730159 Nhóm hữu hạn có cấp 45

Đã gửi bởi phuc_90 on 05-09-2021 - 17:38 trong Góc Tin học

Mô tả tất cả (sai khác một đẳng cấu) các nhóm hữu hạn có cấp 45




#730417 Ngẫu hứng với $u_1=0, u_2=2, u_{n+1}=\frac{u_n+1...

Đã gửi bởi phuc_90 on 15-09-2021 - 15:48 trong Dãy số - Giới hạn

Sau nhiều lần tấn công bài toán https://diendantoanh...-forall-n-ge-2/  không thành công nhưng có một bài toán dễ dàng hơn như sau

 

Bài toán:   Cho dãy số thực $(u_n)_n$ được xác định như sau

 

$$a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\, u_1=0\,\,,\,\, u_2=2\,\,,\,\, u_{n+1}=\frac{u_n+1}{3+\sqrt{u_{n-1}}},\,\, \forall n\geq 2$$

 

Chứng minh rằng              $\left | u_n-a \right |<\frac{u_{n-1}}{3+\sqrt{u_{n-2}}}\,\,,\,\, \forall n\geq 3$




#731202 LÂM ĐỒNG 2022

Đã gửi bởi phuc_90 on 17-10-2021 - 22:59 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỀN BỒI DƯỠNG THI HSG QG NĂM 2022
 
Câu 1. (3.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$$
 
Câu 2. (4.0 điểm) Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$. Cho $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lim n\sqrt{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

 

Câu 1:   Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$ và $v=\sqrt[3]{x^2+2}$ thì phương trình trên trở thành $u^3-v^3+u-v=0$

 

hay $(u-v)(u^2+uv+v^2+1)=0$ , vì $u^2+uv+v^2+1=(u+\frac{v}{2})^2+\frac{3v^2}{4}+1>0$

 

nên $u=v$ hay $2x^3-3x+1=u^3=v^3=x^2+2 \Rightarrow 2x^3-x^2-3x-1=0 \Rightarrow (2x+1)(x^2-x-1)=0$

 

Phương trình này cho ta 3 nghiệm $x_1=-\frac{1}{2}\,\,,\,\,x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\,x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

Câu 2:   Ta có $f(n)=(n^2+n+1)^2+1=(n^2+1)^2+2n(n^2+1)+n^2+1=(n^2+1)((n+1)^2+1)$

 

Khi đó  $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$

 

$=\frac{(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)...((2n-1)^2+1)((2n)^2+1)}{(2^2+1)(3^2+1)(4^2+1)(5^2+1)...((2n)^2+1)((2n+1)^2+1)}$

 

$=\frac{2}{(2n+1)^2+1}$

 

Suy ra  $\lim_{n \to \infty } n\sqrt{a_n}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{2n^2}{(2n+1)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
 




#730022 Giúp thành viên tìm đọc tài liệu Hình học Olympics

Đã gửi bởi phuc_90 on 31-08-2021 - 14:36 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Hình học

wannable

Cô nhóc này inbox hỏi mình tài liệu Hình học để thi Olympics, các bạn giúp em ấy nha ??

 

Solving problems in geometry Insights and strategies for mathematical olympiad
 

https://drive.google...iew?usp=sharing




#737461 CM $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$

Đã gửi bởi phuc_90 on 27-02-2023 - 17:01 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n \ge 2$ thỏa mãn $A^3 = 0$.
(a.) Chứng minh : $I + A + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A + A^2$
(b.) Chứng minh : $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$

 

a)  $(I+A+A^2)^{-1} = I-A$

 

b)  $(I+A^2)^{-1} = I-A^2$




#735153 Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng: $4(xy+yz+zx)...

Đã gửi bởi phuc_90 on 30-09-2022 - 13:40 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Gợi ý, áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :  $(ab+cd)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)$




#730921 Cho $P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ và $P(0)=0$. Tính $P(P(2013))...

Đã gửi bởi phuc_90 on 04-10-2021 - 16:48 trong Đa thức

Cho các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in \mathbb R$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.

 

Từ giả thiết $P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ , ta thay $x$ bởi $1-x$ khi đó $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$

 

Suy ra  $P(x)=P(1-x)\,\,\,,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$   (*)

 

Giả sử $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$  với các hệ số là các số thực không âm.

 

Từ (*) cho $x=0$ ta có $a_0=P(0)=P(1)=a_0+a_1+...+a_n$  suy ra  $a_1+a_2+...+a_n=0 \Rightarrow a_1=0,\,\,a_2=0,\,\,...,\,\,a_n=0$

 

Suy ra  $P(x)=a_0$  mà ta lại có $P(0)=0$  nên  $a_0=0$. Vậy $P(x)=0$

 

Điều này dẫn tới $P(P(2013))=0$




#731360 Cho $p\in \mathbb{P}$;$p=3k+2$. CM:...

Đã gửi bởi phuc_90 on 28-10-2021 - 20:54 trong Số học

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương

 

Theo định lý Fermat $\left\{\begin{matrix}a^{p}\equiv a\,\,(mod \,p)\\ b^{p}\equiv b\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$   $\Rightarrow$   $\left\{\begin{matrix}a^{p+1}\equiv a^2\,\,(mod \,p)\\ b^{p+1}\equiv b^2\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$

 

Khi đó  $\left ( a^3-b^3 \right )\left ( a^{3k}+a^{3k-3}b^3+...+a^3b^{3k-3}+b^{3k} \right )=a^{3k+3}-b^{3k+3}=a^{p+1}-b^{p+1}\equiv a^2-b^2\,\,(mod \,p)$

 

Ta có $p\,|\left ( a-b \right )\left ( a^2+ab+b^2 \right )=a^3-b^3$    nên    $p \,| a^2-b^2=(a-b)(a+b)$   $\Rightarrow$   $p\,| a-b$ hoặc $p\,| a+b$

 

Trường hợp:  $p\,| a-b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a-b \right )^2+3ab$   $\Rightarrow$   $p\,| 3ab$  $\Rightarrow$  $p\,| a$ hoặc $p\,| b$

 

Nếu $p\,| a$ thì $p\,| a-(a-b)=b$

 

Nếu $p\,| b$ thì $p\,| a-b+b=a$

 

Trường hợp:  $p\,| a+b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a+b \right )^2-ab \quad \Rightarrow \quad p\,| ab$  $\Rightarrow$  $p\,| a$ hoặc $p\,| b$

 

Lập luận như trên thì ta luôn có $a\,,\,b$ đều chia hết cho $p$




#730735 Cho $\left ( G, + \right )$ là $1$ nhóm có...

Đã gửi bởi phuc_90 on 27-09-2021 - 22:56 trong Đại số đại cương

Cho $\left ( G, + \right )$ là $1$ nhóm có $7$ phần tử. Chứng minh $G$ là một nhóm giao hoán.

 

 

Cách 1:   Lấy $a$ là phần tử bất kì của $G$ khác phần tử đơn vị , khi đó theo định lý Lagrange thì $\left | \left \langle a \right \rangle \right |$ sẽ là ước của $|G|=7$

 

Suy ra $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$ hoặc $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7$ , do $a$ khác phần tử đơn vị nên ta loại $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$

 

Vậy $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7=|G|$  suy ra $\left \langle a \right \rangle=G$ hay G giao hoán.

 

Cách 2:   $(G, +)$ có 7 phần tử nên đẳng cấu với $(\mathbb{Z_7}, +)$ suy ra $G$ giao hoán.