Đến nội dung

Crystal nội dung

Có 72 mục bởi Crystal (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#664215 Tìm $limu_{n}$

Đã gửi bởi Crystal on 08-12-2016 - 22:07 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $u_{1} = 1993, u_{n+1} = \frac{u_{n}^2 + 6}{2u_{n} + 1}$. Tìm $limu_{n}$

 

 

 

 

 

Psss : không biết có chứng minh được $u_{n} \geq 2$ không nhỉ ? Mắc mãi chỗ đó @@

Hi bạn,

 

Dạng bài này bạn có thể tham khảo thêm tại topic này.

 

Cho dãy số $x_n$ xác định như sau:
 
$x_1=a$;  $x_{n+1}=\frac{x_{n}^2+5}{2\left(x_n+2 \right)}$
 
Trong đó $0<a\neq 1$. Chứng minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.



#650167 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi Crystal on 17-08-2016 - 23:28 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

ĐK: $x\geq 1, y\geq 1$

Pt(1)$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x}{y+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{y}{x+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )=0$

...

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(2;2)$

Bài này còn một số cách giải khác và có lẽ là "đẹp" hơn lời giải của bạn đấy. 

 

Sol1: Đánh giá phương trình (1) theo cách khác

Sol2: Đánh giá phương trình (2) trước




#649699 Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn

Đã gửi bởi Crystal on 15-08-2016 - 01:54 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn

e phải đặt tiêu đề ngắn gọn như thế nào cho bài này vậy: Giải phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2(y^{3}+x\sqrt{1-x}+2y)=3(y+\sqrt{1-x})\\ \sqrt{2y^{2}+5x+5}+\sqrt{y^{2}+6x+13}=3x^{2}-4y^{2}+7x+17 \end{matrix}\right.$ - Cám ơn rất nhiều ạ, vì e là thành viên mới nên ko biết -

 

Bạn có thể đặt tiêu đề như sau: Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 2(y^{3}+x\sqrt{1-x}+2y)=3(y+\sqrt{1-x})\\ ... \end{matrix}\right.$

 

Để biết thêm về cách đặt tiêu đề cho hợp lý, không vi phạm nội quy của Diễn đàn, bạn vui lòng ghé thăm Đặt tiêu đề thế nào để bài không bị xóa?.

 

Thân,




#649698 Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn

Đã gửi bởi Crystal on 15-08-2016 - 01:41 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn

không tìm thấy anh à, nó hiện là: Bạn không thể bắt đầu một chủ đề mới

 

sao mới gửi được bài chờ 2 ngày rồi mà không được

 

Thân gửi bạn @goda takeshi,

 

Để có thể gửi một chủ đề (topic) mới thì bạn phải vào một box cụ thể (ví dụ box Bất đẳng thức và cực trị trong subforum Toán Trung học Cơ sở) mới thấy được biểu tượng Gửi bài mới (hình vẽ sau)

new_topic.jpg

Sau đó bạn thực hiện theo các bước như đã hướng dẫn ở bài #1.

Chúc bạn thành công!




#649697 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi Crystal on 15-08-2016 - 01:12 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Góp một bài cho topic.

 

Bài 479. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{\sqrt {xy + x} }} + \frac{y}{{\sqrt {xy + y} }} = 2\sqrt {\frac{{x + y}}{{x + y + 2}}}  \hfill \\ x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = \frac{{{x^2} + 4\left( {y - 1} \right)}}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$




#512104 $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$

Đã gửi bởi Crystal on 10-07-2014 - 17:27 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Nghĩa là chứng tỏ A khả đảo đúng ko bạn?   :)

Đúng rồi đó. Chứng minh $A$ khả nghịch (khả đảo) tức là chứng minh $A$ không suy biến (định thức khác 0).




#512089 $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$

Đã gửi bởi Crystal on 10-07-2014 - 16:54 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

1/CMR nếu A là ma trận vuông thỏa $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$
2/ Cm:$\begin{vmatrix} b+c &c+a &a+b \\ b'+c'&c'+a' &a'+b' \\b''+c'' &c''+a'' &a''+b'' \end{vmatrix}=2.\begin{vmatrix} a &b &c \\a' &b' &c' \\a'' &b'' &c'' \end{vmatrix}$

Bài 1: Trước hết ta phải chứng tỏ $A$ có ma trận ngịch đảo.

Thật vậy, đẳng thức đã cho được biết lại: $I = 3A - {A^2} = A\left( {3I - A} \right)$

Do đó: $\det A\det \left( {3I - A} \right) = \det I = 1 \Rightarrow \det A \ne 0$ điều này chứng tỏ tồn tại ma trận nghịch đảo của $A$.

Mặt khác: $I = A\left( {3I - A} \right) \Rightarrow {A^{ - 1}}I = {A^{ - 1}}A\left( {3I - A} \right) \Rightarrow {A^{ - 1}} = 3I - A$ (đpcm)

1/CMR nếu A là ma trận vuông thỏa $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$
2/ Cm:$\begin{vmatrix} b+c &c+a &a+b \\ b'+c'&c'+a' &a'+b' \\b''+c'' &c''+a'' &a''+b'' \end{vmatrix}=2.\begin{vmatrix} a &b &c \\a' &b' &c' \\a'' &b'' &c'' \end{vmatrix}$

Bài 2: Dùng các phép biến đổi cơ bản ta làm như sau:

Nhân cột 1 với (-1), nhân cột 2 với 1, cộng cột 3 và 2 vào cột 1, ta được:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2a}&{c + a}&{a + b}\\{2a'}&{c' + a'}&{a' + b'}\\{2a''}&{c'' + a''}&{a'' + b''}\end{array}} \right| = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{c + a}&{a + b}\\{a'}&{c' + a'}&{a' + b'}\\{a''}&{c'' + a''}&{a'' + b''}\end{array}} \right|\]

Bạn thử cho các cột còn lại.



#511689 $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{cotx}$

Đã gửi bởi Crystal on 08-07-2014 - 16:20 trong Dãy số - Giới hạn

Tìm giới hạn :

1,$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{cotx}$

2,$\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{In x})$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{cotx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}.x\cot x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cot x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}}}} = e\]

Vì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = 1 \end{array} \right.$

 

Bài 2: Em dùng L'Hospital thử coi.




#511644 $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$

Đã gửi bởi Crystal on 08-07-2014 - 12:25 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân : $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$

Xét bài toán tổng quát:

\[\boxed{{I_n} = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^n}x} dx,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}}\]

 

GIẢI BÀI TOÁN TỔNG QUÁT.

Ta có: ${I_n} = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 1}}x} \sin xdx$.

Tích phân từng phần:

\[\begin{array}{l} {I_n} = \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^\pi  + \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}x} {\cos ^2}xdx\\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} \\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\left( {\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}xdx}  - \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^n}xdx} } \right)\\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\left( {{I_{n - 2}} - {I_n}} \right) \end{array}\]
Do đó: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}$
* Với $n$ lẻ: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n - 3}}{{n - 2}}...\frac{2}{3}{I_1} = 2.\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)...2}}{{n\left( {n - 2} \right)...3}}$
 
* Với $n$ chẵn: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n - 3}}{{n - 2}}...\frac{1}{2}{I_0} = \pi \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)...1}}{{n\left( {n - 2} \right)...2}}$
 
Trở lại bài toán ban đầu: Thay $n=11$ vào kết quả của trường hợp $n$ lẻ: $I = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{11}}xdx}  = \frac{{512}}{{693}}$



#511255 Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn

Đã gửi bởi Crystal on 06-07-2014 - 19:16 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn

box là topic của bạn khác phải không anh , sao em vào topic của bạn khac mà không thấy chữ gửi bài mới

Chào em,

 

Trong bài hướng dẫn của anh thì BoxTopic nó khác nhau.

 

Box là một phân mục trong một subforum. Ví dụ như trong subforum Vấn đề chung của Diễn đàn có các Box như là:

  • Thông báo tổng quan
  • Hướng dẫn - Trợ giúp sử dụng Diễn đàn
  • Góp ý cho Diễn đàn
  • ...

Và trong Box mới có nút post.png như em thấy trong hình sau:

box.png

 

Topic là một chủ đề được thành viên tạo trong một Box. Có thể hiểu nôm na đó chính là các bài viết nằm trong Box. Ví dụ trong Box Thông báo tổng quan có topic ĐĂNG KÝ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF, và trong các topic thì chỉ có nút answer.png . Do đó khi em vào một topic bất kỳ thì em chỉ có thể thấy như hình sau:

topic.png

 

Chúc em thành công.




#511114 Giải các hệ $\left\{\begin{matrix} x^...

Đã gửi bởi Crystal on 06-07-2014 - 00:02 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

 

Bài 1: Giải hệ

$$\left\{\begin{matrix}x^{y+1}=(y+1)^{x}\\ \sqrt{-4x^{2}+18x-20}+\dfrac{2x^{2}-9x+6}{2x^{2}-9x+8}=\sqrt{y+1}\end{matrix}\right.$$


Bài 2: Giải hệ

$$\left\{\begin{matrix}log_{3}\left ( -2y-2 \right )+4x^{2}-\sqrt{4x^{2}+1}=1-\sqrt{2}\\ log_{3}\left ( \dfrac{2x+1}{x-y} \right )+1=\sqrt{4x^{2}+4x+2}-\sqrt{\left ( x-y \right )^{2}+1}+\left ( x-y \right )^{2}-4x\left ( x+1 \right )\end{matrix}\right.$$

Bài 3: Giải hệ

$$\left\{\begin{matrix}4^{x^{2}-16}+3\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}+1}=4^{y^{2}-8y}+3\sqrt{y-4}+\sqrt{y^{2}-8y+17}\\ y(x^{2}-1)-4x^{2}+3x-8+ln\left ( x^{2}-3x+3 \right )=0\end{matrix}\right.$$

 

Gợi ý:

 

Bài 1: Với điều kiện để phương trình có nghĩa, lấy $ln$ 2 vế của phương trình thứ nhất, ta được:

\[\left( {y + 1} \right)\ln x = x\ln \left( {y + 1} \right) \Rightarrow \frac{{\ln x}}{x} = \frac{{\ln \left( {y + 1} \right)}}{{y + 1}}\]

Đến đây xét hàm số: $f\left( t \right) = \frac{{\ln t}}{t}$

 

Bài 2: Biến đổi bằng phương pháp tương tự cho phương trình thứ 2.

 

Bài 3: Tương tự cho phương trình thứ nhất.




#511032 Tìm hàm f thoả $xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$

Đã gửi bởi Crystal on 05-07-2014 - 18:59 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm số f: R->R thoả mãn:

$xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$ $\forall x,y \in R$

 

Tham khảo ở đây.




#510934 Tính định thức cấp n $\begin{pmatrix} 2/x &1/x^{...

Đã gửi bởi Crystal on 05-07-2014 - 14:16 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bạn /anh cho mình hỏi đáp số là $\frac{n+1}{x^{n}}$ phải không

Đáp số: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$

 

Cụ thể:

Phương trình sai phân có nghiệm kép $k = \frac{1}{x}$ do đó ${D_n}$ có dạng tổng quát:

\[{D_n} = \left( {{C_1} + n{C_2}} \right){\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}\]

Hai hằng số ${C_1},{C_2}$ được xác định dựa vào điều kiện ban đầu. Tính trực tiếp ${D_1},{D_2}$ ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l} {D_1} = \frac{1}{x}\left( {{C_1} + {C_2}} \right) = \frac{2}{x}\\ {D_2} = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {{C_1} + 2{C_2}} \right) = \frac{3}{{{x^2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = 1\\ {C_2} = 1 \end{array} \right.\]
Từ đó suy ra: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$



#510907 Tính định thức cấp n $\begin{pmatrix} 2/x &1/x^{...

Đã gửi bởi Crystal on 05-07-2014 - 11:44 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &\cdots &0 &0 \\ 0 &1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &\cdots &0 &0 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 &0 &0 &0 &\cdots &1 &\frac{2}{x} \end{vmatrix}$

Với $x \ne 0$, khai triển định thức theo dòng (1):

\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{{{x^2}}}}&0&{...}&0&0\\ 0&{\frac{2}{x}}&{\frac{1}{{{x^2}}}}&{...}&0&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&0&{...}&1&{\frac{2}{x}} \end{array}} \right|\]
 
Khai triển định thức trên theo cột (1), ta có:
\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}{D_{n - 2}}\,\,\,\,\left( * \right),\,\,n \ge 3\]
Từ công thức truy hồi $\left( * \right)$, áp dụng giải phương trình sai phân:
\[{k^2} - \frac{2}{x}k + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {k - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{x}\]
Từ đó tìm được nghiệm tổng quát của ${D_n}$. Tính các nghiệm bình thường rồi suy ra được ${D_n}$.
 



#510787 Lỗi không vào được diễn đàn

Đã gửi bởi Crystal on 04-07-2014 - 18:56 trong Góp ý cho diễn đàn

Khi bị lỗi, các bạn thử xóa bộ nhớ Cache của trình duyệt rồi vào lại xem thế nào nhé.




#510053 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 22:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

À...trong một lần em đọc chuyên đề về đa thức thấy có cách giải tương tự như vậy...bộ có gì ko ổn hả anh ?

Vậy em có thể tranh thủ trình bày phương pháp mà chuyên đề đó nói không. Anh chưa từng giải theo kiểu này bao giờ nên thấy ngợ ngợ. Muốn tìm hiểu thêm cách mới.

 

@ Hôm nay Pháp với Nigeria - 23h em  :icon6:




#510050 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 22:09 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Ko thì xét hàm số vậy.

Xét $0\leq t<1\Rightarrow t\left ( 2014-t^{2013} \right )<2013$

 

P/s: Em cổ vũ cho đội Đức thua  :icon6:  :icon6:  dù tỉ lệ thua là gần như ko có 

Chưa xét đoạn sau, nhưng anh chưa rõ đoạn này em ơi. Em có thể nói để mọi người khác hiểu được chứ? Cảm ơn em.




#510049 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 22:06 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Em dùng toàn số 1 với $t^{2014}$ là mũ chẵn thì vốn nó không âm mà,đoạn sau đánh giá thêm $|t|\geq t$ là được thôi chứ không nhầm đâu anh.

Chính xác là với $t^{2014}$ và 2013 số 1 thì không âm. Nếu em làm theo cách này thì đúng như em nói cần bổ sung thêm đánh giá phía sau.

 

:namtay




#510047 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 22:03 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Ta có :

$2014t-t^{2014}=2013 $

Lấy đạo hàm 2 vế, ta được :

$2014-2014.t^{2013}=0 \Leftrightarrow t=1.$

Thử lại thỏa mãn.........

- Đây gọi là phương pháp gì em?

- Cơ sở nào em có thể kết luận như vậy?

- Nếu thử lại thấy đúng thì như thế nào em?

 

Em có thể trình bày rõ hơn cách em đang làm chứ.




#510043 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 22:00 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Này thì cách hay:
$PT\Leftrightarrow t^{2014}+2013=2014t$

Theo BĐT AM-GM: $VT=t^{2014}+1+1+...+1\geq 2014\sqrt[2014]{t^{2014}}\geq 2014t.$

Dấu "=" khi t=1. :))

 

Thế này đã được chưa ạ?

 

Kết quả thì đã chính xác rồi đó em. Nhưng có một lỗi em mắc phải là khi áp dụng BĐT AM-GM, điều kiện là nguyên không âm. Em bổ sung thêm chắc là ổn hơn đó.




#510037 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 21:51 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Còn cách nào khác hay hơn xí không em?

 

@@ Anh cổ vũ cho cả 2  :lol:




#510027 Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 21:26 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán: Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}}} \right) = 2013$.

 

P/s: Có ai thức xem WC vào giải chơi  ~O)




#509967 Vì sao $\int_{0}^{1}f(-t)dt=\int_{0...

Đã gửi bởi Crystal on 30-06-2014 - 12:58 trong Tích phân - Nguyên hàm

\[\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

 

Chào bạn,

 

Lý do để sách đưa ra lời giải như vậy là dựa vào tính chất của tích phân xác định: Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số lấy tích phân, cận số mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu các biến số tích phân. Điều này có nghĩa là:

 

Với tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ thì ta cũng có được $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( z \right)} dz = \int\limits_a^b {f\left( v \right)} dv$, v.v...




#485162 $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}...

Đã gửi bởi Crystal on 28-02-2014 - 19:50 trong Dãy số - Giới hạn

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2014}+u_n & \end{matrix}\right.$ 

 

Tìm: $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}})$

Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2014\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\]

Suy ra: \[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}}}} \right)}  = 2014\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\left( {1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Từ công thức của $\left\{ {{u_n}} \right\}$ ta dễ dàng suy ra đây là dãy đơn điệu tăng.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ bị chặn trên, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn: $L = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}$. Hay $L = \frac{{{L^2}}}{{2014}} + L \Rightarrow L = 0$.

Điều nay mâu thuẫn với điều ta đã suy ra: $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là dãy đơn điệu tăng với ${u_1} = 1$.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ không bị chặn trên, do đó ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty $. Từ $\left( * \right)$ suy ra:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\left( {\frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} + \frac{{{u_2}}}{{{u_3}}} + ... + \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\]




#485156 Giải phương trình: $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2...

Đã gửi bởi Crystal on 28-02-2014 - 19:30 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Bạn xem thêm tại đây.