Nếu anh đưa một số phương trình hàm đơn giản, ví dụ như: 
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Thì đương nhiên anh sẽ dễ dàng đưa ra nghiệm là $f(x) = x$
 
Nhưng khi anh đưa một bài phương trình hàm kiểu như:
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:
$$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$$
Thì anh khó có thể nhẩm hàm $f(n)$ thỏa, thậm chí đáp án của nó là tận 3 kết quả, một kết quả là hàm hằng, một cái là hàm tính theo $n$ , còn một cái là một biểu thức chứa số mũ tính theo $n$
 
P/s: Nhưng em vẫn chưa thật sự hiểu vì sao anh lại đề nghị như vậy, vì thật sự nếu anh yêu cầu em đưa ra một bài toán mà không cần chứng minh vẫn đưa ra được đáp án, thì thực chất nó không còn là giải toán, mà chỉ là việc anh đi nhẩm nghiệm để rút ngắn thời gian tìm đáp án cho bài toán ấy.

Pco nói rõ hơn 2 nghiệm không phải hằng định nghĩa như thế nào.

Em thấy bài viết của anh rất hay. Tuy nhiên em chỉ muốn anh giải đáp một chút thắc mắc của em về điều này:
Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.


Cho em hỏi là điều anh đang nói đến sự 'vô dụng' của phương trình hàm ở đây là anh đang nói đến thực tiễn của chúng, hay anh đang nói đến sự áp dụng của nó trong nghiên cứu toán học, hoặc là cái khác? Và em cũng muốn hỏi là tại sao anh lại mặc định vào phương trình hàm là 'nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc'? Em cảm thấy phương trình hàm có những cái vẻ đẹp riêng thuộc về nó, phương pháp rất đa dạng chứ không phải ở việc là chỉ đưa về các bài toán quen thuộc nhưng anh vẫn thường nghĩ.

Mong anh giải đáp giúp, 'from pcoVietnam02 from Vietnam and Patrick in Paris'.

Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.

Trước đây ông thầy người Pháp hướng dẫn mình có chê toán olympic của Việt Nam không phải khoa học. Điều này có lẽ không phải bàn cãi, tức là toán phổ thông Việt Nam cũng nổi tiếng ở một nước tiên tiến về toán, theo nghĩa tiêu cực.

Nhưng cần suy nghĩ điều này thấu đáo vì hiện giờ ở Việt Nam, toán olympic là loại toán hấp dẫn với học sinh phổ thông, nếu không dùng nó thì cái gì để thu hút các em làm toán học hoặc khoa học? Mặc dù nó không hiệu quả, ai học chuyên là rõ nhất. Để nhiều bằng chứng hơn, hãy so với Pháp: phong trào olympic nghèo nàn, đi thi imo thì lúc nào cũng xếp sau Việt Nam, nhưng số lượng sinh viên đăng ký học toán gấp nhiều lần so với Việt Nam, cả lý thuyết và ứng dụng. Ở đây mình không bàn về chất lượng, chỉ tập trung vào số lượng. Vì vậy, mình mở ra post này, để anh em trên diễn đàn có thể lạm bàn. Mình xin tóm tắt lại một số vấn đề, cũng như đưa ra một số câu hỏi (tất nhiên không giới hạn việc thảo luận trong những vấn đề này):

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam. Mình cũng xin nêu một số ý kiến:

1. Nhắc lại rằng không phải cái gì trong toán olympic cũng không có ích, vấn đề chỉ là làm quá nhiều sẽ trở nên vô nghĩa. Nên nhớ rằng chỉ có vài người cần thi thố, và càng ít hơn nhiều người được fame cao nhất, nên không thể để tất cả mọi người đều không thu được gì hết. Như vậy, những kỹ năng cơ bản của toán olympic gồm có hình học phẳng, số học chỉ cần đến hết lớp 9 là đủ. Nhưng toán rời rạc cũng như phương trình hàm thì phức tạp hơn (mình không rõ còn thiếu thứ gì trong toán olympic không?);

2. Phương trình hàm trong toán olympic hiện nay khiến cho nó trở thành kỹ năng vô dụng nhất. Nguyên nhân là vì bài toán thường bắt giải một phương trình hàm rất phức tạp rối rắm, nhưng nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc. Từ góc độ khoa học, ta đang cố mô tả một sự kiện đơn giản bởi một phương trình hết sức phức tạp, làm như vậy là phản khoa học. Chẳng hạn, chỉ có duy nhất hàm số thực 0 thỏa mãn $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2$. Có ai lại đi dùng phương trình hàm này để mô tả số 0? Một tình huống phương trình hàm có ích là khi ta không thể mô tả được một đối tượng một cách chính xác, nhưng nhờ phương trình hàm, ta vẫn thu được thông tin hữu ích của đối tượng đó, chứ không phải đi tìm hết các nghiệm của một phương trình hàm. Chẳng hạn, một dạng modular cần thoả mãn một phương trình hàm xác định, hay phương trình giữa các degeneracy maps (ánh xạ thoái hóa?) giúp ta xác định một vật nửa đơn hình. Mình chưa nghĩ ra tình huống nào có ích ở phổ thông, có lẽ cần tới đâu thì học tới đó chứ không nhất thiết phải tách ra để học. Còn nếu cố học thì phải theo hướng khác mới gần với khoa học chứ không phải là bài toán tìm hết các nghiệm;

3. Không cần bàn nhiều về Toán rời rạc/tổ hợp olympic vì nó không cách xa so với nghiên cứu. Nhưng cần bổ sung thêm phương pháp xác suất;

4. Nói thêm về bất đẳng thức, người ta sử dụng chúng để thu được thêm thông tin về một đối tượng toán học, ví dụ như một phiên bản của bất đẳng thức Harnack được sử dụng trong chứng minh giả thuyết Poincaré, hoặc nguyên lý mô đun cực đại giúp chứng minh một hàm là hằng. Như vậy, nói nôm na bất đẳng thức quan trọng là vì những chuyện bên ngoài chứ không chỉ kết thúc ở việc chứng minh. Những bất đẳng thức trong toán olympic hầu hết chỉ liên quan đến đối xứng/không đối xứng, sử dụng biến đổi đại số, không có các yếu tố hình học hay số học. Khi có các yếu tố này thì phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, những kỹ năng biến đổi đó trở thành vô ích;

5. Mình nhận thấy từ rất lâu rồi nhiều mục diễn đàn không cập nhật phương pháp mới hay tài liệu mới. Bản thân mình ngại viết vì lười. Có nên chăng diễn đàn yêu cầu các điều hành viên thường xuyên tìm trong các post các lời giải nào có phương pháp thì tổng hợp lại, copy các lời giải này làm ví dụ cho phương pháp. Việc tổng hợp thường xuyên sẽ tạo ra tài liệu tốt cho thành viên mới và chất lượng của chúng là nguyên nhân lớn để thu hút thành viên mới. Mình đề xuất thêm nữa là tất cả bài trong mục tài liệu, phương pháp nên được tổng hợp lại và đăng lên trong một post và chỉnh sửa cập nhật post này thường xuyên, sắp xếp một cách hợp lý để cho dễ đọc. Khi đọc một cách tuyến tính như đọc sách sẽ tiếp thu nhanh hơn. Lấy ví dụ như stackproject. Trang này không viết quá nhiều thứ mới trong hình đại số, nhưng nhờ tổng hợp và viết lại các tài liệu mà giờ rất nhiều người sử dụng trang này để học và nghiên cứu;

6. Giả sử chúng ta đã biết nên học gì ở phổ thông thì làm sao định hướng các em trên diễn đàn học và quan tâm những vấn đề đó? Cái này thì mình chưa suy nghĩ kỹ.

Mình cảm thấy nhiều tạp chí như pi, epsilon khiến cho việc quan tâm tới toán học nghiên cứu ngày càng lớn hơn, mình hi vọng diễn đàn có thể bắt kịp xu thế này. Lợi thế của diễn đàn là có rất nhiều người đang làm toán nghiêm túc. Về kiến thức thì chúng ta không thiếu, nhưng cần suy nghĩ nghiêm túc để phát huy sức mạnh.