đề thi có vẻ hơi dài 

Đề thi không dài lắm đâu, vẫn hơn đề ngắn mà khó @@~

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC

Vì $\widehat{BAC}=60^{0}$ nên $\widehat{MOC}=60^{0}\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{MC}{sin60^{0}}=2$

Vì O nằm trong tam giác ABC và OM vuông góc BC, ON vuông góc AC, OP vuông góc AB

Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA, OB, OC).  

Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác ANOP

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, AP, PO, ON và I là trung điểm OA, suy ra IA = IP = IO = IN = 1

Khi đó tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1

Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này chứa ít nhất 2 điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 13 điểm đã cho.

Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1                                                                   

Bài này khá giống bài trong đề thi của sư phạm

ai giải bài 2 dùm cái

Em lấy ảnh này trên mạng,mọi người tham khảo

cách này dễ hơn.tks

Có $(x-y-z)^{2}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2xy +2xz-2yz$ 

$\Leftrightarrow 1\geq xy+xz-yz$

$\Leftrightarrow x^{2}+yz+x+1\geq x^{2}+xz+xy+x$

có cách nào đơn giản hơn không anh?