Giải các phương trình

     $a):$ $2x^4-32x^3+127x^2+38x-243 = 0$

     $b):$ $x^4-14x^3+54x^2-38x-11 = 0$

Phương trình $\Leftrightarrow \cos 10x+\cos 8x+1+3(\cos 4x+1)+3(\cos 2x+1)=\cos x+4(\cos 2x+\cos 4x)\cos^{2} 3x\Leftrightarrow \cos 10x+\cos 8x+3\cos 4x+3\cos 2x+7=\cos x+2(\cos 2x+4x)(\cos 6x+1)\Leftrightarrow \cos 10x+\cos 8x+3\cos 4x+3\cos 2x+7=\cos x+\cos 8x+\cos 4x+\cos 10x+\cos 2x+2\cos 2x+2\cos 4x\Leftrightarrow \cos x=7$$

Vậy PT vô nghiệm

Phương trình có nghiệm bạn nhá 

Giải phương trình:$cos10x+2cos^{2}4x+6cos^{2}2x+6cos^{2}x=cosx+8cosxcos^{3}3x$

Bài 1

 Lời giải từ giả thiết ta có

Vì 0$\leq (a+b+c)^{2}=1+2(xy+yz+zx)$ nên xy+yz+2zx$\geq -\frac{1}{2}+xz\geq \frac{-1}{2}-\frac{x^{2}+z^{2}}{2}=-1+\frac{y^{2}}{2}\geq -1$

Đẳng thức này xẩy ra khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét f(t)=$t^{2}-\frac{8}{t-1}$ với t=xy+yz+2zx$\geq -1$ ta có $f^{'}(t)=\frac{8+2t^{3}-4t^{2}+2t}{(t-1)^{2}}\geq 0$ (với t$\geq -1$)

Vậy f(t)$\geq f(-1)=5$

Vậy Pmin=5 khi y=0 và x=-z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 2 Làm da rồi . Tối mình post . Bây h đi đá bóng

Bài 1 bạn là đúng rồi,nếu bài toán yêu cầu thêm là tìm $MaxA$ bạn có làm được không

$1):$Cho $x,y,z$ là các số thực tuỳ ý thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

             $A=(xy+yz+2zx)^2-\frac{8}{xy+yz+2zx-1}$
$2):$Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$B=\frac{bc}{a(b+2c)}+2[\frac{ac}{b(a+c)}+\frac{ab}{c(2a+b)}]$

bạn ơi sao bạn dự đoán được dấu bằng của bài 1 đê đưa ra được đánh giá vậy

Bài nào thế bạn

Cái này thì mình hiểu. Nhưng nếu giả sử $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$ chẳng hạn thì min sẽ sai đúng không? Lúc đầu tớ thắc mắc là tại sao bạn không chứng minh mà có thể đưa ra kết luận nhanh thế. Vì $P\geq a \neq P\geq A^2+a$ chứ. Tuy trong trường hợp này $\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$  là đúng. ( Cái này tớ có thể tự chứng minh được). Theo bạn thì thế nào? 

nếu $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$

thì  $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$>2+ \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -1$.

Số $0$ hay số $2$ hay sô bao nhiêu cũng thế thôi,cũng chỉ là cộng vào mà thôi

Ta có: $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$

$\Rightarrow$ $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$\geq 0+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 =\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

Hiểu chưa

Kiến thức cơ bản thôi mà :$A^2 \geq 0$ với mọi $A$

Với bài này thì sao bạn:

Cho các số thực dương x, y, z thõa: x+y+z=3

Tìm min : $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)}$

Mình biến đổi tới: $P\geq \frac{x}{y(y^2+x))}+\frac{y}{z(z^2+y)}+\frac{z}{x(x^2+z)}$ thì chẳng biết lám sao nữa. 

Xác định cái bước tiếp theo để làm khó quá 

Áp dụng $AM-GM$ ta có:$2\sqrt{1+8x^{3}}\leq (1+2x)+(1-2x+4x^{2})=2+4x^{2}$.Suy ra:$\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)} \geq \frac{4x}{y(2+4y^2+4x-2)}=\frac{x}{y(x+y^2)}$ $(1)$

Tương tự ta có:$\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)} \geq \frac{y}{z(y+z^2)}$ $(2)$

                         $\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)} \geq \frac{z}{x(z+x^2)}$ $(3)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:$P \geq  \frac{x}{y(x+y^2)}+\frac{y}{z(y+z^2)}+\frac{z}{x(z+x^2)}$

Áp dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu ta có:$\frac{x}{y(x+y^2)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x+y^2} \geq \frac{1}{y}-\frac{y}{2y\sqrt{x}}=\frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $(4)$

Tương tự ta có:$\frac{y}{z(y+z^2)} \geq \frac{1}{z}-\frac{1}{2\sqrt{y}}$ $(5)$

                         $\frac{z}{x(z+x^2)} \geq \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{z}}$ $(6)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(4),(5)$ và $(6)$ ta có:

$P \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})$

$= (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3  \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$ P \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 \geq \frac{27}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})} -3 \geq \frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}} -3 =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinP=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Cảm ơn bạn: 
bạn có thể hướng dẫn mình cách làm của một số bài này nữa không?

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$

TÌm Min:  $P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài 2: cho các số thưc dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài 1:Theo giả thiết ta có:$6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$ $\Leftrightarrow$ $6(a^2+b^2)+20ab=5ab(a+b)+15(a+b)$

$\Leftrightarrow$ $6\frac{a^2+b^2}{ab}+20=5(a+b)+15\frac{a+b}{ab}$ $\Leftrightarrow$ $6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$.

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t \geq 2$,ta có:$6t+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng Côsi ta có:$5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{75(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{75(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}=2\sqrt{75(t+2)}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3t+10 \geq \sqrt{75(t+2)} \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $t \geq \frac{10}{3}$.

Ta có:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2$

         $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}=t^3-3t$

         $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}=t^4-4t^2+2$

Suy ra:$P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

               $=9(t^4-4t^2+2)-16(t^3-3t)+25(t^2-2)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32=f(t)$

Xét hàm số $f(t)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32$ trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ ta có:

$f'(t)=36t^3-48t^2-22t+48$

$f''(t)=108t^2-96t-22$

$f'''(t)=216t-96$

Ta có:$f'''(t)=216t-96 \geq 624 >0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f''(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f''(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3} $

Suy ra,hàm $f'(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f'(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$

Suy ra: $f(t) \geq f(\frac{10}{3})=\frac{14156}{27}$,với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Vậy,$MinP=\frac{14156}{27}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5(a+b)=15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} ab=3 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $(a;b)=(1;3)$ hoặc $(a;b)=(3;1)$

Bài 2:bạn xem tại đây http://diendantoanho...21-frac2a1b1c1/

$x>2$ mà $x=1$ à,sai rồi kìa,còn bài này mình đã học từ năm ngoái,đúng chứ không sai được

$x>2$ là điều kiện của bài 1 mà bạn?còn $x=1$ là dấu $"="$ của bài 2 bạn nhá.Bạn xem kĩ lại đi.Bài 1 mình lấy $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ chứ không phải $x=1$ nha.

Còn bài giải của bạn là đúng rồi,mình đã nhầm khi không để ý kĩ đoạn trích dẫn của bạn đề bài đã bị tác giả sửa lại.Thành thật xin lỗi bạn

Bạn nên để ý là tác giả đã sử đề bài, lúc đầu với $a,b,c$ là các số thực thì $2$ bạn trên làm không có gì sai

Còn khi đề bài được sửa là $a,b,c$ không âm thì bài làm của bạn đúng

Thêm lưu ý là ở bài $2$ ta có $xy+z^2\leqslant 1+z\leqslant x+y$

Vì thế $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{xy+z^2}\geqslant \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Bài 2 đơn giản thế này mà không nghĩ ra nhỉ

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị  nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$

Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$

Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:

$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$

Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.

Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$

Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$

Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị

Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$

Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$

Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$

Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$

Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có

$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$

Khảo sát hàm $g(z)$  trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$

Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Bài này dùng nhiều bổ đề kinh

Thế này

Đặt $\frac{a}{b-c}=x,\frac{b}{c-a}=y,\frac{c}{a-b}=z$

ta có $\Rightarrow xy+yz+zx=-1$

mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq 2$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}}{b-c}+1 \right )\geq 5$

$\Rightarrow \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )\geq 5+2\left ( \sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )$

ta lại có $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$

tiếp tục áp dụng $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}\geq 2$

thêm bớt thôi $\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}-3\geq -1$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq \frac{-1}{4}$

$\Rightarrow 5+2\sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq \frac{9}{2}$

Vậy $MIN A=\frac{9}{2}$

 dấu bằng xảy ra khi $x+y+z=0$ cái này bạn giải ra nhé

Có vẻ như bạn bài làm của bạn sai rồi nhá.Dấu $"="$ xẩy ra khi nào?bài này mình làm ra kết quả khác bạn,và mình tìm ra được cả dấu  $"="$ của bài toán luôn,bạn xem lại đi nhá!

Cái gì mới đầu mà chả khó,cứ tiếp xúc cọ sát nhiều rồi dần dần khó cũng thành dễ thôi

Đấy,đây chính là kinh nghiệm

Kinh nghiệm phải do chính bạn tìm ra trong quá trình học tập thì nó mới bền vững được.

Cách đây 1 năm mình cũng giống như bạn bây giờ thôi.Nên bạn cứ yên tâm một điều là nếu bạn yêu thích và tiếp xúc với bất đẳng thức mỗi ngày thì bạn sẽ học tốt dần lên thôi.

Bạn không thấy trong những bài toán mình đã làm bên trên chứa biết bao là kinh nghiệm sao?

Nhiệm vụ của bạn là ghi chép những kinh nghiệm đó vào một cuốn sổ.Mỗi ngày ghi một vài kinh  nghiệm,dần dần bạn sẽ có cả một kho tàng kinh nghiệm.Hehe

Biết là thế, nhưng vấn đề luyện tập gặp nhiều vấn đề. Còn bài này thì làm như thế nào bạn

Cho x,y là các số dương sao cho: x³+y³=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)}$

Mình đưa ra hướng giải quyết,còn đoạn cuối bạn tự làm nhá

Theo giả thiết ta có $x^3+y^3=1$ $\Leftrightarrow$ $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=1$.( đối với các bài toán mà giả thiết cho có chứa cả hai thành phần $x+y$ và $xy$ như thế này thì ta cứ đặt $t=x+y$ sau đó biểu diễn thành phần $xy$ theo $t$ nha).

Đặt :$t=x+y,t >1$.Thay vào giả thiết ta có $xy=\frac{t^3-1}{3t}$

Áp dụng Côsi ta có:$xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{t^3-1}{3t} \leq \frac{t^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $t^3 \leq 4$

$\Leftrightarrow$ $ 1 <t\leq \sqrt[3]{4}$.

Ta có:$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} =\frac{(x+y)^2-2xy-1}{1-(x+y)+xy} =\frac{t^2-2\frac{t^3-1}{3t}-1}{1-t+\frac{t^3-1}{3t}}$

$=\frac{t^3-3t+2}{t^3-3t^2+3t-1}=\frac{(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}=1+\frac{3}{t-1}$

Xét hàm số:$f(t)=1+\frac{3}{t-1}$ trên $(1;\sqrt[3]{4}]$

đến đây bạn chỉ cần khảo sát hàm $f(t)$ trên miền đang xét là ra kết qủa bài toán

Kết quả của mình là bài toán đạt $Min$ tại $t=\sqrt[3]{4}$ và khi đó $MinP=f(\sqrt[3]{4})$.

Ok!

Cảm ơn bạn nhiều nha. Mình đang cố gắng luyện thêm bất đẳng thức ôn thi đại học mà tình hình là nó rất khó

Cái gì mới đầu mà chả khó,cứ tiếp xúc cọ sát nhiều rồi dần dần khó cũng thành dễ thôi

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1:nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến $x,y$ có vai trò đối xứng nhau,con biến $z$ có vai trò không đối xứng.

điều này gợi ý cho ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau,loại bỏ đi 1 biến thừa không cần thiết.

Đặt: $x=az,y=bz$,$a,b \in R^+$.Thay vào giả thiết ta có:$a^2+b^2+6=4(a+b)$.

Áp dụng Côsi ta có: $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \frac{(a+b)^2}{2} \leq 4(a+b) -6 \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 \leq a+b \leq 6 \\ ab \leq 2(a+b)-3 \end{matrix}\right.$

Khi đó,ta có: $P=\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}$

$\geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{2}$

Tiếp tục áp dụng Côsi,ta có : $\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{a+1}{8}+\frac{ab+b}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

                                              $\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\frac{b+1}{8}+\frac{ab+a}{8}\geqslant \frac{3b}{4}$

Cộng theo vế các bất dẳng thức trên ta có:

$P \geq \frac{a+b}{2}-\frac{ab}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{a+b}{2}-\frac{2(a+b)-3}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{1}{2}+\sqrt{2}$

Vậy,$MinP =\frac{1}{2}+\sqrt{2}$.Dấu $"="$  xẩy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=1$,hay $x=y=z>0$

Một số bài toán có ý tưởng dặt ẩn phụ tương tự:

$1):$Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z) \leq 5(y+z)^3$(Khối A-2009)

$2):$Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $x,y,z$ ta luôn có:$(x+2y+z)(x+y+z)^2 \geq 4(x+y)(y+z)(z+x)$

Bài 2:Theo giả thiết ta có: $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\(x^2 + y^2 + 1)^{2} - 5(x^2 + y^2 + 1) + 6 = - x^2 - 3x^2y^2 \leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\ 2 \leq (x^2 + y^2 + 1) \leq 3 \end{matrix}\right.$

Ta có: $P=\frac{(x^2+y^2+1)+(y^2-3x^2y^2)-1}{x^2+y^2+1}$

               $=\frac{(x^2+y^2+1)^2-3(x^2+y^2+1)+4}{x^2+y^2+1}$

Đặt: $t=x^2+y^2+1,(2 \leq t \leq 3)$.Khi đó $P$ trở thành:$P=\frac{t^2-3t+4}{t}$

Xét hàm số:$f(t)=\frac{t^2-3t+4}{t},t \in [2;3]$.

   Ta có: $f'(t) =1- \frac{4}{t^2};f'(t)=0$ $\Leftrightarrow$ $t=2 \in [2;3]$

mà $f'(t) \geq 0$ với mọi $t \in [2;3]$.Suy ra,$f(t)$ đồng biến trên $[2;3]$.

Suy ra,$MinP=Minf(t)_{t \in [2;3]} =f(2) =1$,đạt được khi $x=0,y= \pm 1$

           $MaxP =Maxf(t)_{t \in [2;3]} =f(3) =\frac{4}{3}$,đạt được khi $x=0,y=\pm \sqrt{2}$

$a,b,c \epsilon[1,2]$.Tìm GTLN của biểu thức

P=$\frac{10a}{bc}+\frac{11b}{ca}+\frac{2012c}{ab}$

Ta có :$P=f(c)=\frac{2012c}{ab}+\frac{1}{c}(\frac{10a}{b}+\frac{11b}{a})$

Coi c là biến số;a,b là tham số; ta có:

$f'(c)=\frac{2012}{ab}-\frac{1}{c^2}(\frac{10a}{b}+\frac{11b}{a})$

$=\frac{2012c^2-10a^2-11b^2}{ab}\geq\frac{2012-10.2^2-11.2^2}{ab} >0$

$\Rightarrow f(c)\leq f(2)=\frac{4024}{ab}+\frac{5a}{b}+\frac{11b}{2a} =g(a)$

Coi a là biến số;b là tham số; ta có:

$g'(a)=\frac{-4024}{ba^2}+\frac{5}{b}-\frac{11b}{2a^2}\leq \frac{-4024}{2^3}+5-\frac{11}{4.2} <0$

$\Rightarrow g(a)\leq g(1)=\frac{4029}{b}+\frac{11b}{2}=h(b)$

$h'(b)=\frac{-4029}{b^2}+\frac{11}{2}\leq 0(b\in [1;2]) \Rightarrow h(b)\leq h(1)=4029+\frac{11}{2}=\frac{8069}{2}$

Vậy,$MaxP=\frac{8069}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\ c=2& \end{matrix}\right.$

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 3:Đặt $s=a+b,p=ab$,điều kiện:$s,p>0$

Từ giả thiết ta có:$s+p=3$ $\Leftrightarrow$ $p=3-s$ $(1)$

Áp dụng Côsi ta có:$s^2 \geq 4p$ nên từ $(1)$  $\Rightarrow$ $3-s \leq \frac{s^2}{4}$ $\Rightarrow$ $s \geq 2$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                              $\frac{3s^2+3s-6p}{s+p+1} +\frac{p}{s} \leq s^2-2p+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow$   $\frac{3s^2+9s-18}{4} +\frac{3-s}{s} -s^2-2s=\frac{9}{2} \leq 0$.Do $(1)$

$\Leftrightarrow$   $s^3-s^2+4s-12 \geq 0$

$\Leftrightarrow$   $(s-2)(s^2+s+6) \geq 0$ luôn đúng với mọi $s \geq 2$

Bài này có thể làm bằng cách đưa về 1 biến và sử dụng đạo hàm.

Bài 4:đặt                  $\left\{\begin{matrix}x=a+b-c \\ y=b+c-a \\ z=c+a-b \\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=\frac{x+y}{2} \\ a=\frac{y+z}{2} \\ c=\frac{z+x}{2} \\x+y+z=3 \end{matrix}\right.$

Khi đó biểu thức $P$ trở thành $P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$P=\frac{x^4}{xy+zx}+\frac{y^4}{yz+xy}+\frac{z^4}{zx+yz} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}$

                                                                                                                                        $\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$ (Vì$xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$)

                                                                                                                                        $\geq \frac{(x+y+z)^2}{6}$(Vì $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$)

                                                                                                                                        $=\frac{9}{6}.$

Vậy:$MinP=\frac{3}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra  $\Leftrightarrow$ $x=y=z=a=b=c=1$.

Giải phương trình:$(x+\sqrt{2})^4+(x+1)^4 =33+12\sqrt{2}$

P/s:Mình đang cần tìm nghiệm cụ thể của bài này để đối chiếu,nếu ai làm được bài này thì trình bày cụ thể ra giúp mình với nha.Tks!!!

Cho $a,b,c$ là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức $A=\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}$

mình nghĩ x>y

$F\geq 2x+\frac{4}{x^{3}}$

$= \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{4}{x^{3}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{32}{27}}$

Dấu $"="$ xẩy ra khi nào thế bạn?Không chỉ ra được dấu $"="$ thì bài toán không có giá trị gì bạn nhá

Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

Tìm GTLN của biểu thức $A=(x-1)(y-1)(z-1)$

Theo giả thiết ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

               $\Leftrightarrow  \frac{1}{x} \geq 1-\frac{1}{y} +1-\frac{1}{z} =\frac{y-1}{y} +\frac{z-1}{z} \geq 2\sqrt{\frac{(y-1)(z-1)}{yz}}$

               $\Leftrightarrow \sqrt{(y-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{yz}}{2x}$ $(1)$

tương tự ta có: $\sqrt{(y-1)(x-1)} \leq \frac{\sqrt{xy}}{2z}$ $(2)$

                        $\sqrt{(x-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{zx}}{2y}$ $(3)$

nhân theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có $A=(x-1)(y-1)(z-1) \leq \frac{1}{8}$

Vậy,$MaxA=\frac{1}{8}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}\frac{y-1}{y}=\frac{z-1}{z}=\frac{x-1}{x} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =2 \end{matrix}\right.$

                                                                 $\Leftrightarrow$ $x=y=z=\frac{3}{2}$

Tuyệt vời,anh Toc Ngan cho em hỏi bài này có làm theo cách sử dụng cosi được không?đây là bài tập em lấy trong phần bất dẳng thức cosi