Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và có $f(0)=0, f'(x)\leqslant10,\forall x\in\mathbb R$. Tìm giá trị lớn nhất mà $f(3)$ có thể đạt được.

Phương trình có 1 nghiệm $\sqrt2$ (có thể solve bằng máy tính), thế vào $\sqrt{2x+3}$ ta được $\sqrt{2\sqrt2+3}=\sqrt{1+2\sqrt2+2}=1+\sqrt2$ nên trừ $\left(1+\sqrt2\right)\left(x^2+x\right)$ 2 vế rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

$\\\left(x^2+x\right)\sqrt{2x+3}=x^3+3x^2+x-2\\\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(\sqrt{2x+3}-1-\sqrt2\right)=x^3+\left(2-\sqrt2\right)x^2-x\sqrt2-2\\\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+x\right)\left(2x+3-3-2\sqrt2\right)}{1+\sqrt2+\sqrt{2x+3}}=\left(x-\sqrt2\right)\left(x^2+2x+\sqrt2\right)\\\Leftrightarrow x=\sqrt2\vee\frac{2x^2+2x}{1+\sqrt2+\sqrt{2x+3}}=x^2+2x+\sqrt2\\\Leftrightarrow x=\sqrt2$

Bời vì

$\\\frac{2x^2+2x}{1+\sqrt2+\sqrt{2x+3}}-x^2-2x-\sqrt2\\=\left(2x^2+2x\right)\left(\frac1{1+\sqrt2}-\frac1{1+\sqrt2+\sqrt{2x+3}}\right)+\left(3-2\sqrt2\right)x^2+\left(4-2\sqrt2\right)x+\sqrt2>0\forall x\geq-\frac32$

Bạn có thể tham khảo thêm phương pháp truy ngược biểu thức nhân liên hợp để tránh phải đánh giá phương trình phức tạp phía sau

$\cos7x+4\cos^2x+\cos x=\cos^22x+4\cos^4x$

Tìm số nghiệm của phương trình $2x^2+2x-9=\left(x^2-x-3\right)8^{x^2+3x-6}+\left(x^2+3x-6\right)8^{x^2-x-3}$

a)$S=\int_0^3\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)dx+\int_3^6\left(\frac{27}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx$

b)$\\x^2=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}\\\frac{x^2}{4}=\frac{8}{x}\Leftrightarrow x=2\sqrt[3]{4}\\S=\int_{\sqrt[3]{2}}^2 \left(x^2-\frac{2}{x}\right)dx+\int_2^{2\sqrt[3]{4}}\left(\frac{8}{x}-\frac{x^2}{4}\right)dx$

c) (Chỉ có 2 đường, không cần vẽ hình)

$\\4-\frac{9x^2}{4}=\frac{81x^4}{32}\Leftrightarrow x=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\\S=\left|\int_{-\frac{2\sqrt2}{3}}^\frac{2\sqrt2}{3}\left(\sqrt{4-\frac{9x^2}{4}}-\frac{9x^2}{4\sqrt2}\right)dx\right|=\left|S'\right|$

Đặt $x=\frac{4}{3}\sin t\Leftrightarrow dx=\frac{4}{3}\cos t\,dt$

$S'=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\sqrt{4-4\sin^2t}\cdot\frac{4}{3}\cos t\,dt-\frac{3x^3}{4\sqrt2}\left|\begin{matrix}\frac{2\sqrt2}{3}\\-\frac{2\sqrt2}{3}\end{matrix}\right.=\frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}2\cos^2t\,dt-\frac{8}{9}=\frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}(1+\cos2t)dt-\frac{8}{9}=\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2}\sin2t\right)\left|\begin{matrix}\frac{\pi}{4}\\-\frac{\pi}{4}\end{matrix}\right.-\frac{8}{9}=\frac{4}{9}+\frac{2\pi}{3}=S$

1)$S=\int_0^1\left(\sqrt{4x}-2x^2\right)dx=\left(\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^3\right)\left|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right.$

2)$S=\int_0^1(2^x-1)dx+\int_1^2(3-x-1)dx=\left[\frac{2^x}{\ln(2)}-x\right]\left|\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right.+\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\left|\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right.$

3)$\\(d):y=kx+4\\(d)\cap Ox=\left(0,\frac{-4}{k}\right)\\S_1=S_2\\\Leftrightarrow S_1=\frac{1}{2}(S_1+S_2)\\\Leftrightarrow\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{-4}{k}=\frac{1}{2}\int_0^2(x-2)^2dx\\\Leftrightarrow\frac{-8}{k}=\frac{4}{3}\\\Leftrightarrow k=-6$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x^2\sqrt{x^2+1}$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=1$ bằng $\frac{a\sqrt{b}-\ln\left(1+\sqrt{b}\right)}{c} (a,b,c\in\mathbb{N})$. Khi đó giá trị của $a+b+c$ là

$S=2\left[\int_0^1(4x^2-x^2)dx+\int_1^2(4-x^2)dx\right]$

Tính tích phân $I=\int_1^2\frac{x-\sqrt{x^2-2x+2}}{x+\sqrt{x^2-2x+2}}\,dx$

Mình đang thiên về cách đặt $x-1=\tan t$

Khi đó $I=\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\sin t+\cos t-1}{\sin t+\cos t+1}\cdot\frac{dt}{\cos^2t}$, bị vướng chỗ $\frac1{\cos^2t}$

Tính $I=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x\ dx$
$\cos2x=2\cos^2x-1\Leftrightarrow \cos x=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos2x+1\right)}$

$\sin2x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow\sin x=\frac{\sin2x}{2\cos x}=\frac{\sin2x}{\sqrt{2\cos2x+2}}$

$\cos2x=\sqrt{1-\sin^22x}$

$I=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x\ dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin2x\left(\cos2x\ dx\right)}{\cos2x\sqrt{2\cos2x+2}}$

Đặt $t=\sin2x$, $dt=2\cos2x\ dx$

$I=\frac{1}{2}\int_0^0\frac{t\ dt}{\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{2\sqrt{1-t^2}+2}}$

Đặt $u=\sqrt{1-t^2},u^2=1-t^2,2u\ du=-2t\ dt\Leftrightarrow t\ dt=-u\ du$

$I=-\frac{1}{2}\int_1^1\frac{u\ du}{u\sqrt{2u+2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_1^1\frac{du}{\sqrt{u+1}}=\left.-\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{u+1}\right|_1^1=0$

Bài làm trên sai ở đâu?

1/ Giải bất phương trình $x(3\log_2x-2)>9log_2x-2$

2/ Giải phương trình $log_7x=log_3(2+\sqrt{x})$

Bài 1:

a) Điều kiện...

Đặt $t=\sqrt{x+4}$

Pt$\Leftrightarrow x^2-t^2+x-t=0$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t+1)=0$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{x+4}$ hay $\sqrt{x+4}=-x-1$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=x+4 \\ x\geq 0 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} x^2+2x+1=x+4 \\ x\leq -1 \end{matrix}\right.$

Mình đã thử dùng nhân liên hợp

Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}}=1 \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$

Cho $P(x)\in Z[x]$ có bậc $> 1$, $a,b\in \mathbb{N} $ thoả $(a,b)=1$. Chứng minh $P(a+b)\vdots ab \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}P(a)\vdots b\\P(b)\vdots a\end{matrix}\right.$

Tìm $P(x)$ thoả $P(x).P(y)=P^{2}(\frac{x+y}{2} )-P^{2}(\frac{x-y}{2} )$

Đặt $a=10x+y$, $b=10z+t (a,b>0)$

Ta có $\sqrt{100a+b}=a+\sqrt{b}$

$\Rightarrow 100a+b=a^{2}+b+2a\sqrt{b}$

$\Rightarrow a(a+2\sqrt{b}-100)=0$

$\Rightarrow a+2\sqrt{b}=100$

Mà $a, 100\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow$b là số chính phương

$\begin{matrix}b│16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81\\ a│92 & 90 & 88 & 86 & 84 & 82\end{matrix}$

Vậy $\overline{xyzt}\in \left \{ 9216; 9025; 8836; 8649; 8464; 8281 \right \}$

ĐK: $xyz\neq 0$

$\Leftrightarrow yz+2xz-4xy=xyz$

$\Leftrightarrow z(y+2x-xy)=4xy$

$\Leftrightarrow z=\frac{4xy}{y+2x-xy} $

Mà $z\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow 4xy=ky+2kx-kxy (k\in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow 4=\frac{k}{x} +\frac{2k}{y} -k$

$\Rightarrow k(\frac{1}{x} +\frac{2}{y} -1)=4 $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k=4\\\frac{1}{x} +\frac{2}{y}-1=1\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}k=2\\\frac{1}{x} +\frac{2}{y}-1=2\end{matrix}\right.$

Tương tự với y,z và z,x ta tìm được x,y,z

Ta có $x^{2}+y^{2}=4$

Mà $x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy$

$\Rightarrow xy\leqslant 2$

$A=(xy+1)^{2}(\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}})$

$ =(xy+1)^{2}\times \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}$

$ =\frac{4x^{2}y^{2}+8xy+4}{x^{2}y^{2}}$

$ =4+\frac{8}{xy} +\frac{4}{x^{2}y^{2}}$

$ \geqslant 4+4+1=9$

Dấu "=" xảy ra khi $xy=2$

$\Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=0$

$\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2} $

Vậy min $A=9$ khi $x=y=\sqrt{2} $

Tìm P(x) thoả $P^{2}(x+1)=P(x^{2})+2x+1$

Tìm $P(x)\epsilon R[x]$ thoả $16P(x^{2})=P^{2}(2x)$

a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} a+c=8\\ b+d+ac=4\\ ad+bc=-48\\ bd=45 \end{matrix}\right.$

b) Tìm công thức tính nghiệm tổng quát của hệ

$\left\{\begin{matrix} a+c=x\\ b+d+ac=y\\ ad+bc=z\\ bd=t \end{matrix}\right.$