Đến nội dung

nthoangcute nội dung

Có 984 mục bởi nthoangcute (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#648329 Tổng hợp tài liệu, chuyên đề CASIO - Bùi Thế Việt

Đã gửi bởi nthoangcute on 07-08-2016 - 02:21 trong Thi TS ĐH

Trong bài viết này, mình (Bùi Thế Việt) sẽ đăng lại toàn bộ tài liệu, chuyên đề, bài tập, lời giải về CASIO trong kỳ thi THPT Quốc Gia mà mình đã viết. Vì các bài viết đều ở trên tường cá nhân của mình trên facebook nên mình xin phép đăng link dẫn đến bài viết trên tường của mình. Link download PDF đều có ở trên đó.

P/s : Link không chứa quảng cáo nên mong admin bỏ qua cho.

 

Liên hệ :


TÀI LIỆU TỔNG HỢP
 

 

·         1. Phương pháp đánh giá siêu chặt - Bùi Thế Việt https://goo.gl/efHTlW

·         2. Kỹ thuật tử duy khử căn thức bằng CASIO - Bùi Thế Việt https://goo.gl/NasoG5

·         3. Kỹ năng giải Oxy - Bùi Thế Việt https://goo.gl/VqP8E3

·         4. Số phức và ứng dụng giải PTVT - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Qd5Ntl

·         5. Phương pháp S.O.S đánh giá vô nghiệm - Bùi Thế Việt https://goo.gl/GMxDM6

·         6. Đánh giá S.O.S phương trình bậc 4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/bqZgjL

·         7. Phương pháp tìm khoảng nghiệm PTVT bằng CASIO - Bùi Thế Việt https://goo.gl/dKZoGy

·         8. Giải tổng quát PT bậc 3, PT bậc 4 bằng CASIO - Bùi Thế Việt https://goo.gl/orKo70

·         9. Thủ thuật tính nguyên hàm tích phân bằng CASIO - Bùi Thế Việt https://goo.gl/obqpqc

·         10. Tổng hợp giải đáp thắc mắc - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Y8MceZ

·         11. Giải bài tập Oxy bằng tích vô hướng - Bùi Thế Việt https://goo.gl/bKkPL6

·         12. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - Bùi Thế Việt https://goo.gl/UfQMGX

·         13. CASIO giải đề thi THPT Nguyễn Khuyến - Nam Định - Bùi Thế Việt https://goo.gl/O8K8P3

·         14. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Bùi Thế Việt https://goo.gl/mZIKOF

·         15. CASIO giải đề thi sở GD&ĐT Hưng Yên - Bùi Thế Việt

·         Cách 1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/RTUsXa

·         Cách 2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/CG7Pfr

·         16. Tổng hợp PT, HPT chứa tham số trong đề thi thử - Bùi Thế Việt https://goo.gl/pUZRI9

·         17. Tổng hợp 3 câu phân loại đề thi thử các trường THPT 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/VoAq3S

·         18. 20 đề thi thử các trường THPT Chuyên 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/i6Pij2

·         19. 15 đề thi thử + đáp án các trường THPT cuối năm 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/EKORXd

·         20. 72 PTVT trong các đề thi thử 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/dcnKb8

·         21. 10 đề thi thử + đáp án các trường THPT P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/NNnkMK

·         22. 10 đề thi thử + đáp án các trường THPT P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/K6xzdB

·         23. CASIO giải đề thi sở GD&ĐT Thái Bình - Bùi Thế Việt https://goo.gl/STPquj

·         24. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Bùi Thế Việt https://goo.gl/LMA9hA

·         25. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Hưng Yên P1: https://goo.gl/VnwKeH

·         26. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Hưng Yên P2: https://goo.gl/XDGgBh

·         27. CASIO giải đề thi THPT Chuyên ĐH Vinh P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/uCVSZe

·         28. CASIO giải đề thi THPT Chuyên ĐH Vinh P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/qHSNMo

·         29. CASIO giải đề thi THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An L2: https://goo.gl/mLsw3O

·         30. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/13cFeI

·         31. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/xPzIKn

·         32. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P3 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/KtkHwk

·         33. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Am4Qjb

·         34. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P5 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Aq26CZ

·         35. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P6 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/aGCMNk

·         36. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P7 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/KCzK5r

·         37. Giải đáp PTVT đề thi thử 2016 P8 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/GYgz8k

·         38. Tổng đài giải đáp - Bùi Thế Việt https://goo.gl/vdFkOS

·         39. Giới thiệu kênh youtube về CASIO - Bùi Thế Việt https://goo.gl/0vILvJ

·         40. Đề thi thử khai bút TẾT 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/RS0gwm

·         41. Đáp án đề thi thử khai bút TẾT 2016 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/4X9D6a

·         42. Bài tập thủ thuật CASIO một căn cơ bản - Bùi Thế Việt https://goo.gl/O7bLoq

·         43. Bài tập + đáp án + bài đọc thêm thủ thuật CASIO một căn nâng cao - Bùi Thế Việt https://goo.gl/SgQG4K

·         44. Bài tập thủ thuật CASIO nhiều căn cơ bản - Bùi Thế Việt https://goo.gl/J5E6T0

·         45. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO nhiều căn cơ bản P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/ZM6usK

·         46. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO nhiều căn cơ bản P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/l4odLL

·         47. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO nhiều căn nâng cao - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Op6RB6

·         48. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO giải PTVT căn bậc n - Bùi Thế Việt https://goo.gl/64YKoI

·         49. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO giải PTVT nâng cao - Bùi Thế Việt https://goo.gl/oe3HNJ

·         50. Bài tập thủ thuật CASIO giải BPT cơ bản - Bùi Thế Việt https://goo.gl/RmkZ8u

·         51. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO giải BPT nâng cao - Bùi Thế Việt https://goo.gl/4cPsnS

·         52. Bài tập + đáp án thủ thuật CASIO giải HPT Hữu Tỷ cơ bản - Bùi Thế Việt https://goo.gl/kT1wEq

·         53. CASIO giải bài tập HPT Hữu Tỷ - Bùi Thế Việt https://goo.gl/jg6CcS

·         54. Thủ thuật CASIO cơ bản P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/30xrt3

·         55. Thủ thuật CASIO cơ bản P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/QFuyhw

·         56. Thủ thuật CASIO cơ bản P3 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/TwVZk2

·         57. Thủ thuật CASIO cơ bản P4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/mgHd3j

·         58. Thủ thuật CASIO cơ bản P5 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Ggb4gE

·         59. Thủ thuật CASIO cơ bản P6.1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/1rmCo3

·         60. Thủ thuật CASIO cơ bản P6.2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/VsMnJ3

·         61. Bài tập P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/bi6JOh

·         62. Bài tập P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/mmiZ5z

·         63. Bài tập P3 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/14EHhJ

·         64. Bài tập P4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Lmdixx

·         65. Bài tập P5 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/HRzsQZ

·         66. Giải đáp P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/LBmZtw

·         67. Giải đáp P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/CZOb6x

·         68. Giải đáp P3 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/Zde6R5

·         69. Giải đáp P4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/QoWzPr

·         70. Giải đáp P5 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/IqHJLm

·         71. Giải đáp chi tiết P1 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/PSMRE5

·         72. Giải đáp chi tiết P2 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/rNV2Hj

·         73. Giải đáp chi tiết P3 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/2rpL30

·         74. Giải đáp chi tiết P4 - Bùi Thế Việt https://goo.gl/bkWz31

 

 




#640752 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT bằng CASIO - Bùi Thế Việt

Đã gửi bởi nthoangcute on 16-06-2016 - 20:36 trong Chuyên đề toán THPT

Đây là chuyên đề anh viết riêng cho Diễn Đàn Toán Học.




#640616 Phương pháp U, V, T, W giải PTVT bằng CASIO - Bùi Thế Việt

Đã gửi bởi nthoangcute on 16-06-2016 - 04:47 trong Chuyên đề toán THPT

Tham khảo, chia sẻ xin ghi rõ nguồn Bùi Thế Việt (nthoangcute). Xin cảm ơn.

 

PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W

PHÂN TÍCH NHÂN TỬ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

 

(Bùi Thế Việt- Chuyên gia Thủ Thuật CASIO)

 

A. Giới Thiệu :
             Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp 8. Khi đó, tôi vô cùng thắc mắc vì sao các anh chị giải đề thi đại học lại có thể giải quyết những bài toán về PTVT, BPT, HPT, ... một cách nhanh gọn như đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy $PT(1) + k PT(2)$, ... Từ đó, tôi tự mày mò nghiên cứu và đã có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ quá trình giải toán. Ví dụ như lớp 9 tôi đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, ... nhanh chóng bằng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, giải BĐT bằng CASIO, ...
             Cũng nhờ một thời chém mưa chém gió trên diễn đàn, tôi đã trưởng thành hơn nhiều, và trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, tôi đã được trọn vẹn 10 điểm môn toán (82/900.000 người được điểm 10). Giờ tôi đã là sinh viên năm nhất, và cũng là giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn của anh Đặng Thành Nam. Vậy mà đến tận bây giờ, tôi mới quay trở lại diễn đàn. Muốn làm một gì đó mơi mới, tôi muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vô tỷ dạng một căn và nhiều căn thức ...
B. Ý Tưởng :
             Bạn đọc đã bao giờ thắc mắc làm thế nào mà có thể phân tích được nhân tử thành như sau :
a) ${x}^{3}+3\,x+2-{x}^{2}\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1}= \left( x+1-\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1} \right)  \left( \sqrt {2\,{x}^{2}-x-1}+{x}^{2}+x+1 \right)$
b) $6\,x-1- \left( 4\,x-1 \right) \sqrt {1-x}-2\, \left( x+1 \right) \sqrt{x+1} = \left( \sqrt {1-x}-2\,\sqrt {x+1}-1 \right)  \left( \sqrt {1-x}+\sqrt {x+1}-1 \right) ^{2}$
             Đối với một số người tư duy tốt, họ sẽ hỳ hục ngồi nháp, tách đủ kiểu để sao có nhân tử chung rồi đi nhóm nhân liên hợp. Tuy nhiên, với những người lười tư duy như tôi hoặc như một phần không nhỏ các bạn khác, chúng ta cần một công cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử như trên. Đó là chiếc máy tính CASIO hoặc VINACAL mà chắc hẳn bạn đọc nào cũng có.
             Để làm được điều như trên, tôi chia bài toán thành 3 giai đoạn :
Bước 1 : Tìm nhân tử
Bước 2 : Chia biểu thức
Bước 3 : Tiếp tục tìm nhân tử (nếu còn) hoặc đánh giá vô nghiệm.
             Cụ thể chi tiết từng phần, tôi sẽ trình bày ở dưới.
             Tuy nhiên U, V, T, W mà là gì ? U, V, T, W không hẳn là một phương pháp, mà đây là một công thức để thực hiện bước 2 - chia biểu thức. Đây cũng chính là mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử bằng CASIO.

C. Yêu Cầu :
             Đối với một số bạn đọc chưa biết nhiều về CASIO, vui lòng xem qua bài viết này hoặc xem video này hoặc tài liệu PDF chi tiết hơn ở đây. Cụ thể, thứ chúng ta cần bao gồm :

D. Thực Hiện :
             Chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng giai đoạn của Ý Tưởng trên :
Phần 1 : Tìm nhân tử :
             Làm thế nào để tìm được nhân tử ? Làm sao để biết ${x}^{3}+3\,x+2-{x}^{2}\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1}$ có nhân tử $\left( x+1-\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1} \right)$ ???
Phương pháp tìm nhân tử đơn giản như sau :
Nếu nhân tử có nghiệm $x=x_0$ thì phương trình ban đầu cũng có nghiệm $x=x_0$. Vậy thì nếu chúng ta biết phương trình ban đầu có nghiệm $x=x_0$ thì sẽ tìm được nhân tử chứa nghiệm $x=x_0$ ấy. 
Ví dụ : Phương trình ${x}^{3}+3\,x+2={x}^{2}\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1}$ có nghiệm $x = \dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$.
Khi đó $\sqrt {2\,{x}^{2}-x-1} = \sqrt{\dfrac{21+5\sqrt{17}}{2}}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}=x+1$ suy ra nhân tử là $\left( \sqrt {2\,{x}^{2}-x-1} -x-1\right)$
Vấn đề cần được giải quyết ở đây gồm :

  • Làm thế nào để tìm được nghiệm lẻ như $x = \dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$ ?
  • Làm thế nào biến đổi nhanh chóng $\sqrt{\dfrac{21+5\sqrt{17}}{2}}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ ?
  • Làm thế nào để tìm được nhân tử khi biết nghiệm hữu tỷ ?

Nhờ quá trình mày mò, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, tôi đã xây dựng được thủ thuật tìm nhân tử cho phương trình vô tỷ như sau :

  • Một căn thức $f(x)+g(x) \sqrt{h(x)}=0$
  • Nhiều căn thức $U \sqrt{p(x)}+V\sqrt{q(x)}+T\sqrt{p(x)q(x)}+W=0$

Bước 1 : Viết biểu thức. Ấn Shift + SOLVE, tìm các nghiệm (nếu có) và lưu vào A, B, C, ...
Bước 2 : Xét các trường hợp nghiệm :

TH 1 : Phương trình có ít nhất 2 nghiệm vô tỷ $k_1,k_2$ sao cho $\left\{\begin{matrix} k_1+k_2 \in \mathbb{Q}\\ k_1k_2 \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$ hoặc ít nhất 2 nghiệm hữu tỷ $k_1,k_2 \in \mathbb{Q}$
Khi đó nhân tử sẽ là :
$\left(\sqrt{h(x)}+ax+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{h(k_1)}-\sqrt{h(k_2)}}{k_1-k_2}\\ b=-\sqrt{h(k_1)}-bk_1 \end{matrix}\right.$
$\left(\sqrt{p(x)}+a\sqrt{q(x)}+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{p(k_1)}-\sqrt{p(k_2)}}{\sqrt{q(k_1)}-\sqrt{q(k_2)}}\\ b=-\sqrt{p(k_1)}-a\sqrt{q(k_1)} \end{matrix}\right.$

TH 2 : Phương trình có 1 nghiệm vô tỷ $k_1$ hoặc có 1 nghiệm hữu tỷ $k_1$.
Xét phương trình đổi dấu $f(x)-g(x) \sqrt{h(x)}=0$ hoặc đối với dạng nhiều căn là :

  • $-U \sqrt{p(x)}+V\sqrt{q(x)}-T\sqrt{p(x)q(x)}+W=0$
  • $U \sqrt{p(x)}-V\sqrt{q(x)}-T\sqrt{p(x)q(x)}+W=0$
  • $-U \sqrt{p(x)}-V\sqrt{q(x)}+T\sqrt{p(x)q(x)}+W=0$

Nếu phương trình này có thêm nghiệm vô tỷ $k_2$ sao cho $\left\{\begin{matrix} k_1+k_2 \in \mathbb{Q}\\ k_1k_2 \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$ hoặc 1 nghiệm hữu tỷ $k_2 \in \mathbb{Q}$.
Khi đó nhân tử sẽ là :
$\left(\sqrt{h(x)}+ax+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{h(k_1)}+\sqrt{h(k_2)}}{k_1-k_2}\\ b=-\sqrt{h(k_1)}-ak_1 \end{matrix}\right.$
$\left(\sqrt{p(x)}+a\sqrt{q(x)}+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{p(k_1)}+m\sqrt{p(k_2)}}{\sqrt{q(k_1)}+n\sqrt{q(k_2)}}\\ b=-\sqrt{p(k_1)}-a\sqrt{q(k_1)} \end{matrix}\right.$

  • Nếu $k_2$ sinh ra từ phương trình đổi dấu $\sqrt{p(x)}$ thì $m=1$ và $n=-1$
  • Nếu $k_2$ sinh ra từ phương trình đổi dấu $\sqrt{q(x)}$ thì $m=-1$ và $n=1$
  • Nếu $k_2$ sinh ra từ phương trình đổi dấu $\sqrt{p(x)q(x)}$ thì $m=1$ và $n=1$

TH 3 : Phương trình đổi dấu không tìm được $k_2$ thỏa mãn điều kiện trên. Chúng ta sẽ xem xét nó ở phần nâng cao.
Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải phương trình : $${x}^{3}-{x}^{2}+5=x \left( x-2 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}$$
Bước 1 : Nhập ${x}^{3}-{x}^{2}+5-x \left( x-2 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}$ và tìm các nghiệm, ta được 2 nghiệm là $k_1=5$ và $k_2=-1$.
Bước 2 : Nhân tử $\left(\sqrt {2\,{x}^{2}-1} + ax+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{h(k_1)}-\sqrt{h(k_2)}}{k_1-k_2} = -1\\ b=-\sqrt{h(k_1)}-ak_1=-2 \end{matrix}\right.$
Kết luận : Nhân tử là $\left(\sqrt {2\,{x}^{2}-1} - x - 2\right)$

Ví dụ 2 : Giải phương trình : $$ \left( 2\,x+5 \right) \sqrt {x-1}- \left( 3\,x-5 \right) \sqrt {x+3}-\sqrt {x+3}\sqrt {x-1}+4\,x-11=0$$
Bước 1 : Nhập $\left( 2\,x+5 \right) \sqrt {x-1}- \left( 3\,x-5 \right) \sqrt {x+3}-\sqrt {x+3}\sqrt {x-1}+4\,x-11$ và tìm các nghiệm, ta được 2 nghiệm là $k_1=12.166563$ và $k_2=1.433436$.
Bước 2 : Nhân tử $\left( \sqrt {x-1} + a  \sqrt {x+3}+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{p(k_1)}-\sqrt{p(k_2)}}{\sqrt{q(k_1)}-\sqrt{q(k_2)}} = -\dfrac{3}{2}\\ b=-\sqrt{p(k_1)}-a\sqrt{q(k_1)} = \dfrac{5}{2} \end{matrix}\right.$
Kết luận : Nhân tử là $\left(2 \sqrt {x-1} -3   \sqrt {x+3}+5\right)$

Ví dụ 3 : Giải phương trình : $$4\,{x}^{3}-6\,x+3= \left( 2\,{x}^{2}+3\,x-4 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}$$
Bước 1 : Nhập $4\,{x}^{3}-6\,x+3- \left( 2\,{x}^{2}+3\,x-4 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}$ và tìm các nghiệm, ta được 3 nghiệm là $k_1=3.2247448$ và $k_2=-1.724744$ và $k_3=1$.
Bước 2 : Thành thử thấy $k_1+k_2 \notin \mathbb{Q}$. Tất cả các nghiệm rơi vào TH 2
Tìm nghiệm phương trình $$4\,{x}^{3}-6\,x+3+ \left( 2\,{x}^{2}+3\,x-4 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}=0$$
Ta được 3 nghiệm là $k_4=0.7247448$ và $k_5=0.775255$ và $k_6=-1$.
Thành thử thấy $\left\{\begin{matrix} k_1+k_5 \in \mathbb{Q}\\ k_2+k_4 \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình này có 3 nhân tử $\left(\sqrt{2\,{x}^{2}-1}+ax+b\right)$ với $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{h(k_1)}+\sqrt{h(k_5)}}{k_1-k_5}=-2\\ b=-\sqrt{h(k_1)}-ak_1=2 \end{matrix}\right.$ và tương tự cho các cặp $\left( k_2,k_4\right)$ và $\left( k_3,k_6\right)$
Kết luận : Nhân tử là $\left(\sqrt{2\,{x}^{2}-1}-2x+2\right)$ và $\left(2\sqrt{2\,{x}^{2}-1}+2x-1\right)$ và $\left(\sqrt{2\,{x}^{2}-1}-x\right)$

Ví dụ 4 : Giải phương trình : $$11\,\sqrt {2\,x-1}-7\,\sqrt {3\,x+1}-5\,\sqrt {2\,x-1}\sqrt{3\,x+1}+10\,x+5$$
Bước 1 : Nhập $11\,\sqrt {2\,x-1}-7\,\sqrt {3\,x+1}-5\,\sqrt {2\,x-1}\sqrt {3\,x+1}+10\,x+5$ ta được 2 nghiệm là $k_1=5$ và $k_2=0.549157...$
Bước 2 : Đổi dấu trước căn :

  • $-11\,\sqrt {2\,x-1}-7\,\sqrt {3\,x+1}+5\,\sqrt {2\,x-1}\sqrt {3\,x+1}+10\,x+5=0$ có nghiệm $k_3=1$
  • $11\,\sqrt {2\,x-1}+7\,\sqrt {3\,x+1}+5\,\sqrt {2\,x-1}\sqrt {3\,x+1}+10\,x+5=0$ vô nghiệm
  • $11\,\sqrt {2\,x-1}+7\,\sqrt {3\,x+1}+5\,\sqrt {2\,x-1}\sqrt {3\,x+1}+10\,x+5=0$ có nghiệm $k_4 = 2.330842...$

Vậy áp dụng công thức với $\left(k_1,k_3\right)$ và $\left(k_2,k_4\right)$ ta được nhân tử dạng $\left(\sqrt{p(x)}+a\sqrt{q(x)}+b\right)$ với

  • $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{p(k_1)}+\sqrt{p(k_3)}}{\sqrt{q(k_1)}-\sqrt{q(k_3)}}=-2\\ b=-\sqrt{p(k_1)}-a\sqrt{q(k_1)}=5 \end{matrix}\right.$
  • $\left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{\sqrt{p(k_2)}+\sqrt{p(k_4)}}{\sqrt{q(k_2)}+\sqrt{q(k_4)}}=-\dfrac{1}{2}\\ b=-\sqrt{p(k_2)}-a\sqrt{q(k_2)}=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Kết luận : Nhân tử là  $\left( \sqrt {2\,x-1}-2\,\sqrt {3\,x+1}+5 \right)$ và $ \left( 2\,\sqrt {2\,x-1}-\sqrt {3\,x+1}+1 \right)$
Nhận xét : Có lẽ bước tìm nhân tử này quyết định tới hướng đi của bài toán. Chúng ta có thể nhờ nhân tử tìm được này để nhóm hợp lý trong phương pháp nhân liên hợp hoặc đặt ẩn phụ. Bạn đọc có thể tự mình tìm lời giải cho 4 bài toán trên nhờ các nhân tử tìm được.
Nhiều bạn có suy nghĩ "trẻ trâu", bài nào cũng đi bình phương khử căn thức nên nghĩ rằng tìm nhân tử vừa khó vừa lâu. Lâu hay không là còn do độ phức tạp của bài toán và chứng minh phần còn lại vô nghiệm, còn bình phương khử căn thức chưa chắc đã giải quyết được bài toán. Bạn đọc có thể xem ví dụ dưới đây :

Ví dụ 5 : Giải phương trình : $$2\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}+x-3= \left( {x}^{2}-3\,x+1 \right) \sqrt {{x}^{2}+3}$$
Cách 1 : Bình phương khử căn thức :
Ta có : $$2\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}+x-3= \left( {x}^{2}-3\,x+1 \right) \sqrt {{x}^{2}+3} \\ \Rightarrow  \left( 2\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}+x-3 \right) ^{2}= \left( {x}^{2}-3\,x+1 \right) ^{2} \left( {x}^{2}+3 \right) \\ \Leftrightarrow  3\,{x}^{6}-10\,{x}^{5}+6\,{x}^{4}+4\,{x}^{3}-9\,{x}^{2}+12\,x+6=0 \\ \Leftrightarrow  \left( x+1 \right)  \left( 3\,{x}^{2}-4\,x-2 \right)  \left( {x}^{3}-3\,{x}^{2}+3\,x-3 \right) =0 $$
Tuy nhiên, giải quyết ${x}^{3}-3\,{x}^{2}+3\,x-3=0$ thế nào được ?
Bật mí : $ {x}^{3}-3\,{x}^{2}+3\,x-3=  \left( x-1 \right) ^{3}-2$ và nghiệm của nó không thỏa mãn PTVT.
Đây là một bài cơ bản để tôi lấy ví dụ. Vậy điều gì xảy ra nếu tôi cho một phương trình sau khi bình phương nó có thêm nghiệm cực xấu hoặc hệ số của nó cực to ? Phương pháp sau sẽ tối ưu hơn :
Cách 2 : Phân tích nhân tử :
Ta có : $$PT \Leftrightarrow  \left( \sqrt {{x}^{2}+3}-2\,x+1 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}+3}+{x}^{2}-x \right) =0$$
Và $\sqrt {{x}^{2}+3}+{x}^{2}-x \geq \sqrt {3}+{x}^{2}-x >0$
Cách làm này rất ngắn và "ảo diệu". Vậy thì làm thế nào tìm được nhân tử còn lại khi biết một vài nhân tử của bài toán ? Tôi sẽ giới thiệu cho bạn đọc công thức U, V, T, W để chia biểu thức :

Phần 2 : Chia biểu thức :
Dạng 1 : Một căn thức :
             Xét phép chia hết sau : $\dfrac{f(x)+g(x)\sqrt{h(x)}}{p(x)+q(x)\sqrt{h(x)}} = U + V \sqrt{h(x)}$

Công thức U, V:
Đặt $A=\dfrac{f(x)+g(x)\sqrt{h(x)}}{p(x)+q(x)\sqrt{h(x)}}$ và $B=\dfrac{f(x)-g(x)\sqrt{h(x)}}{p(x)+-q(x)\sqrt{h(x)}}$. Khi đó : $$\left\{\begin{matrix} U=\dfrac{A+B}{2}\\ V=\dfrac{A-B}{2\sqrt{h(x)}}\end{matrix}\right.$$
Áp dụng :
Bước 1 : Viết biểu thức, CALC cho $X = 1000$. Ấn Shift + STO + A (gán vào A)
Bước 2 : Sửa biểu thức, đổi dấu trước căn, CALC cho $X = 1000$. Ấn Shift + STO + B (gán vào B)
Bước 3 : Sử dụng công thức U, V để tìm $U$ và $V$ theo $x$

Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức : $${\dfrac {4\,{x}^{5}-2\,{x}^{4}-8\,{x}^{2}+2\,x+2- \left( 6\,{x}^{3}-7\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{3}-1}}{\sqrt {2\,{x}^{3}-1}+2-3\,x}}$$
Bước 1 : CALC cho $X = 1000$ và lưu vào $A$, ta được $A=8.9397997...\cdot 10^10$
Bước 2 : Đổi dấu, CALC cho $X = 1000$ và lưu vào $B$, ta được $B=-8.9397995...\cdot 10^10$
Bước 3 : Ta có : $\left\{\begin{matrix} U=\dfrac{A+B}{2}=2001=2x+1\\ V=\dfrac{A-B}{2\sqrt{2x^3-1}}=1999000=2x^2-x\end{matrix}\right.$
Đáp số : $2x+1 \left( 2\,{x}^{2}-x \right) \sqrt {2\,{x}^{3}-1}$
Dạng 2 : Nhiều căn thức :
             Xét phép chia hết sau : $$\dfrac{A_1\sqrt{p(x)}+B_1\sqrt{q(x)}+C_1\sqrt{p(x)q(x)}+D_1}{A_2\sqrt{p(x)}+B_2\sqrt{q(x)}+C_2\sqrt{p(x)q(x)}+D_2} \\= {U\sqrt{p(x)}+V\sqrt{q(x)}+T\sqrt{p(x)q(x)}+W}$$

Công thức U, V, T, W:
Đặt :

  • $A=\dfrac{A_1\sqrt{p(x)}+B_1\sqrt{q(x)}+C_1\sqrt{p(x)q(x)}+D_1}{A_2\sqrt{p(x)}+B_2\sqrt{q(x)}+C_2\sqrt{p(x)q(x)}+D_2}$
  • $B=\dfrac{-A_1\sqrt{p(x)}+B_1\sqrt{q(x)}-C_1\sqrt{p(x)q(x)}+D_1}{-A_2\sqrt{p(x)}+B_2\sqrt{q(x)}-C_2\sqrt{p(x)q(x)}+D_2}$
  • $C=\dfrac{A_1\sqrt{p(x)}-B_1\sqrt{q(x)}-C_1\sqrt{p(x)q(x)}+D_1}{A_2\sqrt{p(x)}-B_2\sqrt{q(x)}-C_2\sqrt{p(x)q(x)}+D_2}$
  • $D=\dfrac{-A_1\sqrt{p(x)}-B_1\sqrt{q(x)}+C_1\sqrt{p(x)q(x)}+D_1}{-A_2\sqrt{p(x)}-B_2\sqrt{q(x)}+C_2\sqrt{p(x)q(x)}+D_2}$

Khi đó :

  • $U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{p(x)}}$
  • $V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{q(x)}}$
  • $T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{p(x)q(x)}}$
  • $W=\dfrac{A+B+C+D}{4}$

Ví dụ minh họa :
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức : $${\dfrac {{x}^{2}-2\,x-1- \left( x-2 \right) \sqrt {1-x}- \left( x+1 \right) \sqrt{x+1}-2\,x\sqrt {1-{x}^{2}}}{\sqrt {x+1}-2\,\sqrt {1-x}+1}}$$
Bài toán này không CALC cho $X=1000$ được vì không thỏa mãn ĐKXĐ. Tuy nhiên, chúng ta có thể CALC cho $X=0.001$ hoặc vào MODE 2 CMPLX (complex) và CALC cho $X = 1000$.
Bước 1 : Vào MODE 2 CMPLX
Bước 2 : Nhập biểu thức, CALC cho $X = 1000$ và lưu vào $A$ ta được $A=31604.945-1031.605i$
Bước 3 : Sửa biểu thức, đổi dấu $\sqrt{x+1}$, lưu vào $B$ ta được $B=-31608.945+968.392i$
Bước 4 : Sửa biểu thức, đổi dấu $\sqrt{1-x}$, lưu vào $C$ ta được $C=31604.945+1031.606i$
Bước 5 : Sửa biểu thức, đổi dấu $\sqrt{x+1}$ và $\sqrt{1-x}$, lưu vào $D$ ta được $D=-31608.945-968.392i$
Bước 6  : Sử dụng công thức U, V, T, W :

  • $U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{x+1}}=999=x-1$
  • $V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{1-x}}=-1$
  • $T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{1-x^2}}=-1$
  • $W=\dfrac{A+B+C+D}{4}=-2$

Đáp số : $ \left( x-1 \right) \sqrt {x+1}-\sqrt {1-x}-\sqrt {1-x^2}-2$
Vậy là bây giờ, nếu chỉ cho phương trình, bạn đọc có thể phân tích nhân tử được chứ ?

Ví dụ 3 : Giải phương trình: $$x + 79 - \left( {2{\mkern 1mu} x + 47} \right)\sqrt {x - 2}  - 2{\mkern 1mu} \left( {x + 19} \right)\sqrt {x + 2}  + 31{\mkern 1mu} \sqrt {{x^2} - 4}  = 0$$
Bước 1 : Tìm nghiệm : $\left\{ \begin{matrix}  & A=13.16656315 \\  & B=\text{2}\text{.4334368} \\  & X=\dfrac{17}{4} \\ \end{matrix} \right.$
Bước 2 : Tìm nhân tử $\left( \sqrt{x-2}+u\sqrt{x+2}+v \right)$
$\left\{ \begin{matrix}  & A+B=\dfrac{78}{5} \\  & AB=\dfrac{801}{25} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}  & u=-\dfrac{\sqrt{A-2}-\sqrt{B-2}}{\sqrt{A+2}-\sqrt{B+2}}=-\dfrac{3}{2} \\  & v=-\sqrt{A-2}-u\sqrt{A+2}=\dfrac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$
Vậy nhân tử là : $\left( \sqrt{x-2}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x+2}+\dfrac{5}{2} \right)\Leftrightarrow \left( 2\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+5 \right)$
Bước 3 : Chia biểu thức : $$\dfrac{x+79-\left( 2x+47 \right)\sqrt{x-2}-2\left( x+19 \right)\sqrt{x+2}+31\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+5}=U\sqrt{x-2}+V\sqrt{x+2}+T\sqrt{{{x}^{2}}-4}+\text{W}$$
Ta được :

  • $U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{x-2}}=-9 $
  • $V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{x+2}}=-3 $
  • $T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{{{x}^{2}}-4}}=2 $
  • $W=\dfrac{A+B+C+D}{4}=2x+5$

Vậy $\dfrac{x+79-\left( 2x+47 \right)\sqrt{x-2}-2\left( x+19 \right)\sqrt{x+2}+31\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+5}=-9\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}+2x+5$
Bước 4 : Tiếp tục tìm nghiệm phương trình $-9\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}+2x+5=0$
Bước 5 : Tìm nhân tử $\left( \sqrt{x-2}-4\sqrt{x+2}+7 \right)$
Bước 6 : Chia biểu thức : $$-9\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}+2x+5=\left( \sqrt{x-2}-4\sqrt{x+2}+7 \right)\left( -\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}-1 \right)$$
Kết luận : $\left( 2\sqrt{x-2}-3\sqrt{x+2}+5 \right)\left( \sqrt{x-2}-4\sqrt{x+2}+7 \right)\left( -\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}-1 \right)$

Ví dụ 4 : Giải phương trình : $${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+10x-6-2\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}-1}+\left( {{x}^{2}}-8x+10 \right)\sqrt{x-1}=0$$
Bước 1 : Tìm nghiệm : $\left\{ \begin{matrix}  & A=4-\sqrt{6} \\  & B=4+\sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$
Bước 2 : Gọi nhân tử : $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+u\sqrt{x-1}+v \right)$ ta được : $$\left\{ \begin{matrix}  & u=-\dfrac{\sqrt{{{A}^{2}}+A+1}-\sqrt{{{B}^{2}}+B+1}}{\sqrt{A-1}-\sqrt{B-1}}=-3 \\  & v=-\sqrt{{{A}^{2}}+A+1}-u\sqrt{A-1}=0 \\ \end{matrix} \right.$$
Nhân tử là : $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-3\sqrt{x-1} \right)$
Bước 3 : Chia biểu thức : $$\dfrac{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+10x-6-2\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}-1}+\left( {{x}^{2}}-8x+10 \right)\sqrt{x-1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-3\sqrt{x-1}}=U\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+V\sqrt{x-1}+T\sqrt{{{x}^{3}}-1}+\text{W}$$
Ta có : $$\left\{ \begin{matrix}  & U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}=x \\  & V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{x-1}}=x-2 \\  & T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{{{x}^{3}}-1}}=1 \\  & \text{W}=\dfrac{A+B+C+D}{4}=3x-3 \\ \end{matrix} \right.$$
Kết luận : $$\begin{matrix}  & {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+10x-6-2\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}-1}+\left( {{x}^{2}}-8x+10 \right)\sqrt{x-1}=0 \\  & \Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-3\sqrt{x-1} \right)\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}+\sqrt{{{x}^{3}}-1}+3x-3 \right)=0 \\ \end{matrix}$$
Tiếp tục, ta thấy : $x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}+\sqrt{{{x}^{3}}-1}+3x-3>0$ nên vô lý.
Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 5 : Giải phương trình : $$15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0$$
Hướng dẫn :
Bước 1 : Tìm nghiệm ta được 2 nghiệm là : $\left\{ \begin{matrix}  & {{X}_{1}}=\dfrac{24}{25} \\  & A=-\text{0}\text{.90383671} \\ \end{matrix} \right.$

  • Đổi dấu trước căn của $\sqrt{1-x}$ ta được :$15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0$
    Phương trình này có 2 nghiệm là : $\left\{ \begin{matrix}  & B=\text{0}\text{.663836717} \\  & C=-\text{0}\text{.65218961} \\ \end{matrix} \right.$
  • Đổi dấu trước căn của $\sqrt{1+x}$ ta được : $15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0$
    Phương trình này vô nghiệm.
  • Đổi dấu trước căn của $\sqrt{1-x}$ và $\sqrt{1+x}$ ta được : $15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}=0$
    Phương trình này có 2 nghiệm là : $\left\{ \begin{matrix}  & {{X}_{2}}=\text{0} \\  & {{X}_{3}}=-\dfrac{24}{25} \\ \end{matrix} \right.$

Thành thử thấy $A+B=-\dfrac{6}{25}\in \mathbb{Q}$
Bước 2 : Tìm nhân tử $\left( \sqrt{1-x}+u\sqrt{1+x}+v \right)$ chứa nghiệm A bằng cách :$$\left\{ \begin{matrix}  & u=-\dfrac{\sqrt{1-A}+\sqrt{1-B}}{\sqrt{1+A}-\sqrt{1+B}}=2 \\  & v=-\sqrt{1-A}-u\sqrt{1+A}=-2 \\ \end{matrix} \right.$$
Vậy nhân tử là : $\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)$
Bước 3 : Tìm nhân tử $\left( \sqrt{1-x}+u\sqrt{1+x}+v \right)$ chứa nghiệm ${{X}_{1}}=\dfrac{24}{25}$ bằng cách :$$\left\{ \begin{matrix}  & \sqrt{1-\dfrac{24}{25}}+u\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}+v=0 \\  & -\sqrt{1-0}-u\sqrt{1+0}+v=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}  & u=-\dfrac{1}{2} \\  & v=\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left( 2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)$$
Hoặc $$\left\{ \begin{matrix}  & \sqrt{1-\dfrac{24}{25}}+u\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}+v=0 \\  & -\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}-u\sqrt{1-\dfrac{24}{25}}+v=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}  & u=-1 \\  & v=\dfrac{6}{5} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left( 5\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+6 \right)$$
Bước 4 : 

Cách 1 : Chia biểu thức : $$\begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)} \\  & =U\sqrt{1-x}+V\sqrt{1+x}+T\sqrt{1-{{x}^{2}}}+W \\ \end{matrix}$$
Lần lượt CALC cho X = 0.001 và lưu :
$$\left\{ \begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)}\to A=-0.6002499... \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( -\sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( -2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)}\to B=-2.0035006... \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 2\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+1 \right)}\to C=-4.0034996.. \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( -\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( -2\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+1 \right)}\to D=-4.003499... \\ \end{matrix} \right.$$
Từ đó ta được :$$\left\{ \begin{matrix} & U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{1-X}}=-1 \\  & V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{1+X}}=0 \\  & T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{1-{{X}^{2}}}}=-1 \\  & \text{W}=\dfrac{A+B+C+D}{4}=-4.003=-4-3x \\ \end{matrix} \right.$$
Vậy : $$\begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)} \\  & =-\sqrt{1-x}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}-4-3x \\ \end{matrix}$$

Cách 2 : Chia biểu thức :$$\begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 5\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+6 \right)} \\  & =U\sqrt{1-x}+V\sqrt{1+x}+T\sqrt{1-{{x}^{2}}}+W \\ \end{matrix}$$
Lần lượt CALC cho X = 0.001 và lưu :
$$\left\{ \begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 5\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+6 \right)}\to A=-\text{2}\text{.000999}... \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}-4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( -\sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( -5\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+6 \right)}\to B=-1.001500... \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8+\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}+\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}+6 \right)}\to C=-1.000500.. \\  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( -\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( -5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}+6 \right)}\to D=-0.001000... \\ \end{matrix} \right.$$
Từ đó ta được : $$\left\{ \begin{matrix}  & U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{1-X}}=-\dfrac{1}{2} \\  & V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{1+X}}=-\dfrac{1}{2} \\  & T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{1-{{X}^{2}}}}=0 \\  & \text{W}=\dfrac{A+B+C+D}{4}=-1.001=-1-x \\ \end{matrix} \right.$$
Vậy :  $$\begin{matrix}  & \dfrac{15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( -5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}+6 \right)} \\  & =-\dfrac{1}{2}\sqrt{1-x}-\dfrac{1}{2}\sqrt{1+x}-1-x \\ \end{matrix}$$
Kết luận : $$\begin{matrix}  & 15{{x}^{2}}+19x+8-\left( 9x+10 \right)\sqrt{1-x}+4\left( 3x+4 \right)\sqrt{1+x}-\left( 5x+14 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\  & =-\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+1 \right)\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+4+3x \right) \\  & =-\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}-2 \right)\left( 5\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+6 \right)\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+1+x \right) \\ \end{matrix}$$
Nhận xét : Vậy với những bài toán có nghiệm bội thì sao ?
Tôi có một bổ đề cực kỳ ngắn gọn để kiểm tra phương trình có nghiệm bội kép hay bội ba, bội bốn, ... Bạn đọc quan tâm có thể xem chi tiết ở phần nâng cao.

Ví dụ 6 : Giải phương trình : $$7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0$$
Hướng dẫn :
Bước 1 : Tìm nghiệm ta được nghiệm là : $x=5$
Bước 2 : Đổi dấu trước căn ta được :

  • $7{{x}^{2}}+22+4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}+6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0$ vô nghiệm
  • $7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}+3\sqrt{x+4}+6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0$ vô nghiệm
  • $7{{x}^{2}}+22+4\sqrt{x-1}+3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0$ vô nghiệm

Bước 3 : Xác định nghiệm bội :
Ta có :$$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}}{x-5}=0\\ \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}}{{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\dfrac{97}{96}$$
Vậy bài toán này có nghiệm bội kép $x = 5$
Bước 4 : Tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép : $\left( \sqrt{x-1}+a\sqrt{x+4}+b \right)$
Ta có : $$a=-\dfrac{\dfrac{d}{dx}{{\left. \left( \sqrt{x-1} \right) \right|}_{x=5}}}{\dfrac{d}{dx}{{\left. \left( \sqrt{x+4} \right) \right|}_{x=5}}}=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow b=\dfrac{5}{2}\Rightarrow \left( 2\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}+5 \right)$$
Chia biểu thức :
$$\dfrac{7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}}{2\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}+5}=U\sqrt{x-1}+V\sqrt{x+4}+T\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}+\text{W}$$
Ta CALC cho X = 1000 và tính :$$\left\{ \begin{matrix}  & A=\text{-36910}\text{.33046} \\  & B=\text{-84875}\text{.59149} \\  & C=\text{79676}\text{.78400} \\  & D=\text{26904}\text{.33799} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}  & U=\dfrac{A-B+C-D}{4\sqrt{x-1}}=796.8=\dfrac{3984}{5}=\dfrac{4x-16}{5} \\  & V=\dfrac{A+B-C-D}{4\sqrt{x+4}}=-1801.8=-\dfrac{9009}{5}=-\dfrac{9x+9}{5} \\  & T=\dfrac{A-B-C+D}{4\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}}=-1.2=-\dfrac{6}{5} \\  & \text{W}=\dfrac{A+B+C+D}{4}=-3801.2=-\dfrac{19006}{5}=-\dfrac{19x+6}{5} \\ \end{matrix} \right.$$
Kết luận : $$\begin{matrix}  & 7{{x}^{2}}+22-4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}-6x\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0 \\  & \Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\left( 2\sqrt{x-1}-3\sqrt{x+4}+5 \right)\left( 4\left( x-4 \right)\sqrt{x-1}-9\left( x+1 \right)\sqrt{x+4}-6\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}-19x-6 \right)=0 \\ \end{matrix}$$
Dễ thấy :$4\left( x-4 \right)\sqrt{x-1}-4\left( x+1 \right)\sqrt{x+4}<0$
Vậy bài toán được giải quyết.
Chắc bạn đọc đã có thể sử dụng công thức U, V, T, W để phân tích nhân tử một số bài toán khó rồi. Bạn đọc có thể cùng tôi thực hành những bài toán sau :

Ví dụ 7 : Giải bất phương trình : $$\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\sqrt{x-1}+\left( x-2 \right)\sqrt{x+1}\ge 3{{x}^{2}}-9x+2$$
Hướng dẫn :$\begin{matrix} BPT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}-2 \right)\left( 2x+1+x\sqrt{x+1}-3\sqrt{x-1}-2\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\ge 0 \\ \end{matrix}$

Ví dụ 8 : Giải bất phương trình : (Đề thi thử lần 1 – THPT Chuyên ĐH Vinh - 2016)
$${{x}^{2}}+4\sqrt{x+2}\le x+2\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)$$
Hướng dẫn : $BPT\Leftrightarrow \left( \sqrt{x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+3}-3 \right)\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{{{x}^{2}}+3}-1 \right)\ge 0$

Ví dụ 9 : Giải phương trình : $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+1=0$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}-3 \right)   \left( \left( -{{x}^{2}}+3x+10 \right)\sqrt{x+2}+\left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)\sqrt{3-x}+\left( 3x+6 \right)\sqrt{x+2}\sqrt{3-x}+6x+14 \right)=0 \\ \end{matrix}$

Ví dụ 10 : Giải phương trình $$2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=2{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+3x}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{9}\left( \sqrt{3{{x}^{2}}+1}-1 \right)\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+3x}-2x-3 \right)\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+3x}-3\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+2x \right)=0  \end{matrix}$

Ví dụ 11 : Giải phương trình : $$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}=\sqrt[3]{\dfrac{3x-13}{4}}$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Leftrightarrow 4{{\left( \sqrt{x-2}-\sqrt{x+1} \right)}^{3}}=3x-13   \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left( \sqrt{x-2}-2\sqrt{x+1}+3 \right)  & \left( 13\sqrt{x-2}-22\sqrt{x+1}+16\sqrt{x-2}\sqrt{x+1}-16x-19 \right)=0  \end{matrix}$

Ví dụ 12 : Giải phương trình : $$\sqrt{{{x}^{2}}+9x-1}+x\sqrt{11-3x}=2x+3$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Rightarrow {{x}^{2}}+9x-1={{\left( x\sqrt{11-3x}-2x-3 \right)}^{2}}   \Leftrightarrow \left( \sqrt{11-3x}-1 \right)\left( \sqrt{11-3x}-3 \right)\left( {{x}^{2}}+7+2\sqrt{11-3x} \right)=0\end{matrix}$

Ví dụ 13 : Giải phương trình : $$\sqrt{7{{x}^{2}}+20x-86}+x\sqrt{-{{x}^{2}}-4x+31}=3x+2$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Rightarrow {{\left( x\sqrt{-{{x}^{2}}-4x+31}-3x-2 \right)}^{2}}=7{{x}^{2}}+20x-86   \Leftrightarrow \left( \sqrt{-{{x}^{2}}-4x+31}-4 \right)\left( \sqrt{-{{x}^{2}}-4x+31}-1 \right)\left( \sqrt{-{{x}^{2}}-4x+31}+{{x}^{2}}+7 \right)=0  \end{matrix}$

Ví dụ 14 : Giải phương trình : $$x+4\sqrt{x+3}+2\sqrt{3-2x}=11$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{18}\left( 4\sqrt{x+3}+\sqrt{3-2x}-9 \right)\left( 4\sqrt{x+3}-\sqrt{3-2x}+27 \right)=0  \end{matrix}$

Ví dụ 15 : Giải phương trình : $$2\sqrt{x+2}-8\sqrt{2-x}+8\sqrt{4-{{x}^{2}}}+15x-34=0$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x+2}-4\sqrt{2-x} \right)\left( \sqrt{x+2}-4\sqrt{2-x}-2 \right)=0  \end{matrix}$

Ví dụ 16 : Giải bất phương trình : $$\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\sqrt{x-1}+\left( x-2 \right)\sqrt{x+1}\le 3{{x}^{2}}-9x+2$$
Hướng dẫn : $\begin{matrix}  BPT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}-2 \right)\left( 3\sqrt{x-1}-x\sqrt{x+1}+2\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}-2x-1 \right)\ge 0 \\ \end{matrix}$
Chúng ta đã đi qua gần cuối đoạn đường phân tích nhân tử. Tuy nhiên, vẫn còn một số thứ cần phải làm rõ :

E. Nâng Cao
                   Có thể bạn đọc đã thấy, việc tìm nghiệm giúp chúng ta tìm được nhân tử. Các trường hợp có 2 nghiệm vô tỷ, 1 nghiệm vô tỷ, 2 nghiệm hữu tỷ thì đã có công thức. Vậy còn trường hợp 1 nghiệm hữu tỷ thì tính sao ? Liệu nó có thể phân tích thành nhân tử được ?
Tôi tạm chia trường hợp 1 nghiệm hữu tỷ duy nhất $k_1 \in \mathbb{Q}$ thành các trường hợp nhỏ hơn như sau :

a) Sau khi đổi dấu, tìm được nghiệm hữu tỷ $k_2 \in \mathbb{Q}$. Trường hợp cơ bản này đã có công thức ở trên rồi. Bạn đọc có thể xem lại.
b) Sau khi đổi dấu, không tìm được nghiệm hữu tỷ $k_2 \in \mathbb{Q}$ nhưng tìm được 2 nghiệm vô tỷ $k_3,k_4$ sao cho $\left\{\begin{matrix} k_3+k_4 \in \mathbb{Q}\\ k_3k_4 \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$
Khi đó, nhân tử của bài toán sẽ là đổi dấu của nhân tử chứa hai nghiệm $k_3,k_4$.

Ví dụ 1 : Giải phương trình $3\,{x}^{2}-7\,x-8- \left( 3\,x-4 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$
Ta có :
Phương trình $3\,{x}^{2}-7\,x-8- \left( 3\,x-4 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$ có nghiệm duy nhất $x=-\dfrac{2}{3}$
Phương trình $3\,{x}^{2}-7\,x-8+ \left( 3\,x-4 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$ có 2 nghiệm $k_1=2.55396793$ và $k_2 = -5.22063459$
Từ đó ta tìm được nhân tử của bài toán này là $\left( 2 \sqrt {{x}^{2}-x-1} -x+6 \right) $
Kết luận : $PT \Leftrightarrow \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-x-1 \right) \left( 2\,\sqrt {{x}^{2}-x-1}-x+6 \right) =0$

c) Phương trình có nghiệm bội $x=k_1$.
Để kiểm tra nghiệm bội, chúng ta dùng bổ đề dưới đây :
Nếu $\lim \dfrac{f(x)}{\left (x-k \right )^n}=0$ thì $f(x)$ có nghiệm $x=k$ bội $n+1$

Ví dụ 2 : Giải phương trình $2\,{x}^{4}+2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-2\,x-1= \left( 2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}$
Ta có :
Phương trình $2\,{x}^{4}+2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-2\,x-1 - \left( 2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}=0$ có nghiệm duy nhất $ x = 1$
Phương trình $2\,{x}^{4}+2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-2\,x-1 + \left( 2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}=0$ có 2 nghiệm $ x_1 = 0.7178...$ và $x_2 = -2.3098...$
Hai nghiệm này có tổng, tích không phải hữu tỷ nên không làm ăn được gì.
Kiểm tra nghiệm bội :
Ta có : $\lim \dfrac{2\,{x}^{4}+2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-2\,x-1 - \left( 2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}}{x-1} = 0$
Ta có : $\lim \dfrac{2\,{x}^{4}+2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-2\,x-1 - \left( 2\,{x}^{3}+2\,{x}^{2}-1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}}{(x-1)^2} = -5$
Kết luận : Phương trình đã cho có bội kép $x=1$.
Vậy tìm nhân tử chứa bội kép như thế nào ?
Giả sử bài toán có nhân tử $\left( \sqrt {2\,{x}^{2}-1} +a x+b\right)$ thì đạo hàm theo $x$ của $\sqrt {2\,{x}^{2}-1} +a x+b$ tại $x=1$ phải bằng $\,0$.
Tức là $a = {{\left. -\dfrac{d}{dx}\left( \sqrt{2{{x}^{2}}-1} \right) \right|}_{x=1}} = -2$. Từ đó ta có thể tìm được $b=1$
Vậy nhân tử của bài toán này là $\left( \sqrt {2\,{x}^{2}-1} -2 x+1\right)$
Tiếp theo là phân tích thành nhân tử nó, ta được đáp án như sau : $$PT \Leftrightarrow \left( \sqrt {2\,{x}^{2}-1}-2\,x+1 \right) \left( \left( {x}^{2}+2\,x+1 \right) \sqrt {2\,{x}^{2}-1}+{x}^{2} \right) =0$$
Bài toán được giải quyết.

d) Phương trình dạng một căn thức $\sqrt{ax+b}$
Điều đặc biệt của phương trình dạng này là luôn có nhân tử $\left(\sqrt{ax+b}-\sqrt{ak_1+b}\right)$

Ví dụ 3 : Giải phương trình ${x}^{2}+2\,x+9- \left( {x}^{2}-2\,x+9 \right) \sqrt {2\,x+1}=0$
Ta có : Phương trình ${x}^{2}+2\,x+9- \left( {x}^{2}-2\,x+9 \right) \sqrt {2\,x+1}=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$
Ta có : Phương trình ${x}^{2}+2\,x+9+ \left( {x}^{2}-2\,x+9 \right) \sqrt {2\,x+1}=0$ vô nghiệm
Kiểm tra nghiệm bội : Không thỏa mãn.
Tuy nhiên nhờ nghiệm $x=0$ nên có thể xác định luôn phương trình này có nhân tử $\left(\sqrt{2x+1}-1\right)$
Kết luận : $PT \Leftrightarrow \left( \sqrt {2\,x+1}-1 \right) \left( {x}^{2}-2\,x+7-2\,\sqrt {2\,x+1} \right) =0$

e) Phương trình dạng nhiều căn thức $A\sqrt{ax+b}+B\sqrt{ax+c}+C\sqrt{(ax+b) (ax+c)}+D=0$
Tương tự như trên, phương trình này luôn có nhân tử dạng $\left(\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax+c}+p\right)$ hoặc $\left(\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax+c}+q\right)$

Ví dụ 4 : Giải phương trình $\sqrt {x+1}+x\sqrt {x-2}-{x}^{2}+4=0$
Phương trình này có nghiệm duy nhất $x=3$ vì vậy nên nó luôn có nhân tử $ \left( \sqrt {x+1}-\sqrt {x-2}-1 \right) $ hoặc $\left( \sqrt {x+1}+\sqrt {x-2}-3 \right) $
Kết luận :
$PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\, \left( \sqrt {x+1}-\sqrt {x-2}-1 \right) \left( \sqrt {x+1}+ \left( x+3 \right) \sqrt {x-2}+ \left( x+2 \right) \sqrt {x+1}\sqrt {x-2}+{x}^{2}-1 \right) =0$
$PT \Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}\, \left( \sqrt {x+1}+\sqrt {x-2}-3 \right) \left( 3\,\sqrt {x+1}+3\, \left( x+1 \right) \sqrt {x-2}+ \left( x+2 \right) \sqrt {x+1}\sqrt {x-2}-{x}^{2}+7 \right) =0$

Ví dụ 5 : Giải phương trình $3x\sqrt{x-1}-\left( x+1 \right)\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+2=0$
Phương trình này có nghiệm duy nhất $x=2$
Kết luận :
$PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}+1 \right)\left( x\sqrt{x-1}+\left( x-1 \right)\sqrt{x+2}+2x \right)=0$
$PT \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3}\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}-3 \right)\left( 2x\sqrt{x-1}-2x\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}-2x+2 \right)=0$

Ví dụ 6 : Giải phương trình ${{x}^{2}}-4x-6+5x\sqrt{x-1}+5\sqrt{x+2}-\left( 3x-1 \right)\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}=0$
Phương trình này có nghiệm $x=2$ hoặc $x=\dfrac{17}{16}$ nhưng vẫn có nhân tử như trên.
Kết luận :
$PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-3\sqrt{x+2}+5 \right)\left( x\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)=0$
$PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}+1 \right)\left( 2x\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+2}-\left( x+1 \right)\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}-{{x}^{2}}-2 \right)=0$

f) Phương trình dạng một căn thức $\sqrt{(ax)^2+bx+c}$
Phương trình này hầu như có nhân tử dạng $\left( \sqrt{(ax)^2+bx+c} -ax+p \right)$ hoặc $\left( \sqrt{(ax)^2+bx+c} +ax+q \right)$

g) Phương trình dạng nhiều căn thức chứa $\sqrt{(ax)^2+bx+c}$ và $\sqrt{(mx)^2+nx+p}$
Phương trình này hầu như có nhân tử dạng $\left(m \sqrt{(ax)^2+bx+c} - a \sqrt{(mx)^2+nx+p}+u \right)$ hoặc $\left(m \sqrt{(ax)^2+bx+c} + a \sqrt{(mx)^2+nx+p}+v \right)$

h) Các dạng còn lại : Phương trình có bậc trong căn lớn hơn bậc hạng tử không chứa căn. Vì bậc của nó bé nên khử căn thức hoặc nhân liên hợp là phương pháp được ưu tiên.
Ngoài ra, chúng ta có thể dùng đạo hàm hoặc đánh giá để chứng minh.
Sau khi đi qua về các trường hợp nghiệm thì một vấn đề đau đầu nữa mà chúng ta có thể mắc phải đó là chứng minh phần còn lại (sau khi phân tích nhân tử) vô nghiệm.
Bạn đọc có thể tham khảo cách sử dụng S.O.S của tôi để giải quyết nó.

Ví dụ 1 : Giải phương trình $$3-{{x}^{3}}+\left( {{x}^{3}}-2x-1 \right) \sqrt{2-{{x}^{2}}}=0$$
Lời giải của tôi vô cùng ngắn gọn như sau :
Ta có :$$\begin{matrix} PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}+x-2 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right)=0 \\ \end{matrix}$$
Ta luôn có : $$\begin{matrix} {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}}= \\ -\dfrac{1}{3}\left( \left( 3x+5+3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right){{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{x}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{3}{{\left( x-\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{13}{36} \right)<0 \\ \end{matrix}$$
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Làm thế nào để tôi có được lời giải như trên ?
Ta kiếm cách chứng minh $$f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}}<0$$Đây là một bài toán siêu chặt nên điểm rơi của chúng ta phải lấy gần đúng nhất có thể …
Bước 1 : Tìm điểm rơi $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1.3692...$
Bước 2 : Tìm nhân tử chứa điểm rơi :$$x=1.3692...\Rightarrow \sqrt{2-{{x}^{2}}}=0.3537...\Rightarrow \sqrt{2-{{x}^{2}}}\approx \dfrac{1}{3}\Rightarrow {{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}$$
Bước 3 : Chia biểu thức :$$g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}}}{{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}$$
Vào Mode 2, nhập biểu thức và CALC cho $x=1000$ ta được :$$\begin{matrix} & g\left( x \right)=-1001.66799-1000.33233I \\ & \Rightarrow 3g\left( x \right)=-3005.0039-3000.9969I \\ & \Rightarrow 3g\left( x \right)\approx -3x-5-3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \\ \end{matrix}$$
Bước 4 : Tìm dư : $$\begin{matrix} & 3\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right)+{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}\left( 3x+5+3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right) \\ & =\dfrac{10}{3}x-\dfrac{49}{9}+x\sqrt{2-{{x}^{2}}} \\ \end{matrix}$$
Bước 5 : Chứng minh $h\left( x \right)=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{49}{9}+x\sqrt{2-{{x}^{2}}}<0$. Cách làm gần tương tự như trên …

  • Bước 5.1 : Điểm rơi $x=1.3344...$
  • Bước 5.2 : Mối liên hệ giữa x và $\sqrt{2-{{x}^{2}}}$ là $\sqrt{2-{{x}^{2}}}=0.4683\approx \dfrac{x}{3}$
  • Bước 5.3 : Khử căn bằng BĐT cauchy hoặc S.O.S : $$\dfrac{10}{3}x-\dfrac{49}{9}+x\sqrt{2-{{x}^{2}}}+\dfrac{3}{2}{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{x}{3} \right)}^{2}}=-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+\dfrac{10}{3}x-\dfrac{22}{9}=-\dfrac{4}{3}{{\left( x-\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}-\dfrac{13}{36}<0$$

Đó chính là lý do vì sao tôi có lời giải S.O.S đẹp như vậy …
$$\begin{matrix} & -3\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right)= \\ & \left( 3x+5+3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right){{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\dfrac{x}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{3}{{\left( x-\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{13}{36} \\ \end{matrix}$$
Đây là cách làm tổng quát cho những bài toán siêu chặt, còn nếu bài toán “lỏng lẻo” hơn một tí thì có thể không cần phải lấy gần đúng …
Ví dụ như ta lấy điểm rơi $x=1$ thì nhân tử nghiệm kép của nó là : $\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}+x-2 \right)$
Khi đó : $$\begin{matrix} & {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-4+\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}} \\ & =\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}+x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right)+3x-2-3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \\ & =\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}+x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-1-3\sqrt{2-{{x}^{2}}} \right)+2\left( 2x-3 \right)\sqrt{2-{{x}^{2}}} \\ \end{matrix}$$
Tiếc là nó không phải lúc nào cũng âm vì bài toán này quá chặt.
Còn với những bài lỏng hơn như thì chúng ta làm như sau :

Ví dụ 2 : Giải phương trình : $3{{x}^{3}}+6x-1+\left( 8x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=0$
Ta có : $$PT \Leftrightarrow -\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-2x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+x+3+\left( x+4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$$
Do đó, ta cần chứng minh $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+x+3+\left( x+4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}>0$
Ta tìm điểm rơi bằng cách lấy đạo hàm, ta được ${{x}_{0}}=-0.2675918...$
Ta cần lấy $f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x+a \right)}^{2}}}{2}$ để mất căn
Thế điểm rơi vào, ta được $a\approx -\text{0}\text{.76759187}\Rightarrow a=-1$
Tóm lại ta được $f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x-1 \right)}^{2}}}{2}={{x}^{2}}+2x+2+5\sqrt{{{x}^{2}}+1}>0$

Ví dụ 3 : Giải phương trình : ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10x-19+\left( {{x}^{3}}-7x+13 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}=0$
Ta có : $$PT \Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-1}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+7+\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x-1} \right)$$
Do đó, ta cần chứng minh $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+7+\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}>0$
Ta tìm điểm rơi bằng cách lấy đạo hàm, ta được ${{x}_{0}}=1.0845346...$
Ta cần lấy $f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+x+a \right)}^{2}}}{2}$ để mất căn
Thế điểm rơi vào, ta được $a\approx -\text{2}\text{.207366}...\Rightarrow a=-2$
Tóm lại ta được $f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+x-2 \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{11-x}{2}$
Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa giải quyết được nó. Lấy điểm rơi chặt hơn với $a=-\dfrac{5}{2}$ ta được : $$f\left( x \right)-\dfrac{1}{2}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{35}{8}+\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}}{2}>0$$

Ví dụ 4 : Giải phương trình ${{x}^{2}}-6x+\dfrac{37}{3}+\left( x-4 \right)\sqrt{x+1}=0$
Ngoài cách làm như trên, chúng ta cũng có thể viết nó dưới dạng tổng các bình phương bằng cách đặ $t=\sqrt{x+1}$, viết phương trình theo $t$ và đưa về phương trình bậc 4. Cách phân tích phương trình bậc 4 thành các tổng bình phương S.O.S tôi cũng đã giới thiệu qua rồi.
Kết luận : $${{x}^{2}}-6x+\dfrac{37}{3}+\left( x-4 \right)\sqrt{x+1}={{\left( x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{2}-\dfrac{16}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{20}{{\left( \sqrt{x+1}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{47}{75}>0$$
Vẫn còn rất nhiều vấn đề để nói về phương pháp này. Nhưng có lẽ tôi không thể trình bày hết được trong topic này. Ví dụ như :

Ví dụ 5 : Giải phương trình $\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=x\left( {{x}^{2}}+3x+3+4\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+1$
Cách 1 : $$\begin{matrix} PT \Leftrightarrow \dfrac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}-2\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{3x-1} \left( 2{{\left( x+1 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}+2\sqrt{{{x}^{2}}+1}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}+7{{x}^{2}}-4x+5 \right)=0 \\ \end{matrix}$$
Cách 2 : $$\begin{matrix} PT \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x-1 \right) \\ & \left( U\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}+V\sqrt{{{x}^{2}}+1}+T\sqrt{{{x}^{2}}+1}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}+W \right)=0 \\ \end{matrix}$$
Với $$\left\{ \begin{matrix} U={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2 \\ V={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-6 \\ T=-{{x}^{2}}+x-2 \\ W=-{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x-2 \\ \end{matrix} \right.$$

Hy vọng trong bài post này, bạn đọc có thể sử dụng chiếc máy tính bỏ túi của mình để giải quyết những bài toán liên quan đến phân tích thành nhân tử. 
Chuyên đề được viết trong 11 giờ (từ 18h đến 5h) nên không khỏi những sai sót.
Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ tới SĐT : 096.573.48.93 hoặc Facebook : Bùi Thế Việt.
Dưới đây là một số bài tập tự luyện để bạn đọc tham khảo.



#638774 Cuộc thi TOÁN MÔ HÌNH 2016

Đã gửi bởi nthoangcute on 07-06-2016 - 19:50 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác

Lịch trình thi Ngày 1 (24/6/2016)


8h45: Đăng ký
9h00: Lễ Khai mạc
10h30: Buổi huấn luyện
12h00: Ăn trưa
13h00: Buổi huấn luyện (tiếp tục)
17h00: Ăn tối
18h00: Hoạt động nhóm
19h00: Huấn luyện về kỹ năng thuyết trình
20h00: Kết thúc ngày 1

 

Các bạn hãy nhanh tay đăng ký tham dự để có một trải nghiệm vô cùng thú vị trong mùa hè này nhé.

 

Link đăng kí: https://goo.gl/6GNLKB

Hạn đăng kí: 24h-Thứ 6 (10/6) 

--------------------------------------------------
Cuộc thi Toán Mô hình 2016 
Thời gian: 24 - 26/ 6 /2016
Địa điểm: Nhà Văn hoá học sinh sinh viên, Ký túc xá Mễ Trì, 182 Lương Thế Vinh, Thanh Xuân, Hà Nội. 
Tổng giải thưởng lên đến 21 triệu đồng
LINK ĐĂNG KÍ : https://goo.gl/6GNLKB
LINK XIN HỖ TRỢ TÀI CHÍNH VÀ Ở KÍ TÚC XÁ: https://goo.gl/j9mXEh
HẠN ĐĂNG KÍ: 10/6/2016
Xem thông tin chi tiết về cuộc thi: https://goo.gl/pQhvS7
Email: [email protected]
Số điện thoại: 0972103846 (Phương Anh – Phó Ban Tổ chức)
Fanpage: https://www.facebook...oanmohinh.hanoi

 

13240625_630358197116997_249206334298387




#636130 MỘT TÂM HỒN ĐẸP (A BEAUTIFUL MIND 2001)

Đã gửi bởi nthoangcute on 28-05-2016 - 00:00 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác

MỘT TÂM HỒN ĐẸP (A BEAUTIFUL MIND 2001)

 

Nguồn: https://www.facebook...oanmohinh.hanoi

 

 

Một tâm hồn đẹp là một bộ phim tiểu sử năm 2001 của Mỹ kể về cuộc đời của nhà kinh tế học John Nash, người từng đạt giải Nobel. Câu chuyện bắt đầu với những năm đầu đời của một thần đồng trẻ tuổi tên John Nash. Tuy nhiên anh sớm bị mắc căn bệnh tâm thần phân liệt hoang tưởng và buộc phải đấu tranh với nó trong sự gánh nặng đầy đau đớn, chịu đựng của người vợ Alicia và bạn bè.

 

Bộ phim đã thắng 4 giải Oscar, bao gồm Phim hay nhất, Đạo diễn xuất sắc nhất, Kịch bản chuyển thể xuất sắc nhất và Nữ diễn viên phụ xuất sắc nhất. Diễn viên Russell Crowe cũng nhận được đề cử Nam diễn viên chính xuất sắc nhất.

 

 

13217349_623956574423826_536900517274289

 

A Beautiful Mind về cơ bản dựa trên những tình tiết, những giai thoại thú vị xoay quanh cuộc đời dị biệt của nhà bác học John Nash. Bộ phim mở đầu bằng việc đưa chúng ta đến với một ngôi trường đại học với những sinh viên ưu tú, những giáo sư tâm huyết của một nền giáo dục đỉnh cao nước Mỹ. Đó là nơi John Nash đã học tập và làm việc trong gần như cả đời mình, cũng là nơi ông gặp Alicia - người phụ nữ đứng sau tất cả những vinh quang và bất hạnh của ông sau này.

 

Phim dẫn dắt người xem đi đến cùng của câu chuyện bằng một lối kể và dựng khéo léo, đầy kịch tính. Cùng một lúc, có hai thế giới song hành bên John Nash từ một điểm nhìn hết sức khách quan, chân thực. Thế giới thứ nhất là thế giới của Alicia - người vợ thân yêu, cùng những đồng nghiệp, những sinh viên và các giờ lên lớp. Thế giới thứ hai là thế giới của những điệp viên áo đen, những nhiệm vụ mật và người bạn cùng phòng thời đi học. Người xem sẽ khó có thể nhận biết được đâu là thật, đâu là ảo ảnh khi dõi theo John Nash trong suốt nửa đầu bộ phim.

 

13263760_623957011090449_539744172903128

 

 

Từ câu chuyện của một con người phi thường cụ thể, A Beautiful Mind gợi mở chúng ta đến những bi kịch chung của tất cả mọi người. Là một chàng sinh viên lập dị, không có khả năng giao tiếp với mọi người theo một cách bình thường, John Nash tự tạo ra cho mình một thế giới với những người bạn tưởng tượng. Anh sống một nửa cuộc đời mình ở đó với những nhiệm vụ bí mật, những sứ mệnh huyễn hoặc lớn lao. Đó là thế giới của những con số, những mật mã sau bóng đêm. Trong khi thế giới còn lại tràn ngập ánh sáng và tình yêu với Alicia mà anh từng suýt nữa đánh mất.

 

John Nash cả đời dằn vặt giữa hai thế giới ấy cũng như ai trong chúng ta cũng từng dằn vặt giữa đam mê của bản thân và cuộc sống bình thường giữa mọi người. John Nash đã tưởng có thể chung sống cả đời với những con số, giam mình trong những căn phòng, đọc sách, nghiên cứu, chứng minh cho đến khi anh gặp Alicia. Đã có lúc căn bệnh tâm thần phân liệt dồn anh vào bức đường cùng, phải chối bỏ một phần con người này để cứu lấy một phần con người kia. Nhưng sau cùng, nghị lực và lòng quyết tâm giúp John Nash vượt qua tất cả những mâu thuẫn, xung đột ấy, để sống cùng những ảo ảnh một cách thanh thản đến cuối đời.

 

13239893_623957154423768_602859004701353

 

 

Bên cạnh những chi tiết dựa trên cuộc đời thật của nhà bác học John Nash - người gần gũi những con số hơn con người, “có hai bộ não nhưng chỉ có nửa trái tim”, bộ phim còn gây xúc động bởi những tình tiết đầy nhân văn khác. Có thể kể đến là cảnh một ông bố bị tê liệt cả suy nghĩ lẫn hành động, ngồi hờ hững ôm đứa con đang gào khóc trong tay, là cảnh Alicia sau khi bỏ đi đã quyết định quay lại để chỉ cho John Nash, trong rất nhiều ảo ảnh của cuộc đời, có một điều chắc chắn có thật, là tình yêu. Hay như cách John Nash phân tích tình huống khi một cô gái xinh đẹp bước vào quán bar và tất cả mọi người đều muốn tiến về phía cô, để tìm ra nguyên tắc về điểm cân bằng cũng là một sáng tạo thú vị của đạo diễn.

 

Tìm hiểu thêm về nhà Toán Học John Nash

John Forbes Nash Jr. (13 tháng 6 năm 1928 – 23 tháng 5 năm 2015) là một nhà toán học người Mỹ với chuyên ngành lý thuyết trò chơi và hình học vi phân. Các học thuyết của ông được sử dụng trong kinh tế, điện toán, trí tuệ nhân tạo, sinh học tiến hóa, kế toán và chính trị. Năm 1994, ông nhận được giải thưởng Nobel về kinh tế cùng với hai nhà lý thuyết trò chơi khác, Reinhard Selten và John Harsanyi.

 

Nhân vật chính của A Beautiful Mind được lấy nguyên mẫu từ nhà bác học nổi tiếng người Mỹ - John Nash. Ông được coi là một trong những nhà kinh tế học có ảnh hưởng nhất thế kỷ 20 với những cống hiến to lớn trong nhiều lĩnh vực: kinh tế thị trường, sinh học tiến hóa, trí tuệ nhân tạo… “Nguyên lý trò chơi” ông từng đề xuất trong bản luận án tiến sĩ vẻn vẹn 28 trang khi ông 22 tuổi đã khiến cả thế giới kinh ngạc. Đó cũng là cống hiến quan trọng nhất khiến John Nash giành đề cử và cuối cùng được vinh danh ở giải thưởng danh giá Nobel năm 1994.

 

13233162_623957387757078_594094254507128

 

Vợ chồng John Nash lúc mới cưới

 

Mặc dù được cả thế giới ngưỡng mộ với trí tuệ siêu phàm, trong cuộc sống đời tư, John Nash lại là một người bất hạnh. Ông mắc chứng tâm thần phân liệt dẫn đến gia đình nhiều lần tan tác, chia ly. Cả đời ông chìm trong những con số, những công thức toán học và mắc chứng hoang tưởng nặng. Sinh viên trong trường Princeton thường nhắc đến hình ảnh một vị giáo sư già vẫn hay lang thang trong sân trường cười nói một mình, thỉnh thoảng dừng lại hà hơi lên cửa kính và cắm cúi viết những con số, những công thức toán học.

 

13239240_623957604423723_349942828735741

 

Nhà toán học John Nash và vợ - bà Alicia Nash tham dự lễ trao giải Oscar hồi năm 2002.

 

Vợ ông - bà Alicia Lopez-Harrison dé Lardé từng ba lần ký vào đơn ly dị vì không chịu nổi cuộc sống với một người chồng bất thường như thế. Nhưng cuối cùng, nghị lực và tình thương yêu, bao dung của gia đình và xã hội đã đưa John Nash trở về với cuộc sống. Chứng tâm thần phân liệt của ông dần thuyên giảm một cách đáng kinh ngạc vào những năm cuối đời. Nhiều người cho rằng, đó là nhờ liều thuốc vĩ đại của tình yêu.

 

Anh đến đây vì em tối nay. Em là lý do để anh tồn tại. Em là lẽ phải của cuộc đời anh”. Đó là lời kết đầy ngắn gọn và súc tích của nhà bác học vĩ đại John Nash dành cho vợ mình trong buổi lễ trao giải Nobel năm 1994. Trong giây phút tỏa sáng ấy, giáo sư John Nash tìm ra câu trả lời cho phương trình vĩ đại nhất trong cuộc đời mình - phương trình của tình yêu.

 

A Beautiful Mind là bộ phim về một tâm hồn đẹp, một trí tuệ đẹp mà hẳn chúng ta sẽ muốn xem lại nhiều lần trong đời. Đó cũng là cách để tưởng nhớ đến nhà bác học vĩ đại John Nash - người đã chiến đấu đến cùng để giải những phương trình toán học, tìm ra những chân lý bất biến của cuộc sống - bằng tình yêu.

 

Phạm Đức Dũng

 

 




#635659 Cuộc thi TOÁN MÔ HÌNH 2016

Đã gửi bởi nthoangcute on 26-05-2016 - 09:58 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác

CUỘC THI 
"TOÁN MÔ HÌNH 2016" 
 
:like   MỤC ĐÍCH: Nhằm giới thiệu khả năng ứng dụng cao của Toán trong đời sống, giới thiệu Toán Mô hình tới học sinh THPT trên địa bàn cả nước, qua đó tạo cho các thí sinh một tư duy mở và cách suy nghĩ mới khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống và nuôi dưỡng sự đam mê Toán học cho các em. 
 
:like   CƠ QUAN TỔ CHỨC:
- Hội Toán học Việt Nam (VMS) 
- Vườn Ươm Tài Năng (TALINPA) 
- Cộng đồng Toán học cho học sinh Việt Nam (VSMC). 
 
:like   ĐỊA ĐIỂM:  Nhà Văn hóa Học sinh, sinh viên 
            Kí túc xá Mễ Trì – 182 Lương Thế Vinh
            Thanh Xuân – Hà Nội
 
:like   THỜI GIAN: 24-26/6/2016
 
:like   GIẢI THƯỞNG: (Chưa bao gồm học bổng cùng các phần quà khác từ nhà tài trợ)
01 Giải Nhất 5,000,000
02 Giải Nhì 3,000,000 
03 Giải Ba  2,000,000
04 Giải Khuyến Khích 1,000,000
 
:like   THỂ LỆ:
1. Đối tượng dự thi: 
- Học sinh lớp 10 và 11 (sinh năm 2000 và 1999) đến từ các trường THPT trên địa bàn cả nước. 
- Mỗi đội 4 thành viên. Tối đa 40 đội.
- Các thí sinh đăng kí theo đội 4 người hoặc đăng kí cá nhân (với các thí sinh đăng ký cá nhân, BTC sẽ tiến hành xếp đội)
 
2. 3 vòng thi: Tập huấn, Thi viết, Thuyết trình 
 
3. Lệ phí dự thi: 200.000 VNĐ/thí sinh 
Hình thức thanh toán:
a, Qua Ngân hàng: 
- Số tài khoản: 0021000361010
 - Chủ tài khoản: Hội Toán học Việt Nam
 - Ngân hàng: Vietcombank Chi nhánh Hà Nội
 - Lệ phí thi: 200.000VNĐ/thí sinh
 - Nội dung chuyển khoản: Toán mô hình 2016_tên trường + tỉnh_ tên đội thi(hoặc đội trưởng)
b, Thanh toán trực tiếp: Ban Tổ chức sẽ liên lạc địa điểm và thời gian với bạn trong thời gian sớm nhất có thể.
 
LƯU Ý: BTC có kế hoạch hỗ trợ tài chính cho các đội thi và hỗ trợ 30 chỗ ở Kí túc xá cho các đội ở xa. Để nhận được sự hỗ trợ này, các đội thi vui lòng hoàn thành đơn Xin hỗ trợ và gửi ảnh về mail cho BTC [email protected]
Link đơn hỗ trợ: https://goo.gl/j9mXEh
 
:like   NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH
- Ngày thứ nhất: Khai mạc và Buổi Huấn luyện 1 về Toán Mô hình
- Ngày thứ hai: Thí sinh làm bài thi (6 tiếng), Tham gia hoạt động nhóm và Buổi Huấn luyện 2 về Kĩ năng thuyết trình
- Ngày thứ ba: Thi thuyết trình, Trao giải và Bế mạc  
 
:like   LINK ĐĂNG KÍ : https://goo.gl/6GNLKB
:like   HẠN ĐĂNG KÍ: 10/6/2016
 
:like   THÔNG TIN LIÊN HỆ: 
Event cuộc thi: https://goo.gl/pQhvS7
Số điện thoại: 0972103846 (Phương Anh – Phó Ban Tổ chức)
 
13254301_622844857868331_245267457335129



#627076 Chứng minh rằng $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2...

Đã gửi bởi nthoangcute on 14-04-2016 - 15:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

http://diendantoanho...b-cc2ac-ageq-0/




#625243 Kết quả TST 2016

Đã gửi bởi nthoangcute on 05-04-2016 - 22:13 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

VN quy định lớp 10 ko được thi IMO.

thầy Nguyễn Tiến Dũng hình như lớp 10 đạt HCV IMO mà..




#624956 Dãy 11,21,31.... có vô số số nguyên tố

Đã gửi bởi nthoangcute on 04-04-2016 - 23:00 trong Số học

tồn tại vô hạn số nguyên tố hay vô hạn ước nguyên tố cơ. Vì mình từng làm một bài là chứng minh dãy a, a+d, a+2d,..., a+nd tồn tại vô hạn ước nguyên tố. Chứ dãy trên vô hạn số nguyên tố mình thấy hơi sai sai...

à đây, nếu vô hạn ước nguyên tố thì dùng euler, còn bài bạn: 

https://en.wikipedia...ic_progressions




#624953 Dãy 11,21,31.... có vô số số nguyên tố

Đã gửi bởi nthoangcute on 04-04-2016 - 22:53 trong Số học

tồn tại vô hạn số nguyên tố hay vô hạn ước nguyên tố cơ. Vì mình từng làm một bài là chứng minh dãy a, a+d, a+2d,..., a+nd tồn tại vô hạn ước nguyên tố. Chứ dãy trên vô hạn số nguyên tố mình thấy hơi sai sai...




#565032 $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1...

Đã gửi bởi nthoangcute on 11-06-2015 - 21:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1 :
Sử dụng Định Lý Đi Dép Lê ta giả sử $x=ab\geq 1$. Suy ra $c^2\leq \frac{(3-x)^2}{4x}$
Vậy $$VP \geq \dfrac{2}{1+x}+\dfrac{1}{1+ \frac{(3-x)^2}{4x}} = \frac{3(3-x)(x-1)^2}{2(x+1)(x^2-2x+9)}+\frac{3}{2} \geq \frac{3}{2} $$
Q.E.D



#538377 Thủ thuật giải toán bằng CASIO

Đã gửi bởi nthoangcute on 17-12-2014 - 18:30 trong Kinh nghiệm học toán

Vì không EDIT được topic này nữa nên nhiều thủ thuật không được viết thêm !
Vì những thủ thuật được áp dụng cho thi đại học và tuyển sinh THPT nên việc giải Phương Trình bậc 4 có nghiệm dưới dạng căn trong căn là không cần thiết !
Tuy nhiên, không phải là không có cách giải !!!

VD1 : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\ 
CD=18,486832
\end{matrix}\right.

 
 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\ 
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !
P/s: Tham khảo cách dài ở đây : http://diendantoanho...-bằng-máy-tính/
Tuy nhiên, nếu PT có 4 nghiệm thì sao ?
VD2 : $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$
Bước 1 : Giải PT có 4 nghiệm $A=2,333977; B=-1,0385319; C=3,4527454; D=-2,7481905$
Bước 2 : Thành thử : $AB+CD;AC+BD;AD+BC$ xem cái nào chẵn ...
$$\left\{\begin{matrix}
AB+CD=-11,9127122\\
AC+BD=10,9127122\\
AD+BC=-10
\end{matrix}\right.$$
Vậy ta có $$x^4-2x^3-11x^2+14x+23=(x^2-(A+D)x+AD)(x^2-(B+C)x+BC)$$
Rồi làm tương tự VD1 ta có :
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=2\\ 
(A+D)(B+C)=-1\\
AD+BC=-10\\
ABCD=23
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+D=1-\sqrt{2}\\ 
B+C=1+\sqrt{2}\\
AD=-5-\sqrt{2}\\
BC=-5+\sqrt{2}
\end{matrix}\right. $$
Suy ra OK !

Một số thủ thuật khác tuy không được hay nhưng khá ảo ...
VD: Tính tích phân, nguyên hàm : $$\int \dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2} dx$$
[klq nhưng hôm nay ngày 17/12/2014]
Lời giải vô cùng ngắn gọn :
$$\dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2}
=\dfrac{43}{16(x-1)^3}-\dfrac{33}{8(x-1)^2}+\dfrac{265}{64(x-1)}+\dfrac{15}{32(x+1)^2}-\dfrac{21}{64(x+1)}+\dfrac{19x^2-9x}{8(x^2+1)^2}-\dfrac{51+61x}{16(x^2+1)}$$
Vì đề thi ĐH chẳng bao giờ cho khó thế này nên mình cũng chẳng dại gì up lên ...
Nhưng khá hay đó ! Thủ thuật này có thể không cần nháp một tẹo nào cũng có thể viết được trực tiếp đáp án lên giấy biểu thức kia ...



#538374 Cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn bằng máy tính

Đã gửi bởi nthoangcute on 17-12-2014 - 18:07 trong Giải toán bằng máy tính bỏ túi

Nối tiếp cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính khá phổ biến : http://diendantoanho...-bằng-may-tinh/ , trong bài viết này mình sẽ đưa ra cho các bạn cách giải phương trình bậc 4 có nghiệm căn trong căn

Nói 1 cách nôm na là khi giải phương trình bậc 4 bằng cách dùng máy tính , bạn đã thử tổng , tích rồi mà vẫn không ra số đẹp thì hãy thử làm theo cách này !
Yêu cầu : cần nắm được sơ bộ thủ thuật 1 trong bài viết : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

VD1 : Giải phương trình : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$

Kết quả : $(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})=0$

Câu hỏi : Làm sao để có đươc kết quả " đẹp " như vậy , chúng ta cùng làm theo những bước sau :

Bước 1 : Viết phương trình lên máy tính bỏ túi rồi SHIFT SOLVE cho $X = 0$ , ta được: $X=-0,234888729\rightarrow$ SHIFT STO A

Bước 2 : Viết lên máy tính bỏ túi : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x-A}=0$ , Shift Solve cho $X = 0$ ta được : $X=2,072611069\rightarrow$ SHIFT STO B
Tiếp theo , viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{(x-A)(x-B)}=0$ , Shift Solve cho $X =0$ thì máy báo " Can't solve " , nghĩa là phương trình ban đầu chỉ có 2 nghiệm là A và B
Thử $A+B,AB$ ta được $A+B=1,83772234$ , $AB=-0,4868329805$ ??

Giờ tính sao .....
_________________________________________________________

Một ý tưởng táo bạo đã chợt đến với mình khi làm đến đây !

Bước 3 :
Viết lên màn hình : $x^2-(A+B)x+AB$ rồi CALC cho $x=1000$ , ta được : $998161,7908 \rightarrow$ SHIFT STO E

Bước 4 : đây là bước quan trọng nhất , không có bước này thì coi như bước 3 bỏ đi

Viết lên màn hình : $\frac{x^4-10x^3+33x^2-30x-9}{x^2-(A+B)x+AB}$ , CALC cho $x=1000$ ,
ta được : $991856,2092\rightarrow$ SHIFT STO F
________________________________________________________________________
Đến đây chắc hẳn nhiều bạn đã hiểu được ý tưởng của mình ...
Tuy nhiên thay vì tính $E+F$ , $EF$ ta sẽ làm như sau :
Tính : $\frac{E+F}{2}=995009$
$\frac{(E-F)^2}{4}=9940090$
Do $E>F$ nên : $E=\frac{E+F}{2}+\sqrt{\frac{(E-F)^2}{4}}$
$=995009+\sqrt{9940090}$
Tương tự : $F=995009-\sqrt{9940090}$
_________________________________________________________

Từ đây :
$E=995009+\sqrt{9940090}=x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90}$
$F=995009-\sqrt{9940090}=x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90}$
Suy ra : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
* Nếu bạn chưa hiểu được cách làm trên thì cần đọc lại phần Yêu cầu !

Vậy $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=(x^2-5x+9+\sqrt{10x^2-60x+90})(x^2-5x+9-\sqrt{10x^2-60x+90})$
$=(x^2-5x+9+\sqrt{10(x-3)^2})(x^2-5x+9-\sqrt{10(x-3)^2})$
$=(x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10})(x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10})$
Thế là xong rồi đó !

Dưới đây là bài tập cho các bạn thực hành :
Giải các phương trình sau :
$\Delta 1 : x^4-2x^3+x^2+2x-1=0$
$\Delta 2 : x^4-2x^3+x-1=0$
From : 10 Tin K47 CSP

 
Bạn này làm có vẻ dài ...
VD: $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\ 
CD=18,486832
\end{matrix}\right.

 
 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\ 
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !



#523065 Tính tích phân: $I=\int\limits_{2}^{3}...

Đã gửi bởi nthoangcute on 06-09-2014 - 10:12 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{2}^{3}\dfrac{x^3+3x}{x^4-5x^2+6}dx$$

Dùng CASIO ta được :
$$\dfrac{x^3+3x}{x^4-5x^2+6}=-\dfrac{5x}{x^2-2}+\dfrac{6x}{x^2-3}$$




#523064 Tính $\int_{0}^{1}\frac{t^4-t^2}...

Đã gửi bởi nthoangcute on 06-09-2014 - 10:08 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính:

$\int_{0}^{1}\frac{t^4-t^2}{(t^2+1)^3}$

Dùng CASIO ta được :
$$\frac{t^4-t^2}{(t^2+1)^3}=\dfrac{2}{(t^2+1)^3}-\dfrac{3}{(t^2+1)^2}+\dfrac{1}{t^2+1}$$




#523063 $\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-9...

Đã gửi bởi nthoangcute on 06-09-2014 - 10:05 trong Tích phân - Nguyên hàm

$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-9)(x^{2}-4)}dx$

Dùng CASIO ta được :
$$ \frac{x^{2}}{(x^{2}-9)(x^{2}-4)}=\dfrac{3}{10(x-3)}-\dfrac{3}{10(x+3)}-\dfrac{1}{5(x-2)}+\dfrac{1}{5(x+2)}$$




#523062 $\int_{1}^{2}\frac{x^{2}-1...

Đã gửi bởi nthoangcute on 06-09-2014 - 09:58 trong Tích phân - Nguyên hàm

$\int_{1}^{2}\frac{x^{2}-1}{(x^{2}-x+1)(x^{2}+3x+1)}dx$

Dùng CASIO ta được :
$$\frac{x^{2}-1}{(x^{2}-x+1)(x^{2}+3x+1)}=\dfrac{\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}}{x^2-x+1}-\dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{4}}{x^2+3x+1}$$

Suy ra ...




#523061 tinh tich phan $\int_{1}^{4}\frac{1...

Đã gửi bởi nthoangcute on 06-09-2014 - 09:51 trong Tích phân - Nguyên hàm

$\int_{1}^{4}\frac{1}{(x+1)^{3}x^{2}}dx$ 

Dùng CASIO ta được :
$$\frac{1}{(x+1)^{3}x^{2}}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{(x+1)^3}+\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{3}{x+1}$$
Suy ra ...




#505494 Đề thi tuyển sinh khối 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT

Đã gửi bởi nthoangcute on 10-06-2014 - 13:37 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU

_________________

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

ĐỀ THÌ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN (dùng chung cho tất cả thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày thi: 9 tháng 6 năm 2014

 

 
Câu 1 (2,5 điểm).
1) Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{2\sqrt{7}-\sqrt{14}}{2-\sqrt{2}}-\sqrt{28}+\sqrt{7}-\sqrt{5}$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x+2y=13\\  2x+3y=12 \end{matrix}\right.$
3) Giải phương trình $x^2-5x+6=0$
Câu 2 (2,0 điểm). Cho parabol (P) : $y=-\dfrac{1}{2} x^2$
1) Vẽ parabol (P).
2) Chứng minh rằng: Nếu đường thẳng (D): $y=-x+m$ đi qua điểm $A(-4;8)$ thì $(D)$ và $(P)$ không có điểm chung
Câu 3 (1,5 điểm).
1) Cho phương trình $x^2+mx-m-1=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=8$

2) Giải phương trình: $x^2+2\sqrt{x^2+1}=2$

 

Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm M cố định thuộc đường tròn (M khác A và B). D là điểm di động trên đoạn thẳng AM (D khác A và M). Đường thẳng BD cắt (O) tại K (K khác B). Hai đường thẳng AK và BM cắt nhau tại C.
1) Chứng minh tứ giác KCMD nội tiếp.
2) Kẻ $MH \perp AB$ tại H. Chứng minh $\dfrac{AM.BM}{HM}=\sqrt{AK^2+BK^2}$
3) Đường thẳng CD cắt AB tại I. Chứng minh $IC$ là phân giác của góc $MIK$.
4) Xác định vị trí của điểm D trên đoạn AM để tích DB.DK đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn $a+b+ab \leq 3$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a+b-3}-(a+b) \geq \dfrac{1}{4}(ab-3)$$
 
 
 

..................... HẾT .....................

Họ và tên thí sinh.....................

Số báo danh.....................

Chữ ký giám thị 1.....................

 




#505493 Đề thi tuyển sinh khối 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT

Đã gửi bởi nthoangcute on 10-06-2014 - 13:23 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
_________________
ĐỀ CHÍNH THỨC
 
ĐỀ THÌ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 10 tháng 6 năm 2014



Câu 1 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $A=\left(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\dfrac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ với $x>0; y>0; x \neq y$
b) Giải phương trình $x^2+4 \left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+3}\right)-8=0$
c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
xy-2x+y=6\\ 
(x+1)^2+(y-2)^2=8
\end{matrix}\right.$
Câu 2 (1,0 điểm)
Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta : y=kx-k+2$ ($k$ là tham số khác 2). Tìm $k$ sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\Delta$ lớn nhất
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $p=3n^3-7n^2+3n+6$ là một số nguyên tố.
b) Cho $a,b$ là hai số dương thay đổi và thoả mãn $\left(\sqrt{a}+2\right) \left(\sqrt{b}+2\right) \geq 9$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+2a^2}$
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho trước đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M vẽ đến (O) hai tiếp tuyến MA, MB (A,B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD thay đổi nhưng không đi qua O (C nằm giữa M và D). AB cắt OM tại E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại S.
a) Chứng minh $\Delta MEC$ đồng dạng với $\Delta MDO$.
b) Chứng minh $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{AC}{AD}$
c) Chứng minh điểm S nằm trên một đường thẳng cố định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có điện tích 2S (S>0). Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh AB ($M \neq A, M \neq S$). Gọi P là giao điểm của MC và BD, Q là giao điểm của MD và AC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho tứ giác CPQD có điện tích nhỏ nhất

..................... HẾT .....................
Họ và tên thí sinh.....................
Số báo danh.....................
Chữ ký giám thị 1.....................




#505489 Đề thi tuyển sinh khối 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn - BRVT

Đã gửi bởi nthoangcute on 10-06-2014 - 13:09 trong Tài liệu - Đề thi

Mờ quá em ơi !
Như này làm sao cho lên trang chủ được ...

Viết hộ anh cái đề câu I (toán chuyên)

Hình gửi kèm

  • 253624_575197639165430_709148661_n.png



#505363 Đề toán không chuyên phổ thông năng khiếu 2014

Đã gửi bởi nthoangcute on 09-06-2014 - 22:00 trong Tài liệu - Đề thi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH

_________________________
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

Năm học 2014 - 2015
Môn thi: Toán (không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

 
Bài 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình $(3-x)\sqrt{(3+x)(9+x^2)}=4\sqrt{5(3-x)}$
b) Tính $\dfrac{x}{y}$ biết $x>1,y<0$ và $\dfrac{(x+y)(x^3-y^3)\sqrt{\left(1-\sqrt{4x-1}\right)^2}}{\left(1-\sqrt{4x-1}\right)\left(x^2y^2+xy^3+y^4\right)}=-6$
Bài 2: (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\left(x^2-y+2\right)\left(\sqrt{(x^2+9)(y+7)}-15\right)=0\\ \sqrt{x^2+9}+\sqrt{y+7}=8\end{matrix}\right.$
b) Hình thoi ABCD có diện tích là $18\sqrt{3}$ (mét vuông), tam giác ABD đều. Tính chu vi hình thoi và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3: (2 điểm) Cho phương trình $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0\,(1)$
a) Giải phương trình $(1)$ khi $m=-1$.
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho
$21x_1+7m(2+x_2+x_2^2)=58$.
Bài 4: (1 điểm)
a) Gọi $x=\dfrac{a+b}{2},y=\sqrt{ab}$ lần lượt là trung bình cộng và trung bình nhân của 2 số dương $a$ và $b$. Biết trung bình cộng của $x$ và $y$ bằng 100. Tính $S=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
b) Giả sử hai đại lượng $x,y$ tỉ lệ nghịch ($x,y$ luôn dương). Nếu $x$ tăng a% thì $y$ giảm m%.
Tính $m$ theo a.
Bài 5: (3 điểm) Hình vuông ABCD có AB=2a, AC cắt BD tại I. Gọi T là đường tròn ngoại tiếp tam giác CID, BE tiếp xúc với T tại E (E khác C), DE cắt AB tại F.
a) Chứng minh tam giác ABE cân. Tính AF theo a.
b) BE cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ABP tiếp xúc với CD.
Tính $\dfrac{AP}{PD}$
c) AE cắt T tại M (M khác E). Tính AM theo a.
 

......................Hết......................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:...................... Số báo danh:......................




#505059 Tuyển Biên tập viên

Đã gửi bởi nthoangcute on 08-06-2014 - 20:38 trong Thông báo tổng quan

Tên: Bùi Thế Việt

Nick trên diễn đàn: nthoangcute

Năm sinh: 1997

Đang học: Lớp 12 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình
Thông tin liên lạc: Gmail - [email protected], Yahoo - [email protected]

Công việc: Trước em có đăng kí làm BTV rồi, có nhiều bài viết trên trang chủ. Nhiệm vụ chính của em là dịch latex từ file pdf, doc,... 
VD: Chuyên đề của anh Phạm Hùng Vương : http://diendantoanho...ệ-phương-trinh/

Vì vậy em muốn dịch latex để admin dễ dàng đưa bài viết lên trang chủ

Ghi chú: Thực ra là dạo này em lười quá, toàn chơi game thâu đêm (có hôm chơi đến 4h sáng). Mấy ngày nay em quyết định đi tập thể thao để bỏ game mà không được ! Nản quá nên em mới ngồi viết chuyên đề để quên đi game. Em viết được 14 trang rồi mà game vẫn cày thâu đêm... Do đó em quyết định làm cái gì đó cho hết thời gian chơi game.
Lúc trước là BTV soạn latex, có hôm em soạn đến 2h đêm nên nhiều BTV khác bảo em có phần mềm scan gì gì ấy ... Rồi họ soạn không kịp nên em cũng soạn hết hộ họ !
Rồi em bỏ không làm BTV vì phải 
viết chuyên đề cho sách "Phương Trình Vô Tỷ", tuy bị set làm member những vẫn vào được Nhóm Quản Lý (vậy là vui rồi)
Tóm lại là Admin làm thế nào đó cho em hết chơi game thì em cảm tạ vô cùng !!!




#503920 $I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$

Đã gửi bởi nthoangcute on 04-06-2014 - 10:29 trong Tích phân - Nguyên hàm

tính nguyên hàm
$I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$

Lời giải :
1. Đặt $t=x^2$ ta được $dt=2x dx$
Vậy $I=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{t^2-3}{t(t+1)(t^3-t^2+t+2)} dt$
2. Lưu ý rằng :
$ \dfrac{t^2-3}{t(t+1)(t^3-t^2+t+2)}=-\dfrac{3}{2 t}-\dfrac{2}{t+1}+\dfrac{7t^2-11t+17}{2(t^3-t^2+t+2)}$
Ta xét hàm $f(t)=t^3-t^2+t+2$
Ta có $f'(t)=3t^2-2t+1>0$ suy ra $f(t)$ đồng biến trên $(-\infty ,+\infty )$
Lại có $f(-1)f(0)<0$ nên $f(t)$ có nghiệm duy nhất thuộc $(-1,0)$
Gọi $k$ là nghiệm đó, ta có :
$t^3-t^2+t+2=(t^2+(k-1)t+k^2-k+1)(t-k)+k^3-k^2+k+2=(t^2+(k-1)t+k^2-k+1)(t-k)$
3. Lưu ý tiếp :
$\dfrac{7t^2-11t+17}{t^3-t^2+t+2}=\dfrac{a}{t-k}+\dfrac{b t+c}{t^2+(k-1)t+k^2-k+1}$
Với $a=\dfrac{7k^2-11k+17}{3k^2-2k+1}$ và $b=\dfrac{14k^2-3k-10}{3k^2-2k+1}$ và $c=\dfrac{-11k^2-23k-8}{3k^2-2k+1}$
Vậy tóm lại ta được :
$2I=-\dfrac{3}{2} \int \dfrac{dt}{t}-2 \int \dfrac{dt}{t+1}+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{adt}{t-k}+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{bt+c}{t^2+(k-1)t+k^2-k+1} dt \\=-\dfrac{3}{2} \ln t-2 \ln (t+1) + \dfrac{a}{2} \ln (t-k)+\dfrac{1}{2}J$
Với $J=\int \dfrac{bt+c}{t^2+(k-1)t+k^2-k+1} dt=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{b(2t+k-1)}{t^2+(k-1)t+k^2-k+1} dt \\ - \dfrac{1}{2}\int \dfrac{b k-b-2c}{(t+\dfrac{k-1}{2})^2+\dfrac{3k^2-2k+3}{4}} dt=E-F$
Với $E=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{b(2t+k-1)}{t^2+(k-1)t+k^2-k+1} dt=\dfrac{1}{2}b \ln (t^2+(k-1)t+k^2-k+1)+C$
và $F= \dfrac{1}{2}\int \dfrac{b k-b-2c}{(t+\dfrac{k-1}{2})^2+\dfrac{3k^2-2k+3}{4}} dt=\dfrac{bk-b-2c}{\sqrt{3k^2-2k+3}} \arctan \dfrac{2t+k-1}{\sqrt{3k^2-2k+3}}+C$
(vì $t^2+(k-1)t+k^2-k+1>0$)
4. Tìm $k$
Ta có : $k^3-k^2+k+2=0$
Đặt $k=u+v+\dfrac{1}{3}$ ta được :
$u^3+v^3+(u+v)(3uv+\dfrac{2}{3})+\dfrac{61}{27}=0$
Chọn $u^3+v^3=-\dfrac{61}{27}$ và $uv=\dfrac{-2}{9}$ ta được :
$k=-\dfrac{\sqrt[3]{244+12\sqrt{417}}}{6}+\dfrac{4}{3 \sqrt[3]{244+12\sqrt{417}}}+\dfrac{1}{3}$

5. Kết luận :
$I=-\dfrac{3}{4} \ln x^2-\ln(x^2+1)+\dfrac{a}{4} \ln(x^2-k)+\dfrac{1}{4} b \ln (x^4+(k-1)x^2+k^2-k+1) - \dfrac{1}{2} \dfrac{bk-b-2c}{\sqrt{3k^2-2k+3}} \arctan \dfrac{2x^2+k-1}{\sqrt{3k^2-2k+3}}+C $




#503911 $I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$

Đã gửi bởi nthoangcute on 04-06-2014 - 09:57 trong Tích phân - Nguyên hàm

Bài này tuy nghiệm "xấu" nhưng vẫn có thể "làm đến cùng" !

Đặt $t=x^2\Rightarrow I=\int \frac{t^2-3}{2t\left ( t+1 \right )\left ( t^3-t^2+t+2 \right )}dt$

Đặt $\frac{t^2-3}{2t\left ( t+1 \right )\left ( t^3-t^2+t+2 \right )}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct^2+Dt+E}{t^3-t^2+t+2}$

...

 

Hình như đáp án của anh sai rồi ...
Để em thử tính ra đáp án của em xem sao ...