Đến nội dung

Ngoc Hung nội dung

Có 14 mục bởi Ngoc Hung (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#743176 HSG TP HN 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 22-01-2024 - 18:15 trong Tài liệu - Đề thi

Bài 3. Từ giả thiết $a+b+c=3abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3$

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=3$ và x, y, z > 0.

Khi đó $P=\frac{x}{x+1+3yz}+\frac{y}{y+1+3zx}+\frac{z}{z+1+3xy}$

$P=\frac{x^{2}}{x^{2}+x+3xyz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+y+3xyz}+\frac{z^{2}}{z^{2}+z+3xyz}$

$\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{9xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z}$

Áp dụng Cauchy, ta có $\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\geq \sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=9xyz$

$\Rightarrow 9xyz\leq 3\left ( x+y+z \right )\Leftrightarrow 3xyz\leq x+y+z$

Lại có $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\Rightarrow xyz\leq 1$

Suy ra $9xyz=3xyz+6xyz\leq x+y+z+2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow 9xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\leq \left ( x+y+z \right )^{2}+2\left ( x+y+z \right )$

Lại có $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+zx \right )=9\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Vậy $P\geq 1-\frac{2}{3+2}=\frac{3}{5}$




#742696 Cho P = 7|a| – 2|b|. Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi a, b là các số nguyên thỏ...

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 25-12-2023 - 08:11 trong Đại số

Ta có $a=\frac{5-4b}{3}=1-b+\frac{2-b}{3}$ là số nguyên. Đặt $\frac{2-b}{3}=t\Rightarrow b=2-3t$

Suy ra $a=4t-1$. Khi đó $P=7\left | 4t-1 \right |-2\left | 2-3t \right |$

Xét $t\leq 0\Rightarrow P=-22t+3\geq 3$

Xét $t\geq 1\Rightarrow P=22t-3\geq 19$




#742695 Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Điện Biên năm học 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 25-12-2023 - 07:24 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                              KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             ĐIỆN BIÊN                                                              NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                Môn thi: TOÁN

          Thời gian: 150 phút

         Ngày thi: 12/12/2023

 

 

Bài 1. 1) Cho biểu thức $P=\frac{3x+5\sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}-1$

            a) Rút gọn biểu thức P

            b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

            2) Cho các số thực x, y thỏa mãn $\left ( x-\sqrt{x^{2}+5} \right )\left ( y-\sqrt{y^{2}+5} \right )=5$.

            Tính giá trị của biểu thức $Q=x^{2023}+y^{2023}$

Bài 2. a) Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{x^{2}+5}=3x-5$

            b) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

Bài 3. a) Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $(d):y=mx+2m+2$ (m ¹ 0) đạt giá trị lớn nhất.

            b) Tìm đa thức $f(x)$, biết rằng $f(x)$ chia cho $x-3$ dư 2, $f(x)$ chia cho $x+4$ dư 9, $f(x)$ chia cho $x^{2}+x-12$ được thương là $x^{2}+3$ và còn dư.

            c) Một cửa hàng lưu niệm được nhận đặt gói tất cả 153 hộp quà như nhau bằng ba loại giấy màu xanh, đỏ, vàng để chuẩn bị cho Lễ Giáng sinh. Biết số hộp quà gói được màu đỏ bằng $\frac{8}{9}$ số hộp quà màu xanh, số hộp quà gói được màu vàng bằng $\frac{17}{16}$ số hộp quà màu đỏ và 153 hộp quà đều được cửa hàng gói hết. Tính số hộp quà mỗi màu mà cửa hàng đã gói được.

Bài 4. Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cố định sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng 2R. Từ điểm A bất kì trên đường thẳng d, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt BC tại H và cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ CK vuông góc với đường kính BD tại K.

            a) Chứng minh rằng $CA.CD=CK.OA$

            b) Gọi I là giao điểm của AD và CK. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK.

            c) Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABOC đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 5. a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}\geq \frac{a+b+c}{3}$

            b) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kì thì có ít nhất 3 học sinh đến từ một quốc gia. Gọi k là số quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng $n<\frac{k+10}{2}$

 

--- Hết ---

 




#742694 Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Thanh Hóa năm học 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 25-12-2023 - 07:13 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                              KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

           THANH HÓA                                                               NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: TOÁN

           Thời gian: 150 phút

Ngày thi: 21/12/2023

 

 

Bài 1. a) Cho biểu thức $A=\left ( 2-\frac{2\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1-\sqrt{xy}}+\frac{2\sqrt{x}}{1-xy} \right ):\left ( \frac{\sqrt{xy}-\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+1}-\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1} \right )$

            Với x, y > 0; xy ¹ 1. Rút gọn biểu thức A.

            b) Cho số thực a thỏa mãn $a^{3}-a-1=0$.

            Tính giá trị của biểu thức $B=a\sqrt{2a^{6}-4a^{4}+4a^{2}+3a}-\sqrt{2a^{2}+3a+2}$

Bài 2. a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}$

            b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}+3x+3y-3=0 & \\ x^{3}y-4x^{2}y-3xy^{2}+2xy-x^{2}+x=0 & \end{matrix}\right.$

Bài 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên $y=\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{x}}$

            b) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $3^{n}-1$ chia hết cho $2^{2024}$.

            Chứng minh rằng $n\geq 2^{2022}$

Bài 4. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng $2\sqrt{3}$ và đường cao AH. Trên đoạn BH lấy điểm M tùy ý (M khác B, H). Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

            1) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $MP+MQ$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

            2) Gọi K là trung điểm của AM.

            a) Chứng minh rằng tứ giác PKQH là hình thoi.

            b) Gọi S là diện tích của hình thoi PKQH. Biết khi điểm M thay đổi thì S nhận đúng một giá trị nguyên dương. Tìm giá trị nguyên dương đó.

            3) Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM. Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BM, AB, AM. Kẻ DN vuông góc với EF tại N. Chứng minh rằng $\widehat{BNE}=\widehat{MNF}$.

Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$.

            Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{a+b+1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{b+c+1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{c+a+1}{c^{3}+a^{3}+1}$

 

--- Hết ---

 




#742669 Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Thái Bình năm học 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 24-12-2023 - 05:54 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                             KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

            THÁI BÌNH                                                                NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: TOÁN

           Thời gian: 150 phút

Ngày thi: 21/12/2023

 

 

Bài 1. a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $b(a+1)=1-a$

            Tính giá trị của biểu thức $P=a\sqrt{\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}}}+b\sqrt{\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{(1+a^{2})(1+b^{2})}{4}}$

          b) Chứng minh rằng biểu thức $Q=\sqrt{1+2023^{2}+\frac{2023^{2}}{2024^{2}}}+\frac{2023}{2024}$ là số tự nhiên.

Bài 2. 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm $A(-1;1)$, $B(-5;-3)$ và đường thẳng $(d):y=ax+b$

            a) Tính diện tích tam giác OAB.

            b) Tìm a, b biết đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=4\sqrt{2}$

          2) Cho đa thức $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+2$ với a, b là các số hữu tỉ. Biết đa thức đã cho có một nghiệm là $x=2-\sqrt{3}$. Tìm các nghiệm còn lại của đa thức.

Bài 3. a) Giải phương trình $4x^{2}+3x+2=3\sqrt{x^{3}+3x^{2}+3x+2}$

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x-y}=2y+1+\sqrt{y+1} & \\ 8x^{3}-52y^{2}-15x+11=(x+3)\sqrt[3]{12y^{2}+6x-5} & \end{matrix}\right.$

Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.

            Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\frac{x^{2}+yz}{x\sqrt{y+z}}+\frac{y^{2}+zx}{y\sqrt{z+x}}+\frac{z^{2}+xy}{z\sqrt{x+y}}$

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của NP với AH và AO, I là trung điểm của AH.

            a) Chứng minh rằng $IN^{2}=IK.IM$

            b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BN và CP. Chứng minh rằng EF vuông góc với QM.

Bài 6. Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không giao nhau. Trên đường thẳng d lấy điểm A. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Đường thẳng BC cắt OA và OI lần lượt tại H và K.

            a) Chứng minh rằng KE là tiếp tuyến của (O; R)

            b) Chứng minh rằng khi A di động trên đường thẳng d thì H di động trên một đường tròn cố định.

Bài 7. Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn $a,b\neq -1$ và $\frac{(a-1)(a+1)^{2}+(b-1)(b+1)^{2}}{a+b+ab+1}$ là số nguyên.

            Chứng minh rằng $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a^{2}+a$.

 

--- Hết ---




#742668 Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Quảng Bình năm học 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 24-12-2023 - 05:41 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

           QUẢNG BÌNH                                                              NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                   Môn thi: TOÁN

            Thời gian: 150 phút

 Ngày thi: 05/12/2023

 

 

Bài 1. a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ với x ³ 0; x ¹ 1.

     b) Tính giá trị của biểu thức $Q=\sqrt{28+12\sqrt{5}}+\sqrt{28-12\sqrt{5}}+2\sqrt{43-30\sqrt{2}}$.

Bài 2. a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2y-x}+\sqrt{3x+y}=5 & \\ 2\sqrt{2y-x}-3\sqrt{3x+y}=-5 & \end{matrix}\right.$.

      b) Giải phương trình $\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=2x^{2}-7x-2$.

Bài 3. a) Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x ³ 0; y ³ 0 và $x+y=2$.

     Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x\sqrt{2023+y}+y\sqrt{2023+x}$.

     b) Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn các điều kiện $a^{1012}-a-1=0$ và $b^{2024}-b-3a=0$.

          Hãy so sánh a và b.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của CM và PN, I là giao điểm của AO và BC, D là giao điểm của MI và AC, K là giao điểm của AI và MN.

a) Chứng minh rằng MK = 2KN.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AI, BD và MP đồng quy.

c) Trên tia đối của các tia BA, CA lần lượt lấy các điểm C', B' (với C' khác B, B' khác C). Gọi F là giao điểm của BB' và CC'. Chứng minh rằng $\frac{FB}{FB'}+\frac{FC}{FC'}\geqslant 2\sqrt{\frac{AB.AC}{AB'.AC'}}$.

Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số $2^{n}+9.2^{8}$ là số chính phương.

 




#742667 Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hòa năm học 2023-2024

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 24-12-2023 - 05:30 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                              KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

           KHÁNH HÒA                                                              NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: TOÁN

           Thời gian: 150 phút

           Ngày thi: 07/12/2023

 

 

Bài 1. a) Cho biểu thức $A=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$ với a, b > 0 và a ¹ b. Rút gọn và tính giá trị biểu thức $B=\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ khi $a=\sqrt[3]{8\sqrt{5}-16}$; $b=\sqrt{5}+1$

     b) Chứng minh rằng biểu thức $C=4x\left ( x+y \right )\left ( x+y+z \right )\left ( x+z \right )+y^{2}z^{2}$ là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên.

Bài 2. a) Cho đa thức $f(x)=\left ( 1+x+x^{3} \right )^{2023}=a_{4046}x^{4046}+a_{4045}x^{4045}+...+a_{1}x+a_{0}$. Gọi m là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn của biến x; n là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc lẻ của biến x. Chứng minh rằng m là số chẵn và n là số lẻ.

      b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab}$ thỏa mãn $\sqrt{a+b}=\frac{\overline{ab}}{a+b}$.

Bài 3. a) Giải phương trình $\left ( x+4 \right )\sqrt{x^{2}+7}=x^{2}+4x+7$.

     b) Cho x, y là hai số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $D=\frac{(x+y)(1+xy)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}$.

Bài 4. 1) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Các tia phân giác của góc EHB, góc DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K.

          a) Chứng minh rằng AI = AK.

          b) Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB và AC chúng cắt nhau tại M. Giả sử hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi. Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định.

          2) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi thỏa mãn hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=cotB+cotC$.

Bài 5. Cho hình lập phương trong đó mỗi mặt tương ứng được ghi một số trong tập hợp $\left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$ (số được ghi trên hai mặt bất kỳ là khác nhau). Hỏi có thể ghi số trên các mặt sao cho số trên mỗi mặt là ước của tổng bốn số trên các mặt bên cạnh nó? Vì sao?

 




#742045 CMR: $(\sum \frac{1}{x})^{2}+...

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 06-11-2023 - 08:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$.

CMR: $\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}+\sqrt{3}\leq \frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}+\frac{x}{z^{2}}+3$

 

 




#741557 Cho x, y, z, t là các số nguyên ... Tính $x+y-z+t$

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 29-09-2023 - 04:46 trong Số học

Cho x, y, z, t là các số nguyên thỏa mãn $\left ( x-y-t \right )\left ( x-z-t \right )\left ( x+z-t \right )\left ( x+y+z-t \right )=210$

Tính $x+y-z+t$




#738191 Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3...

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 31-03-2023 - 06:51 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $Q=\left ( x+1 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+1}} \right )$

$=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{1+3x^{2}} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}\leq \frac{\left ( x+1 \right )\left ( 2\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+1} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}$

Xét $x+1<0\Rightarrow Q<0$. Xét $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$

Khi đó $\frac{\left ( x+1 \right ).\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{3x^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+3 \right )\left ( 3x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{4}\geq 0$

Do đó $Q\leq 2\leftrightarrow x=1$




#737950 Chứng Minh Rằng $\frac{1}{a^2} + \frac...

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 23-03-2023 - 06:08 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

$\frac{1}{a^{2}}+1\geq \frac{2}{a};\frac{1}{b^{2}}+1\geq \frac{2}{b};\frac{1}{c^{2}}+1\geq \frac{2}{c}$

Suy ra $$3\left ( \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right )+3\geq 2\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=12\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant 3$$




#737781 chứng minh rằng $abc + 2(1+a+b+c+ab+ac+bc) \geq 0 $

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 16-03-2023 - 05:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2=1$  chứng minh rằng $abc + 2(1+a+b+c+ab+ac+bc) \geq 0 $

 

Từ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\Rightarrow -1\leq a;b;c\leq 1$

Do đó $\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq 0$

$\Rightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\geq 0$

Mặt khác $1+a+b+c+ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}\geq 0$

Cộng theo vế 2 BĐT trên 




#733652 Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Toán, tỉnh Hà Nam 2022-2023

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 15-06-2022 - 05:58 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                            KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

              HÀ NAM                                                                       NĂM HỌC 2022 – 2023

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                              Môn: TOÁN (Chuyên)

                            Thời gian: 150 phút

 

 

 

Bài 1. Cho biểu thức $A=\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}} -\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}\right ):\frac{1}{x+2\sqrt{x}-3}$ với x ³ 0; x ¹ 1; x ¹ 4

            a) Rút gọn biểu thức A

            b) Tìm tất cả các giá trị của x để $A>-2$

Bài 2. a) Cho đường thẳng (d) có phương trình $y=\left ( m-2 \right )x+2m-1$ (m là tham số) và điểm $A\left ( -1;2 \right )$. Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất.

            b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( x-y-1 \right )\left ( x^{2} +y^{2}+1\right )=x^{2}+y^{2} -x+y+3& \\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+3}=-x^{2}+2x+8 & \end{matrix}\right.$

Bài 3. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AK, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm M, N, P (M khác A, N khác B, P khác C)

            a) Chứng minh rằng EF song song với PN.

            b) Chứng minh rằng diện tích tứ giác AEOF bằng $\frac{EF.R}{2}$

            c) Tính giá trị của biểu thức $\frac{AM}{AK}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}$

            d) Gọi S và Q là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC. Đường thẳng QS cắt BC tại G, đường thẳng GA cắt đường tròn (O) tại điểm J (J khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS. Chứng minh rằng ba điểm I, K, J thẳng hàng.

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $x^{4}-6x^{3}+18x^{2}-y^{2}-32x+4y+20=0$

Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab-2bc-2ca=0$

            Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{\left ( a+b-c \right )^{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geqslant 3$




#733651 Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Toán, tỉnh Bình Dương 2022-2023

Đã gửi bởi Ngoc Hung on 15-06-2022 - 05:44 trong Tài liệu - Đề thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO              KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

           BÌNH DƯƠNG                                                         NĂM HỌC 2022 – 2023

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                        Môn: TOÁN (Chuyên)

               Ngày thi: 03/06/2022

                Thời gian: 150 phút

 

 

 

Bài 1. Cho biểu thức $A=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{b-a}\right ):\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{a+b+2\sqrt{ab}}\right )-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{b-a}$ với a và b là các số thực dương khác nhau.

            a) Rút gọn A

            b) Tính giá trị của $B=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{b-a}\right ):\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{a}{a+b+2\sqrt{ab}} \right )$ khi $a=7-4\sqrt{3}$ và $b=7+4\sqrt{3}$

Bài 2. Cho phương trình $x^{2}-2mx+m-2=0$ (m là tham số)

            a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.

            b) Gọi $x_{1};x_{2}$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $M=\frac{-2022}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3.  a) Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{x\left ( 1-x \right )}=1$

           b) Chứng minh rằng $A=a^{7}-a$ chia hết cho 7, với mọi $a \in \mathbb{Z}$.

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC; BE, CF là các đường cao của tam giác ABC (E Î AC; F Î AB). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của BS với EF, AS với đường tròn (O) (P khác A)

            a) Chứng minh rằng MN vuông góc với BF

            b) Chứng minh rằng $AB.CP=AC.BP$

            c) Chứng minh rằng $\angle CAM=\angle BAP$