Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ và $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:

$(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}+\frac{15a^2b^2(a-b)}{\sum (a+b)^2}$

Cho $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm $GTNN$ $\sum \left | 6a^3+bc \right |$

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường tròn $(O')$ tiếp xúc với $(O)$, $CA$, $CB$ tại các tiếp điểm $D, E, F$. Chứng minh $I$ là trung điểm $DE$.

Hình vẽ:

Bạn ghi đề sai rồi, đề đúng phải là chứng minh $DI$ đi qua chân đường đối trung của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ là $G.$ Mình xin đưa ra chứng minh như sau: 

 

Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau ở $X,BC$ cắt $AD$ ở $Y.$ Dễ thấy $G$ chính là giao điểm của $BC$ và $AX.$ Ta cần chứng minh $D,I,G$ thẳng hàng.

Ta có :  $D,I,G$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (YGBC) = (YDFE)$ (chiếu xuyên tâm $I$ ) $\Leftrightarrow (YAEF) = (YDFE)$ (do $(YGBC)=(YAEF)$ theo phép chiếu xuyên tâm $X$ )

$\Leftrightarrow \frac{\overline{YE}}{\overline{YF}}:\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{YF}}{\overline{YE}}:\frac{\overline{DF}}{\overline{DE}} \Leftrightarrow \frac{\overline{YE}^{2}}{\overline{YF}^{2}}=\frac{\overline{AE}.\overline{DE}}{\overline{AF}.\overline{DF}} \Leftrightarrow \frac{\overline{EY}^{2}}{\overline{FY}^{2}}=\frac{\overline{EA}.\overline{ED}}{\overline{FA}.\overline{FD}}. (1)$

Chú ý theo $Menelaus$ thì $\frac{YE}{YF}.\frac{FC}{CX}\frac{XB}{BE}=1,$ mà $BX=CX$ nên suy ra $\frac{YE}{YF}=\frac{BE}{CF}.$ Lại theo tính chất phương tích, $EB^{2} = EA.ED$ và $FC^{2}=FA.FD$ nên ta dễ dàng suy ra $(1)$ đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tam giác $ABC$ đều.

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, $D$ là một điểm nằm trên cung nhỏ $AB$. $E$ và $F$ lần lượt là giao của đường thẳng $AD$ với các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn tâm $O$. $I$ là giao điểm của $CE$ và $BF$. Chứng minh $DI$ đi qua trung điểm $G$ của $BC$

Hình vẽ:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, chọn điểm $D\neq A,C$. Lấy điểm $D$ nằm trên tia $AC$ sao cho đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và song song với phân giác trong $\widehat{ADB}$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$. Chứng minh $AD=BD$

Hình vẽ:

Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn với một số $n>2$ nào đó, nếu $m^{n}\equiv 1(mod n)$ thì $m\equiv 1(mod n)$

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ cố định. $M$ là một điểm di động trên $(O)$. Vẽ đường tròn tâm $I$ qua $A$. Chứng minh trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Định lý Hilbert Waring là gì vậy, bạn có thể nói rõ hơn được không?

Thực chất tên nó là 'bài toán của Waring', được chứng minh bởi  Hilbert nên bạn ấy gọi là 'định lý Hilbert-Waring' thôi bạn à

Tìm $a$ để tích các nghiệm của phương trình $(x+a)(x^2-a^2-2a-1)=0$ nhỏ hơn nghiệm nhỏ nhất của phương trình này.

Tìm $m$ để phương trình $(x-m)^2[m(x-m)^2-m-1]=-1$ có nghiệm dương nhiều hơn nghiệm âm.

Cho $p$ là một số nguyên tố và số nguyên $n$ thỏa mãn $p\geq n\geq 3$. Tập $\mathbb{A}$ là tập các dãy độ dày $n$ với các phần tử thuộc tập $\left \{ 0; 1; 2; ...; n \right \}$ và có tính chất: với mọi phần tử $(x_1; x_2; ..; x_n)$ và $(y_1; y_2; ...; y_n)$ thì có $3$ số nguyên dương phân biệt $k; l; m$ để $x_{k}\neq y_{k}; x_{m}\neq y_{m}; x_{l}\neq y_{l}$. Xác định số phần tử lớn nhất của tập $\mathbb{A}$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

Cho $a; b$ là hai số nguyên dương sao cho $a^n+n$ là ước của $b^n+n$ với mọi $n\in \mathbb{Z}^{+}$. Chứng minh $a=b$.

Giải phương trình:

1, $\cos 2x-\cos 6x+4(3sinx-4\sin ^3x+1)= 0$

2, $\cos 3x.\cos ^{3}x+\sin ^{2}x.\sin 3x= \frac{\sqrt{2}}{4}$

3, $\cos 10x+2\cos ^{2}4x+6\cos 3x.\cos x=\cos x+8\cos x.\cos ^{3}3x$

4, $2\cos ^{3}x+\cos 2x+\sin x=0$

Giá trị nhỏ nhất mà bạn

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$

Có lẽ bài này không thể tìm được GTNN.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$

ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$

Chứng minh rằng với $k\in \mathbb{N};k\geq 2$ thì:

$\frac{k}{2}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2^k-1}< k$

Không sử dụng phương pháp quy nạp.

1/Chứng minh $-\sqrt{a^2+b^2}\leq a\sin (t)+b\cos (t)\leq \sqrt{a^2+b^2}$ với $\forall t;a;b\in \mathbb{R}$

2/Tìm min; max của $2a^2-3ab+4b^2$ với $\forall a;b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường phân giác trong $AD$ ($D\in BC$). Tính

$\mathfrak{P}_{D/(O)}$

thì mình không biết nhung kí hiệu này theo mình là song song

Song song là kí hiệu hình học bạn nhé, cái kí hiệu này là số học, trong ví dụ đó hình như nó có nghĩa là  k là số lớn nhất thỏa mã tính chất $3^k$ chia hết $n$.

Cho mình hỏi kí hiệu $\parallel$ trong số học có nghĩa là gì? Ví dụ $3^k\parallel n$ là gì?

1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:

$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$

(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát) 

2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:

$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$

3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$

4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:

$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.

5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?

6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$

(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)

Bài 2: Trước hết ta chứng minh rằng với mọi số lẻ $a\geq 3$, mọi số $n$ nguyên dương và không chia hết cho $a$ ta có:

$(1+a)^{a^{n}}=1+S_{n}.a^n+1$ trong đó $n$ là số nguyên dương và không chia hết cho $a$

Với $n=1$ ta có: $(1+a)^a=1+C_{a}^{1}a+C_{a}^{2}a^2+...+C_{a}^{a}a^a= 1+a^2(1+C_{a}^{2}+C_{a}^{3}a+...)= 1+S_{1}a$

Vì $a$ là số lẻ nên $a\mid C_{a}^{2}$ và do đó $a$ không là ước số của $S_{1}$

Giả sử khẳng định trên đúng cho tới $n$, khi đó với $n+1$ ta có:

$(1+a)^{a^{n+1}}= (1+S_{n}.a^{n+1})^{a}= 1+C_{a}^{1}S_{n}a^{n+1}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{2}a^{2n+2}...= 1+a^{n+2}[S_{n}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{a}a^n...]= 1+S_{n+1}a^{n+2}$

Vì $S_n$ không chia hết cho $a$ nên $S_{n+1}$ không chia hết cho $a$. Như vậy mệnh đề trên đã được chứng minh theo nguyên lý quy nạp).

Lập luận tương tự ta chứng minh được với mỗi số lẻ $b\geq 3$ và mỗi số nguyên dương $n$ ta có: $(b-1)b^n=-1+t_nb^{n+1}$ với $t_n$ là số nguyên dương không chia hết cho $b$.

Áp cũng kết quả bài trên ta có $k_{max}=1999$

1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:

$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$

(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát) 

2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:

$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$

3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$

4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:

$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.

5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?

6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$

(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)

1, Chứng minh $n\in \mathbb{N^*}$ là hợp số $\Leftrightarrow \varphi (n)\leq n-\sqrt{n}$

2, Cho $x;y\in \mathbb{N^*}; (x,y)=1$. Chứng minh mọi ước lẻ của số $x^{2^{n}}+y^{2^{n}}$ đều có dạng $2^{n+1}.m+1$

3, Chứng minh nếu $m;n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn $m \mid n$ thì $\varphi (m)\mid \varphi (n)$

4, Chứng minh nếu $n$ là số nguyên dương có $k$ ước nguyên tố lẻ khác nhau thì $\varphi (n)\vdots 2^k$

5, (Sử dụng Vieta Jumping):

a/ Tìm tất cả các số tự nhiên $p$ thỏa mãn: $x^2+y^2=p(xy-1)$

b/ Cho $a; b$ các số nguyên dương sao cho $ab+1\mid a^2+b^2$. Chứng minh $\frac{x^2+y^2}{xy+1}$ là số chính phương.

(Một cách giải khác của bài 5b có ở đây).