Cho tứ diện $ABCD$ có một cạnh lớn hơn $a$, các cạnh còn lại đều không lớn hơn $a$. Gọi $V$ là thể tích tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng $V\leq\dfrac{a^3}{8}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với $BC$ là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, $SC=a\sqrt5$ và khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SCH)$ bằng $a\sqrt2$ (ở đây $H$ là trung điểm của $AB$). Hãy tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12  (20/3/2015)

TỈNH BẮC GIANG

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.

Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$

Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\dfrac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.

Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$

Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.

c) Áp dụng bđt cô-si ta có:

$3 = y(x^3+2) = y(x^3+1+1) \ge 3xy \leftrightarrow 1 \ge xy$

$3xy^3 = 2y^3+1 = y^3+y^3+1 \ge 3y^2 \leftrightarrow  xy \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$

Đề có cho $x,y$ không âm đâu mà áp dụng AM - GM bạn ơi.

Cho $a,b,c\ge 0$. Chứng minh bất đẳng thức

$$\sqrt{a^2+8bc}+\sqrt{b^2+8ca}+\sqrt{c^2+8ab}\le 3(a+b+c).$$

1. Chứng minh bất đẳng thức sau : 

 $\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{c+a}{ca+b^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

2. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền . Chứng minh 

                                                               $a^3>b^3+c^3$

3. Cho 3 số không âm $a;b;c$. Chứng minh rằng

                                                  $a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$

Chém hai câu dễ trước

Câu 2: $a^3=a\big( b^2+c^2\big)=ab^2+ac^2>b^3+c^3$.

Câu 3: $a^4+b^4+c^4\ge \dfrac{1}{3}\big( a^2+b^2+c^2\big)^2\ge \dfrac{1}{3}\big(a^2+b^2+c^2\big).\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2\ge abc(a+b+c)$.

Vì $a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}, a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$.

 

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} \sqrt{x-y-1} = 1 \\ y^2+x+2y\sqrt{x} = xy^2 \end{cases}$

 

Điều kiện $x\ge y+1, x\ge 0$. Đặt $z=\sqrt{x}$. Hệ trở thành $\begin{cases} \sqrt{z^2-y-1}=1\\ y^2+z^2+2yz=y^2z^2\end{cases}$

Tương đương với $\begin{cases} y=z^2-2\\ y+z=yz\end{cases}$ $\quad$ hoặc$\quad$ $\begin{cases}y=z^2-2\\ y+z=-yz\end{cases}$

Cả hai hệ này, chỉ cần thay $y=z^2-2$ vào phương trình dưới, được phương trình bậc ba và giải tiếp.

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$

Đặt $a=x-y, b=y-z, c=z-x$. Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c$ là các số thoả mãn $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.

Giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, suy ra $0\le c\le \sqrt2$.

Từ đk1, $a+b=-c$. suy ra $a^2+b^2+2ab=c^2$. Do đó $ab=c^2-1$.

Ta được $abc=(c^2-1)c=c^3-c=f ( c )$.

$f'( c )=3c^2-1=0$ khi và chỉ khi $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$ (vì $0\le c\le \sqrt2$ ).

$\min f( c )=f(\frac{1}{\sqrt3})=-\dfrac{2}{3\sqrt 3}$, đạt được tại $c=b=\dfrac{1}{\sqrt 3}, a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ và các hoán vị.

Bạn viết rõ hơn một chút được không? Mình vẫn chưa hiểu lắm. Tại sao từ dòng đầu lại suy ra được đpcm vậy??? 

VT $= a+b+c=1$. Luỹ thừa 6 hai vế, chuyển số sang một bên sẽ được đpcm.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng $ab^2c^3\leq \frac{1}{432}$

$a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{c}{3}\ge 6\sqrt[6]{a.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}}$.

Suy ra $ab^2c^3\leq \dfrac{1}{432}$

Cho $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BM, CN$. Chứng minh $AO$ vuông góc với $MN$.

Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}$$

Cho hình thang $ABCD$, đáy lớn $AB$ cố định, đáy nhỏ $CD=b$ (không đổi). $C,D$ di chuyển sao cho $AD+BC=k$ (không đổi). Chứng minh giao điểm $I$ của hai đường chéo $AC$ và $BD$ luôn nằm trên một Ellipse cố định khi $C,D$ thay đổi.

Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}\sqrt[3]{y^3-1}+\sqrt{x}=3\\ x^2+y^2=82\end{cases}$$

$2(\tan x-\sin x)+3(\cot x-\cos x)+5=0$

Cho $X$ là tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau đôi một, mỗi số không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập hợp $X$ luôn tìm được hai số $a,b$ sao cho $a-b$ thuộc tập hợp $E=\{3,6,9\}$.

bạn ui, đề ko cho x khác 0 hay là x > 0 , vậy.... $\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$ --> chưa chắc (!)

Ví dụ trường hợp $1\geq 0$

vậy khi suy ra $\frac{0}{1}\leq \frac{0}{0}=1$ .... có đc ko nhỉ ???

______

bạn ui, đề ko cho x khác 0 hay là x > 0 , vậy.... $\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$ --> chưa chắc (!)

Ví dụ trường hợp $1\geq 0$

vậy khi suy ra $\frac{0}{1}\leq \frac{0}{0}=1$ .... có đc ko nhỉ ???

______

VP>0 nên suy ra $x>0$.

Chém câu dễ nhất 1.2)
$VT=1.2...3.[(1+\frac{1}{2002})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2001})+...]$
$=1.2.3...2002.2003(\frac{1}{2002}+\frac{1}{2.2001}+...)\vdots 2003$
Suy ra đpcm.

Lời giải rất gọn và đẹp, nhưng tui nghĩ là cần thêm lí do 2003 là số nguyên tố nữa, fai ko ta?

bạn vẽ hình bằng phần mềm gì vậy?

điểm D ở đâu vậy bạn

$D$ là một điểm bất kì trên đoạn $BC$.

mình quên mất, sory nhé.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. $E\in CD, \widehat{BAE}=90^0$; $F\in BC, \widehat{DAF}=90^0$. Chứng minh ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$ cắt $CA$ tại $E$ khác $C$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBD$ cắt $AB$ tại $F$ khác $B$. Chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $DEF$.

Bạn xem post 13: 

http://diendantoanho...ng/#entry412747

 

Đề thi thử lần này nhiều chỗ sai quá, kể cả phần $a$ hình, nếu không có điều kiện gì thêm thì có thể có trường hợp $CD \equiv EF$

@mathbg Bạn thử giải với điều kiện đó xem nào
PS: Mình không HIỂU SAI đầu bài mà nghĩ đầu bài sai thôi

Vậy là mình HIỂU SAI ý của ilovelife. sory nhé!

Bạn xem post 13: 

http://diendantoanho...ng/#entry412747

 

Đề thi thử lần này nhiều chỗ sai quá, kể cả phần $a$ hình, nếu không có điều kiện gì thêm thì có thể có trường hợp $CD \equiv EF$

@mathbg Bạn thử giải với điều kiện đó xem nào
PS: Mình không HIỂU SAI đầu bài mà nghĩ đầu bài sai thôi

Vậy là mình HIỂU SAI ý của @ilovelife rồi. sory nhé!