MÔN GIẢI TÍCH

Bảng A và Bảng B

MÔN ĐẠI SỐ

Bảng A và Bảng B

Mọi người cho em hỏi cách chứng minh hai ma trận đồng dạng với ạ

https://diendantoanh...trận-đồng-dạng/

Có tồn tại đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn: $P(1+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$ và $P(3+\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$ ?

Bài giống bài 2 VMO 2017

Lời giải bài 6.

https://nguyenvanlin...-ujs3NfGomTLxBc

Tìm tất cả các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(2x+1)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}.$

Thay $x$ bởi $\dfrac{x-1}{2}$ ta được: $ f(x)=\dfrac{1}{3}f(\dfrac{x-1}{2}) = \dfrac{1}{3^2}f(\dfrac{\dfrac{x-1}{2}-1}{2})= \dfrac{1}{3^2}f(\dfrac{x-1-2}{2^2})=...= \dfrac{1}{3^n}f(\dfrac{x+1-2^n}{2^n})$

Cho $n \rightarrow +\infty$ ta được $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$

Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện:

$ \int\limits_x^1 {f(t)} dt \ge\dfrac{1-x^2}{2}, \forall x \in [0,1] $

Chứng minh rằng:

$ \int\limits_0^1 {[f(x)]^2} dx \ge\int\limits_0^1 {xf(x)} dx , \forall x \in [0,1] $

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh rằng nếu $trace(A^TA)+n=2.trace(A)$ thì $A$ khả nghịch.

cảm ơn anh nhé, em hiểu rồi. kiểu như chuyển vế đưa về dạng như PTVP phải không ạ?

đúng rồi em.

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu

$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên đoạn $[a,b]$. Biết rằng $f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh tồn tại $c\in [a,b]$ sao cho $f''(c)\geq \frac{4|f(a)-f(b)|}{(b-a)^2}$

Nếu $f(x)$ là hàm hằng thì ta dễ thấy điều phải chứng minh.

Nếu $f(x)$ là hàm tuyến tính$(f(x)=\alpha x+\beta, \alpha \ne 0)$ thì mâu thuẫn với giả thiết $f'(a)=f'(b)=0$.

Áp dụng định lý Cauchy cho $f(x)$ và hàm $h(x)=\dfrac{1}{2}(x-a)^2$ trên đoạn $[a,\dfrac{1}{2}(a+b)]$ ta có:

$ \dfrac{8[f(\dfrac{a+b}{2})-f(a)]}{(b-a)^2}= \dfrac{f'(m_1)}{m_1-a}, a<m_1<\dfrac{1}{2}(a+b)$
Áp dụng định lý Cauchy cho $f(x)$ và hàm $g(x)=\dfrac{1}{2}(x-b)^2$ trên đoạn $[\dfrac{1}{2}(a+b), b]$ ta có:

$ \dfrac{8[f(b)-f(\dfrac{a+b}{2})]}{(b-a)^2}= \dfrac{f'(m_2)}{m_2-b}, \dfrac{1}{2}(a+b)<m_2<b$
Suy ra $ \dfrac{8[f(\dfrac{a+b}{2})-f(a)]}{(b-a)^2}+ \dfrac{8[f(b)-f(\dfrac{a+b}{2})]}{(b-a)^2} =\dfrac{f'(m_1)}{m_1-a}+\dfrac{f'(m_2)}{m_2-b} $

hay $ \dfrac{8[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}=\dfrac{f'(m_1)-f'(a)}{m_1-a}+\dfrac{f'(m_2)-f'(b)}{m_2-b} $

Áp dụng định lý Lagrange cho $f'(x)$ ta được:

$ \dfrac{f'(m_1)-f'(a)}{m_1-a}=f''(n_1), a<n_1<m_1 $

và

$ \dfrac{f'(m_2)-f'(b)}{m_2-b}=f''(n_2), m_2<n_2<b $

Do đó $ \dfrac{8[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}=f''(n_1)+f''(n_2) $

và

$\dfrac{8}{(a-b)^2}|f(b)-f(a)|= |f''(n_1)+f''(n_2)| \le 2.max(|f''(n_1)|, |f''(n_2)|) $

Như vậy tồn tại $c=n_1$ hoặc $c=n_2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, $A \in M_n(\mathbb{R})$, có vết khác $0$ thỏa mãn $a_{ik}a_{kj}= a_{kk}a_{ij}, \forall i, j, k$. Chứng minh rằng $A$ chéo hóa được.

Tính định thức: $D= \begin{vmatrix} a^{2} &\left ( a+1 \right )^{2} &\left ( a+2 \right )^{2} &\left ( a+3 \right )^{2} \\ b^{2} & \left ( b+1 \right )^{2} &\left ( b+2 \right )^{2} &\left ( b+3 \right )^{2} \\ c^{2}& \left ( c+1 \right )^{2} & \left ( c+2 \right )^{2} & \left ( c+3 \right )^{2}\\ d^{2} &\left ( d+1 \right )^{2} &\left ( d+2 \right )^{2} & \left ( d+3 \right )^{2} \end{vmatrix}$

$D= \begin{vmatrix} a^{2} &\left ( a+1 \right )^{2} &\left ( a+2 \right )^{2} &\left ( a+3 \right )^{2} \\ b^{2} & \left ( b+1 \right )^{2} &\left ( b+2 \right )^{2} &\left ( b+3 \right )^{2} \\ c^{2}& \left ( c+1 \right )^{2} & \left ( c+2 \right )^{2} & \left ( c+3 \right )^{2}\\ d^{2} &\left ( d+1 \right )^{2} &\left ( d+2 \right )^{2} & \left ( d+3 \right )^{2} \end{vmatrix}$

$=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a).\begin{vmatrix} a+b & a+b+2 & a+b+4 & a+b+6 \\ b+c & b+c+2 & b+c+4 & b+c+6 \\ c+d & c+d+2 & c+d+4 & c+d+6 \\ a+d & a+d+2 & a+d+4 & a+d+6 \end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \begin{vmatrix} -2 & -2 & -2 & 6 \\ -2 & -2 & -2 & 6 \\ -2 & -2 & -2 & 6 \\ -2 & -2 & -2 & 6 \end{vmatrix}=0$

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, $A \in M_n(\mathbb{Z})$.

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ là một giá trị riêng của $A$ thì $det(A) \vdots k$.

2. Giả sử $m$ là một số nguyên và mỗi dòng của $A$ có tổng bằng $m$. Chứng minh rằng $det(A) \vdots m$. 

Nếu $A$ khả nghịch thì $AB$ và $A^{-1}ABA$ có cùng đa thức đặc trưng hay $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.'

Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A)=0$, tồn tại $m$ đủ lớn để $A_k=A-\frac{A}{k}$ không suy biến, với $k>m$.Theo trên thì $A_kB$ và $BA_k$ có cùng đa thức đặc trưng, hay

$| A_kB-\lambda I_n|=| BA_k-\lambda I_n |$

Cho $k \rightarrow + \infty$ thì $A_k \rightarrow A$, từ đó $|AB-\lambda I_n|=|BA-\lambda I_n|$ hay $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.

Mình là sinh viên năm nhất BKHCM, mình muốn dự thi olympic toán SV quá mà trường không có fanpage để trao đổi. 

Cho mình hỏi ôn thi thì về phần hàm số cần ôn như định lí Fermat, Rolle,Larange,... có ai có nhiều tài liệu, bài tập không ạ cho mình xin với, mình còn hoang mang về phần đó lắm. 

Các bài tập hay về ma trận, định thức cũng ít có bài giải nữa

Ai cho mình xin file với ạ

Học xong giải tích 1 đi bạn

Chọn $ e^{-(\sqrt[n]{e}-1)2002x}f(x) $ rồi áp dụng định lý Rolle thì sẽ cho kết quả ngay.

[OLP-2002]. Cho hàm f(x) khả vi trên $\left [ a,b \right ]$ và thỏa mãn: 

 

$f(a)=f(b)=0, f(x)\neq 0, \forall x\in (a,b)$

 

Chứng minh rằng tồn tại dãy ${x_{n}},x_{n}\in (a,b)$ sao cho: 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{{f(x_{n})}'}{(\sqrt[n]{e}-1)f(x_{n})}=2002$

 

Lời giải: 

 

Với mỗi $n\in \mathbb{N}$ xét hàm số $g_{n}(x)= e^{\frac{-2002x}{n}}f(x)$

 

.........

.........

 

phần sau là lời giải của bài 

 

Nhưng em không hiểu ở chỗ sao tìm được hàm g(x), tìm bằng phương pháp nào ạ, anh/chị nào giúp em với...

Từ điều phải chứng minh thì mình muốn có $ \frac{{f(x_{n})}'}{(\sqrt[n]{e}-1)f(x_{n})}=2002$

Rồi chọn được hàm số như trên, mà chọn cũng đôi lúc tùy vào kinh nghiệm và độ nhanh nhạy nữa.

Đề chọn đội tuyển thi HSGQG tỉnh Vĩnh Phúc

$\lim_{x->0^+} \frac{lnx}{1+2lnx}$

Đặt $lnx= t$ suy ra $ x=e^t$, $x -> 0^+$ nên $t -> -\infty$.

Từ đó $\lim_{x->0^+} \frac{lnx}{1+2lnx}=\lim_{t-> -\infty}\frac{t}{1+2t}=\frac{1}{2}$

(Dùng quy tắc L'Hopital)

Giải hệ phương trình:

 

$$2^{\,3\,x+ 1}\,-\,5\cdot 4^{\,x}\,3^{\,y}\,-\,2^{\,x+ 2}\,3^{\,2\,y}\,+\, 3^{\,3\,y+ 1}\,=\, 0\,\,\cdots \boxed{\,\,1\,\,}$$

 

$$x^{\,2}\,+\,y^{\,2}\,-\,2\,xy\,-\,3\,x\,+\,3\,y\,=\,0\,\,\cdots \boxed{\,\,2\,\,}$$

$(2) \iff (x-y)^2-3(x-y)=0 \iff (x-y)(x-y-3)=0 ?$

Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $rank(AB)=rank(B).$ Chứng minh rằng $ABX=ABY \iff BX=BY$ với mọi $X,Y$.

Đề thi chọn đội tuyển thi HSGQG tỉnh Quảng Nam

Cho $A \in M_n(K)$. Chứng minh rằng nếu $A$ không khả nghịch thì tồn tại $B \in M_n(K), B \ne \mathcal{O}$ sao cho $AB=BA=\mathcal{O}$

Cho AB AC là 2 tiếp tuyến của (O) E F lần lượt là trung điểm AB AC. Trên đường thẳng FE lấy điểm M bất kì Từ M kẻ tiếp tuyến MT đến (O), CMR MA=MT

Gọi $H,K$ lần lượt là giao điểm của $OA$ với $BC, EF$. Ta cần chứng minh $MA^2=MO^2-R^2$.

Ta có $MA^2=AK^2+MK^2=MO^2-(OK^2-AK^2)$

$ OK^2-AK^2=(OK-AK)(OK+AK)=OA.(OK-AK)=OA.(OK-HK)=OA.OH=R^2$

Suy ra $MA^2=MO^2-R^2=MT^2$ hay $MA=MT$