nếu anh nguyễn quốc thắng không up lên được thì không biết có bạn nào o hcm có thể qua sao chép lại rồi up lên không?

Họ tên: Vũ Trọng Hải
Ngày sinh: 8/10/1994
Nhóm muốn tham gia: nhóm 1
Yahoo: [email protected]

III. Bài tấp đề nghị

Bài 1: Cho $\left( C \right):y = \frac{{2{x^2} - 3x - 5}}{{x - 1}}$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách từ $M$ đến $Ox$ gấp ba lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Bài 2: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}$. Tìm trên $\left( C \right)$ những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng $3x+y+6=0$ là nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + m}}{{x + m}}$. Tìm trên đồ thị hàm số ứng với $m=1$ những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Bài 4: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$. Tìm trên mỗi nhánh của $\left( C \right)$ các điểm $M_1,M_2$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho $\left( {{C_a}} \right):y = \frac{{2{x^2}\sin a - 3x\cos a + 6}}{{x - 1}}$. Tìm $a$ để khoảng cách từ $O(0;0)$ đế tiện cận xiên lớn nhất.

Bài 6: Cho hàm số: $\left( C \right):y = x + \frac{1}{{x + 1}}$. Tìm m để đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $OA \bot OB$ (với $O$ là gốc toạ độ)

ĐS: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.

Bài 7: Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\left( C \right)$.

a. Tìm trên hai nhánh phân biệt của $\left( C \right)$ hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất.
b. Chứng minh tích của hai khoảng cách từ hai điểm bất kì trên $\left( C \right)$ đến hai đường tiện cận là một hằng số.

ĐS:

a. $A\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right),\,\,B\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right)$
b. $d = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Tài liệu tham khảo

- Tuyển tập cac chuyên đề luyện thi đại học phần hàm số của Trần Phương.
- Phương pháp giải toán hàm số của Mai Xuân Hệ.
- Một số tài liệu trên internet.

Dạng 2: Bài toán tìm cực trị của khoảng cách

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)$. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiện cận là nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 1 = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = 0 \Rightarrow \left( C \right)$ có tiện cận xiên $\left( {{\Delta _2}} \right):x - y = 0$.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}$.

${d_1}\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} - 1} \right|$

${d_2}\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {{x_0} - {x_0} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}$

${d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| + \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}} = \frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 1} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x_0} = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Vậy có hai điểm ${M_1}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 - \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} - \sqrt[4]{8}} \right),\,{M_2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 + \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} + \sqrt[4]{8}} \right)$ làm cho tổng khoảng cách của chúng đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới hai trục toạ độ $Ox,Oy$ là nhỏ nhất.

Giải.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Ta thấy tổng khoảng cách từ $M$ đến $Ox,Oy$ là:
\[d\left( M \right) = \left| {MH} \right| + \left| {MK} \right| = \left| x \right| + \left| y \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\]
Ta thấy: khi toạ độ của $M$ là $M\left( {1;0} \right) \in \left( C \right)$ thì $d\left( M \right) = 1$. . Do đó giá trị nhỏ nhất của $d\left( M \right) $ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Ta chì cần xét bài toán với $x,y$ thoả các điều kiện sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| y \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 < x < 1\\
\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1\]
Khi đó $d\left( M \right) $ trở thành: \[d\left( M \right) = x + \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} - 2 \ge 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\frac{2}{{x + 1}}} - 2 = 2\sqrt 2 - 2\]
Vậy $\min d\left( M \right) = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x + 1 = \frac{2}{{x + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow M\left( {\sqrt 2 - 1;1 - \sqrt 2 } \right)$

Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)$ các điểm ${M_1},{M_2}$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $x=1$.

Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ thuộc nhánh trái của $\left( C \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thuộc nhánh phải của $\left( C \right)$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 - a\\
{x_2} = 1 + b\\
a,b > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = a + \frac{4}{a}\\
{y_2} = - b - \frac{4}{b}
\end{array} \right.$.

Ta có: \[{\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = {\left( { - a - b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}} \right)^2}\]
\[ = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left[ {a + b + \frac{{4\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right]^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{4}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\]
\[ \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\,\,\,\,\left( \text{theo bất đẳng thức Cauchy} \right)\]
\[ = 4ab\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = 8\left( {ab + \frac{8}{{ab}} + 4} \right) \ge 8\left( {2\sqrt {ab\frac{8}{{ab}}} + 4} \right)\]
Suy ra: ${\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} \ge 32\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$.

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b > 0\\
ab = \frac{8}{{ab}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt[4]{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{M_1}\left( {1 - \sqrt[4]{8};\sqrt[4]{8} + 2\sqrt[4]{2}} \right)\\
{M_2}\left( {1 + \sqrt[4]{8}; - \sqrt[4]{8} - 2\sqrt[4]{2}} \right)
\end{array} \right.$.

I.Lý thuyết cơ bản cần nhớ

* Khoàng cách giữa hai điểm $M(x_1,y_1)$ và $N(x_2,y_2)$ là

$$MN = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm $M(x_0,y_0)$ và đường thẳng $Ax+By+C=0 \ \ (\Delta)$. Khi đó:

$$d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

II. Một số ví dụ có giải
Dạng 1: Các bài toán về khoảng cách thoả mãn một điều kiện cho trước
VD1: Cho hàm số $y= f(x) = \frac{x^3-3}{x+2}, \ \ \left ( C \right ) $. Tìm trên $\left ( C \right )$ những điểm cách đều 2 trục toạ độ.

Giải

Ta thấy những điểm cách đều hai trục toạ độ chính là tất cả các điểm nầm trên đường thẩng $y= \pm x$.
Vậy các điểm phải tìm chính là giao điểm của đường thẳng $y= \pm x$ và $\left ( C \right )$.
Hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình:

\[\left[ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = x\\
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
2{x^2} + 2x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
x = - 1 \pm \sqrt 7
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( \text{thỏa điểu kiện} \right)\]
với $x \ne - 2$.

Vậy trên $\left( C \right)$ có 3 điểm mà từ đó khoảng cách đến hai trục bằng nhau là:
\[{M_1}\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right),\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 7 ; - 1 - \sqrt 7 } \right),\,\,{M_3}\left( { - 1 + \sqrt 7 ; - 1 + \sqrt 7 } \right)\]

Ví dụ 2: Cho hàm số $\left( C \right):\,\,y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}$. Tìm tất cả các cặp điểm ${M_1},{M_2}$ nằm trên $\left( C \right)$ và đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.
Giải
Gọi $(D)$ là phương trình đường thẳng đi qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và có hệ số góc $k$. Khi đó phương trình của $(d)$ là: $y=kx+ \dfrac{5}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $(D)$ là:
\[\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}} = kx + \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {k - 1} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{2} - k} \right)x - \frac{9}{2} = 0
\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\]
Để $(D)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm ${M_1},{M_2}$ đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ thì trước hết phương trình hai của hệ $(I)$ phải có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho:
\[\frac{S}{2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} - k = 0 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\]
Với $k = \frac{3}{2}$ thì phương trình hai của $(I)$ trở thành: ${x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vậy ${M_1}\left( { - 3; - 2} \right),{M_2}\left( {3;7} \right)$ là hai điểm phải tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}\,\,\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách tử $M$ đến $Ox$ gấp hai lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Giải.

Giả sử $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Khoảng cách từ $M(x;y)$ đến hai trục là:

- Trục $Ox$: $\left| y \right| = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}} = {d_1}$

- Trục $Oy$: $\left| x \right| = {d_2}$

Ta có: ${d_1} = 2{d_2} \Leftrightarrow \left| y \right| = 2\left| x \right|$. Xét hai trường hợp sau:

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
{x^2} + x - 15 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 - \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 - \sqrt {62}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 + \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 + \sqrt {62}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
- 2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
3{x^2} + 11x + 15 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)$

Ta thấy phương trình hai của $(I)$ có $\Delta < 0$. Suy ra hệ $(I)$ vô nghiệm.

Vậy các điểm $M$ phải tìm là: ${M_1}\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {61} }}{2}; - 1 - \sqrt {61} } \right),\,{M_2}\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {61} }}{2}; - 1 + \sqrt {61} } \right)$.

Hiện tại hình như chuyên đề Số chính phương của Khải không nộp được, bạn làm phần đó được không?

Cũng được. Vậy giao cho mình nhé.

Bạn muốn đăng kí phần nào vậy

Mình nhận phần nào cũng được. Không biết còn phần nào chưa ai làm hoặc thiếu nhân lực không vậy?

Bây giờ mình đăng kí tham gia có kịp không?