Giả thiết các ma trận đều thoả mãn điều kiện ban đầu của bài toán

1/ Chứng minh 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

2/ Với mọi ma trận $A=B+C$ với $B$ luỹ linh và $C$ chéo hoá được thì $BC=CB$

3/a. Với mọi số $n$ khác 0 luôn tồn tại ma trận cấp n thoả mãn $A^{3}=A+I$

   b. Định thức của ma trận thoả mãn câu a luôn dương

Câu 1 đúng vì $\det(AB-\lambda.E)=\det(BA-\lambda.E)$

chứng minh cho $A$ khả nghịch thì đơn giản, trường hợp không khả nghịch thì $A-\epsilon.E$ sẽ khả nghịch, tồn tại vô số $\epsilon$ cho đẳng thức đúng mà nó lại là 2 đa thức bằng nhau cho nên khi $\epsilon=0$ thì nó cũng đúng.

Câu 3. Ta chỉ cần chọn A là ma trận đường chéo có các phần tử đều bằng $\lambda$ trong đó, $\lambda$ là nghiệm của phương trình $x^3=x+1$.

b. $I=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)=A(A-I)A^3=A^4(A-I)$

như vậy thì  do $|A|^4$ là số dương cho nên $|A-I|$ cũng phải dương vì $\det I=1$.

Lại có $|A|=|A^3-I|=|A-I||A^2+A+I| \ge 0$ vì $|A^2+A+I| \ge 0$ và ở trên thì ta đã luận ra được là $|A-I| \ge 0$ 

p/s: chú đi thi olp toán không, làm quen đi

 

Bài này gần đây mình có gặp trên AoPS và có nhận định sai về bài toán nên đã đề xuất bài toán mới dễ hơn, tuy nhiên bài toán gốc mới hay và khó, dưới đây là lời giải cho bài toán gốc và bài toán mình đề xuất, các bạn thử với bài mình đề xuất nhé :3
[hide='Lời giải']
​

Bổ đề. Cho $a, b \in \mathbb{C}$, ta có bất đẳng thức $|a + b| \le |a| + |b|$, dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu $\text{Re}(a).\text{Im}(b) = \text{Im}(a).\text{Re}(b)$
Hệ quả. Ta có $|a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}| \le |a_{1}| + |a_{2}| + \cdots + |a_{n}|$ và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\text{Re}(a_{i}).\text{Im}(a_{j}) = \text{Im}(a_{i}).\text{Re}(a_{j})$ với mọi $i \neq j$
​Bổ đề trên là hiển nhiên, mình sẽ không chứng minh lại.

 

Quay lại bài toán, dễ thấy nếu $z = -1$ thì $n$ lẻ từ đó suy ra $z^{n + 1} = 1$. Xét $z \neq -1$
i) Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $|z| = 1$. Dĩ nhiên, $z \neq 1$, hay $\text{Im}(z) \neq 0$. Vì $z$ là một nghiệm của đa thức đã cho:
$$P(z) = 0 \implies (z - 1)P(z) = 0 \implies z^{n + 1} = (1 - a_{n - 1})z^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})z^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})z + a_{0}$$
Áp dụng hệ quả , \begin{align*} |z|^{n + 1} & = |(1 - a_{n - 1})z^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})z^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})z + a_{0}| \\&\le (1 - a_{n - 1})|z|^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})|z|^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})|z| + |a_{0}|\\&\le |z|^{n}[(1 - a_{n - 1}) + (a_{n - 1} - a_{n - 2}) + \cdots + \cdots + (a_{1} - a_{0}) + a_{0}] \\&= |z|^{n} \end{align*}
Điều này suy ra $|z| \le 1$. Từ giả thiết, ta thu được $|z| = 1$

 

Cái đoạn này cứ sao sao ấy, chẳng lẽ cứ đa thức nào có 1 nghiệm và mô đun của nó lớn hơn hoặc bằng 1 thì mô đun của nghiệm đó sẽ bằng 1????

lấy ví dụ với $(x-1)(x-2)(x-3)$ thì làm gì đúng nhỉ??

ko i

Dùng giấy trong, ta vẽ sẵn một lưới ô vuông vừa đủ với vết mực , sau đó, ta di chuyển các ô vuông nhỏ cạnh = 1 sang cùng một ô không có vết mực. Suy ra, khi đó vết mực sẽ nằm lọt trong ô vuông đó(vì diện tích vết mực <1) Giả sử vị trí A khoog có vết mực. lấy kim đánh dấu B. Rải các ô vuông trở lại vị trí ban đầu. Khi di chuyển về rồi thì điểm B vẫn nằm ở vị trí tương ứng. Sau đó kẻ 1 lưới ô vuông mới kẻ qua điểm B. Suy ra lưới ô vuông này không có nút lưới (đỉnh) nào có mực

ko hiểu cách giải lắm

Bài 1: Trên đoạn thẳng có độ dài 1 ta tô một số đoạn thẳng sao cho khoảng cách giữa  hai điểm bất kì được tô không bằng 0,1. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn thẳng được tô không lớn hơn 0,5

Bài 2:  Một cái áo có diện tích 1 có 5 miếng vá, mà diện tích của mỗi miếng vá không nhỏ hơn 0,5. Chứng minh rằng luôn tìm được hai miếng vá có diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 0,2.

Bài 3: Cho một tờ giấy kẻ Caro vô tận và một hình có diện tích nhỏ hơn diện tích một ô giấy. Chứng minh rằng hình đó có thể đặt trên giấy để nó không che một đỉnh ô vuông nào

Cho mình hỏi ma trận phù hợp là gì với ? @@ ý là ma trận nghịch đảo á hả ?

đây là ma trận phụ hợp này :

https://en.wikipedia...Adjugate_matrix

$\begin{vmatrix} 3& 2& 0& ...& 0& 0\\ 1& 3& 2& ...& 0& 0\\ 0& 1& 3& ...& 0& 0\\ ...& & & & & \\ 0& 0& 0& ...& 3& 2\\ 0& 0& 0& ...& 1& 3\end{vmatrix}$

Bạn giải thích rõ hơn cho mình khúc đỏ đỏ được ko?

một ma trận A nhé, nếu  tất cả các phần tử của 1 dòng  của ma trận A đều được nhân với $\alpha$ thì định thức của nó sẽ được nhân thêm $\alpha$:

ví dụ :

$\begin{vmatrix} &\alpha.a  &\alpha.b  &\alpha.c \\& d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}=\alpha. \begin{vmatrix} &a  &b  &c \\ &d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}$ 

như vậy thì đương nhiên $|-X|=(-1)^n|X|$ rồi vì ma trận $-X$ có n dòng, mà mỗi dòng đều được nhân thêm số $\alpha=-1$ mà

Cho $A=\{(x,y)\in R^2|x\ge 0\}$ và ánh xạ $f:R^2\to A$ với $f(x,y)=(x^2,x+y)$. Ánh xạ $f$ có là toàn ánh không? Tại sao?

có là toàn ánh vì vọi phần tử của A là $(x,y)$ đều là ảnh của một phần tử của $R^2$ là $(\sqrt{x},y-\sqrt{x})$ qua $f$

 

2/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ lẻ và $AB^{T}+A^{T}B=0$. Chứng minh $A$ hoặc $B$ suy biến

Bài 2: vì $(AB^T)=-(A^TB)=-(B^TA)^T$ , đặt $AB^T$ là $X$ thì $X=-X^T$ lấy định thức 2 vế thì ta có: $|X|=(-1)^n|X|$ như vậy do $n$ lẻ nên $|X|=0 |A|.|B|=0$ do đó phải có 1 cái suy biến, đpcm

1/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$

Chứng minh nếu $AB-A^{T}B=E$ thì $n$ là số chẵn

 

xin làm bài 1:

ta sẽ chứng minh rằng nếu $A-A^T$ khả nghịch thì $n$ là chẵn, thật vậy:

$|A-A^T|=|(A-A^T)^T|=|A^T-A|=(-1)^n||A-A^T|$ như vậy $n$ không thể là lẻ được vì như thế thì $A-A^T$ có định thức bằng $0$, đpcm!

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

Bài này đã từng xem giải rồi mà nghĩ mãi chả ra, nhớ mang máng là sử dụng số phức, mình biến đổi được:

$(A-xB)(A+x^2B)=x(AB-BA)$ rồi,

xong bí,

Cho $p$ lfa số nguyên tố và $\epsilon=e^{\frac{2\pi}{p}}$. Thì tất cả các định thức con của ma trận Vandermonde $||a_{ij}||_0^{p-1}$, ở đây $a_{ij}=\epsilon^{ij}$ là khác $0$.

Em lấy trong quyển Problem and theorem của Prasolov trang 25, định lí 2.8

nhưng em không hiểu cách giải lắm

Đây là file giải nhưng em thấy chỗ in đậm ạ,

với mỗi $n$ thì ta phải có 1 cái $c_n$ khác nhau, chứ nó đâu có cố định ạ, và chẵng hạn $c_n=1-\frac{1}{n}$ thì nó sẽ tiến đến

$f(e^{-1})$ chứ không phải là $f(0)$ ạ?

Cho $U,V$ và $U+V$ là các toán tử tuyến tính chiếu, tức  $U^2=U \ ,V^2=V \ ,(U+V)=(U+V)^2$

 

Chứng minh rằng $ \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{Im} U+\operatorname{Im} V$

 

Em thấy là $\operatorname{Im} (U+V) \subset (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)$

Như vậy để chứng minh 2 không gian này bằng nhau thì chỉ cần chứng minh chúng có cùng chiều.

Thì em biết là

$\begin{align} \operatorname{dim}  (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)&=\operatorname{dim}  \operatorname{Im} U+\dim  \operatorname{Im} V-\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \\ &=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V -\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \end{align}$ 

còn $\dim \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{rank} (U+V)=\operatorname{Trace}(U+V)=\operatorname{Trace} U+\operatorname{Trace} V=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V $

Như vậy thì cần phải chứng minh $ (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V)=\{0\}$ Tức $U+V=U\oplus V$

đến đây thì em không biết phải làm thế nào. Nhưng thầy em thì viết là:

$\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V=\operatorname{rank}(U+V)$ nên tổng đó là tổng trực tiếp

 

Nhưng hình như nó không đúng vì lúc đầu em cũng nhầm $\operatorname{dim}(\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)=\operatorname{rank}(U+V)$

Vậy phải giải quyết bài này ntn ạ>.

Khảo sát sự hội tụ $\int_0^1 \frac{1}{\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x})}$

$ \frac{1}{\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x})} \sim \frac{1}{x+\sqrt{x^2+2x}}  \sim \frac{1}{2x} $ vậy nó phân kì,

Nhưng trong giải nó lại bảo là $ \frac{1}{\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x})} \sim \frac{1}{\sqrt{2x}}$ nên hội tụ @@

Em tưởng khi $t$ đến $0$ thì $\lim (1+t) \sim t$ ???

Mình đang làm một chuyên đề về các bất đẳng thức tích phân cổ điển, nhưng đang thi nên chắc hẹn đến đầu tháng sau. Về bất đẳng thức tích phân, sách tiếng Việt không có nhiều, hơn nữa nếu muốn học toán chuyên sâu hay muốn có nhiều tài liệu tham khảo thì bạn ráng xem các sách nước ngoài, AV không tốt thì có thể chăm chỉ mà học, AV là ngoại ngữ dễ học nhất, thiết nghĩ không quá khó khăn với bạn...chắc cũng là một người giỏi Toán. Thời đại của thông tin mạng, thiết nghĩ với google dịch thì sao không thể xem sách nước ngoài được ạ ?

Một số tài liệu có dính tới bdt tích phân gửi bạn.

Tài liệu đó anh viết xong chưa ạ :3

Cho $f:[0,1] \to [0,1]$ là một hàm liên tục, tinh :

$\lim_{n \to \infty}  \int_0^1 f(x^n) \ dx$

http://en.wikipedia.org/wiki/Codomain

Em đọc nhưng không hiểu lắm, 1 phần cũng do Anh văn kem, anh chị giúp em lý giải tại sao lại cứ phải là codomain mà ko phải là chỉ cần lấy tập ảnn của hàm thôi ạ @@

tính các tổng 

S= $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+...+\frac{n}{2^n}$

S= $1+2a+3a^2+...+(n+1).a^n$

làm con dưới nhá, con trên là áp dụng con dưới mà:

$a+a^2+a^3+...+a^{n+1}=a.(1+a+a^2+...+a^n)=a.\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

bây giờ ta đạo hàm 2 vế, tức:

$(a+a^2+a^3+...+a^{n+1})'=(\frac{a^{n+2}-a}{a-1})'$

hay 

$1+2a+3a^2+...(n+1)a^n= \frac{(a-1)((n+2)a^{n+1}-1)-(a^{n+2}-a)}{(a-1)^2}=\frac{(n+1)a^{n+2}-(n+2)a^{n+1}+1}{(a-1)^2}$

Bây giờ chỉ cần nhân thêm a vào 2 vế, và thay $a=\frac{1}{2}$ là ra cái ở trên.

Em đọc xong cái định về tích phân xác định trên $[a,b]$ là chia $[a,b]$ thành nhiều đoạn nhỏ để khi đường kính các đoạn tiến đến $0$ thì  có tổng $I$ tiến đến một giới hạn...

sau đó ở dưới có kết luận là:

Hàm $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn một trong số các tính chất sau thì khả tích:

*) liên tục

*) bị chặn, và có một số hữu hạn điểm gián đoạn

*) đơn điệu và bị chặn

anh chị giúp em giải thích tại sao ạ.

và thêm 2 cái nữa:

Nếu $f$ liên tục và tồn tại hàm ngược $f^{-1}$ thì hàm ngược đó có liên tục không?

 

 

 " giới nội " là gì ?

 

Cám ơn nhiều ạ.

Cho em xin tài liệu về chuỗi ôn thi OLP được không ạ

Cho em hỏi thêm 1 câu nữa:

Nếu cho $f(x)$ khả vi thì ta có phải là luôn có $f(x)=\int_{x_0}^{x} f^{'}(t)dt+f(x_0)$ vì thầy em bảo hàm liên tục thì khả tích, nhưng đề bài cho mỗi $f(x)$ khả vi, chưa cho  $f'(x)$ liên tục, thì có được phép viết ra công thức tích phân như trên không ạ ?

Cho em hỏi là nếu như vậy thì: giả sử tại $a$ hoặc $b$ nó hàm số đạt cực trị thì có $f'=0$ không ạ, vì em thấy cái bổ đề fermat nó phải dựa vào 2 bên để suy ra $f'=0$ ạ

Anh nghĩ là có thể hiểu thế này: Cho $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $x \in \mathbb{R}$. Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x theo một công thức... Ta nói f khả vi trên A nếu f có đạo hàm tại mọi điểm thuộc A. Trong trường hợp f xác định trên A thôi thì ta hiểu rằng có một hàm g nào đó xác định trên R và g hạn chế trên A bằng f và khi đó ta định nghĩa f khả vi trên A nếu g khả vi trên A(nếu học không gian $\mathbb{R}^n$ thì người ta cũng định nghĩa tương tự thế này). Nhưng như vậy để cho với hàm g nào thì đạo hàm của f cũng không đổi thì A phải mở(em thử chứng minh xem). Vì thế người ta chỉ hay nói tính khả vi của hàm tại một điểm thuộc phần trong của tập xác định. Còn khả vi trên khoảng thì chưa chắc đã liên tục trên đoạn. Ví dụ hàm f=1/x nếu x >0 và f=0 nếu x=0; hàm này thậm chí còn không bị chặn. Em cũng có thể nói đến tính khả vi trên đoạn bằng cách hiểu là khả vi một phía(nhưng trên $\mathbb{R}^n$ thì không đơn giản như vậy nữa vì có vô số cách tiến đến một điểm). Vì thế tốt nhất là ta định nghĩa cho tập mở cho nó lành.

có phải là với hàm $g$ nào thì đạo hàm của chúng đều như nhau trên A phải không ạ, vì em thấy f cố định thì đạo hàm phải cố định chứ ạ, A là tập mở thì em nhìn thấy anh phudinhgioihan  ghi biểu thức, sử dụng cái đó phải không ạ, vì không thể nói trước tính khả vi tại các điểm mút ạ?

Cho em hỏi là tại sao các bài toán hay nói là liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ mà không phải là khả vi trên $[a,b]$.

Và hình như là nếu khả vi thì liên tục vậy tại sao ko bỏ luôn cái câu liên tục trên $[a,b]$ ạ?