Như này á$\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 &-1 \\ 1&1 &... &-1 &1 \\ ...&... &... &... &... \\ 1&-1 &... &1 &1 \\ -1&1 &... &1 &1 \end{vmatrix}$

Thầy Nguyen Trung Tuan 
Ngày 1 : 

Ngày 2 : 

Bài 1(Ngày 1)

$pt\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x-2}+1)(x-3-\sqrt{x-2})}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2(\sqrt{x-2}+1)(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}\Leftrightarrow \frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x}+x-5}= \frac{(\sqrt{x-2}-1)^2}{x-1}$

Ta có $VT=\frac{2-\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x}+x-5}= \frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}-2}{5-x-\sqrt{4-x}}\leq 0$

$VP\geq 0$

$VT=VP\Leftrightarrow x=3$

Không biết làm đúng không nữa 

BỒ ĐÀO NHA đâu!!! liên kết mạnh nào.

đây, đây

Cho các số không âm a,b,c thỏa ab+bc+ca=1. CMR: 

$K=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

tham khảo tại đây http://diendantoanho...c1cageq-frac52/

từ kết quả cuối cùng nếu giả sử ngược lại thì thấy sai

Cho a,b,c là ba cạnh 1 tam giác. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ ta có

$\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}-\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(b-c)(a-b)(a-c)}{abc}\geq 0$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=2x$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$

$\frac{x+z}{x+2y+1}= \frac{x+z}{x+2y+\frac{x^2+y^2+z^2}{2x}}= \frac{2x(x+z)}{3x^2+4xy+y^2+z^2}=\frac{2x(x+z)}{(x+y)^2+2x(x+y)+z^2}\leq \frac{2x(x+z)}{2(x+y)(x+z)}=\frac{x}{x+y}$

$$\frac{z}{y+1}=\frac{z}{y+\frac{x^2+y^2+z^2}{2x}}=\frac{2xz}{x^2+y^2+z^2+2xy}= \frac{2xz}{(x+y)^2+z^2}\leq \frac{x}{x+y}$

Đặt $t=\frac{x}{x+y}$, ta có $P\leq 2t-4t^2=\frac{1}{4}-(2t-\frac{1}{2})^2$

Cho các số thực dương x,y,z

Min P= $\frac{9}{7x+y+4\sqrt{xy}+18\sqrt[3]{xyz}}$ + $\frac{(x+y+z)^2}{2}$ +2 

$7x+y+4\sqrt{xy}+18\sqrt[3]{xyz}= 7x+y+2\sqrt{x.4y}+3\sqrt[3]{x.4y.9z}\leq 9(x+y+z)\Rightarrow P\geq \frac{1}{x+y+z}+\frac{(x+y+z)^2}{2}+2=\frac{1}{2(x+y+z)}+\frac{1}{2(x+y+z)}+\frac{(x+y+z)^2}{2}+2\geq \frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$

Câu 4 Câu đại học Vinh bị nhầm đề rồi, phải là $\frac{2x}{2+x^2}+\frac{2y}{2+y^2}+\frac{z^2}{2+z^2}$

Ta có $\frac{2x}{2+x^2}+\frac{2y}{2+y^2}= \frac{2}{x+y}.\frac{2+xy}{z^2+2}= \frac{2(2+xy)}{\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)}}\leq \frac{2}{\sqrt{z^2+2}}$

Vậy

$VT\leq \frac{2}{\sqrt{z^2+2}}+\frac{z^2}{2+z^2}$

Đặt $t=\sqrt{z^2+2}$, ta sẽ xét hàm $f\left ( t \right )=\frac{2}{t}+\frac{t^2-2}{t^2}\leq f\left ( 2 \right )= \frac{3}{2}$

cho a,b,c đôi một phân biệt. CMR:

$\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 2$

Có một chuỗi bất đẳng thức liên quan đến nó. Bạn có thể tham khảo thêm tại https://supermathtv....g-thuc-da-biet/

Nguồn:Facebook anh Cẩn 

Ams.jpg

P/s:Ai có lòng hảo tâm thì gõ lại giúp với ạ 

Câu bất 

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=11\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=8$

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=a, \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=b$, ta có $a+b=8$

P=$a^3+b^3-6ab+9\geq \frac{(a+b)^3}{4}-\frac{3(a+b)^2}{2}+9=41$

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $0<a\leq b \leq c$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc-\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{6}$

$a(a-b)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow a^2b\geq ab^2-abc+a^2c\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq b(a^2+c^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}b\sqrt{2}\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{a^2+c^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(2a^2+2b^2+2c^2)^3}{27}}= 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{27}}$

Đặt $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}= t\Rightarrow VT\leq 2t^3-\frac{3}{2}t^4$

Đến đây sử dụng đạo hàm được Max P=$\frac{1}{2}$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Theo nguyên lí 'Đi-dép-lê',  , ta có $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1=2-c$

$VT\geq a^2+b^2+c^2+2-c\geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2+2-c=\frac{(3-c)^2}{2}+c^2+(2-c)c= \frac{c^2-2c+9}{2}\geq 4$

Đề bài: Cho $0\leq a \leq b \leq 1 \leq c$ và $2b^2+c^2+4(2a+b+c)=18.$ Tìm Max của:

$$P=ab^2+bc^2+ca^2-\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}$$

Theo AM-GM ta có $24=(2b^2+2)+(c^2+4)+4(2a+b+c)\geq 8(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Ta lại có $ab^2+bc^2+ca^2\leq ab^2+bc^2+ca^2+a^2b\leq abc+bc^2+abc+a^2b=b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b(a+c)(a+c)\leq \frac{1}{2}.\frac{(2a+2b+2c)^3}{27}\leq 4$

  Theo AM-GM, ta có $2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})\leq 2a-5b+6(\frac{b+1}{2}+\frac{2+2b+c}{3})=2(a+b+c)+7\leq 13$

Vậy $VT\leq 4-1=3$

giải thích giúp dùng bất đẳng thức gì để có dấu suy ra thứ hai ạ?

Ý bạn là cái này hả $(a^2b+b^2c+ac^2)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$ áp dụng cauchy schwarz

 

 

 

Cách không dùng Honder bài 72:

Ta có:

$\bullet \frac{8}{3}\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt{y}\leq \frac{8}{3}.2+\frac{3}{2}.3=\frac{59}{6}(1)$

$\bullet \frac{\sqrt{x}}{3}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\sqrt{z}\leq \sqrt{(\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+1)(x+y+z)}=\frac{49}{6}(2)$

Cộng vế với vế của $(1),(2)\Rightarrow 3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 18$

Do đó:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{3\sqrt{x}})+\frac{2}{3\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\geq \frac{9}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2}{3.2}+\frac{1}{2.3}\geq \frac{9}{18}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1(dpcm)$

 

Bài 73: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm $GTNN$ của:

$$P=\sum \frac{a^2}{b+2c}$$

 

$\sum \frac{a^2}{b+2c}= \sum \frac{a^4}{a^2b+2ca^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+ac^2+2(a^2c+ab^2+bc^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3\sqrt{(a^2+b^2+c^2)((a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}=1$

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:  $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

 

Bài 61

$\sum a\sum \frac{1}{b}=10\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=7$

Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$, $y=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

$x+y=7,\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=x^2-2y,\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}= y^2-2x$

$VT=x^2+y^2-2(x+y)+3\geq \frac{(x+y)^2}{2}-2(x+y)+3= \frac{27}{2}$

Sao em không vào được trang thầy ạ!

P/s: Thời gian này trang của thầy rất khó vào!

Mình vẫn vào được mà bạn

1. Cho $a,b,c\epsilon R;a\leq b\leq c,a^2+b^2+c^2=5$ Tìm min $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ac)$

2. Cho $a\neq b\neq c\epsilon R; a+b+c=1;ab+bc+ac>0$. Tìm min: $P=2(\sqrt{\frac{2}{(a-b)^2}+\frac{2}{(b-c)^2}}+\frac{1}{\left | c-a \right |})+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Câu 2, 

Giả sử $a>b>c$, áp dụng bđt C-S, ta có:

$2(\sqrt{\frac{2}{(a-b)^2}+\frac{2}{(b-c)^2}}+\frac{1}{|c-a|})\geq \frac{2}{|a-b|}+\frac{2}{|b-c|}+\frac{2}{|c-a|}\geq \frac{4}{\sqrt{|a-b||b-c|}}+\frac{2}{|c-a|}\geq \frac{10}{a-c}$

Ta lại có $2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ac)\geq 3(a-c)^2\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{4(a+b+c)^2-3(a-c)^2}{12}= \frac{4-3(a-c)^2}{12}\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{ab+bc+ac}}\geq \frac{5\sqrt{12}}{\sqrt{4-3(a-c)^2}}$

Đặt $a-c=t$, $0<t<1$ ta có $VT\geq \frac{10}{t}+\frac{5\sqrt{12}}{\sqrt{4-3t^2}}$

Đến đây xét hàm là ra

Câu 1 bạn có thể xem lại đề hộ mình được không. 

đề thi thử thpt quốc gia lần 1 2015 -2016 THPT Lương Văn Tụy Ninh Bình 

Ta có 

$\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}\geq \frac{x+y+z+2}{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+2}}\leq \frac{2}{x+y+z+2}$

$(x+2)(y+2)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+6)^3}{27}\Rightarrow -\frac{8}{(x+2)(y+2)(z+2)}\leq \frac{216}{(x+y+z+6)^3}$

$VT\leq \frac{2}{x+y+z+2}-\frac{216}{(x+y+z+6)^3}$

Đến đây thì xét hàm thôi

$\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a^2+ab}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$, ta có 

$VT=\sum \frac{x}{\sqrt{z(x+y)}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{2z(x+y)}}\geq \frac{3}{2}$

Ta có $\sum \frac{x}{\sqrt{2z(x+y)}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+2z}=2\sum \frac{x}{x+y+2z}=2\sum \frac{x^2}{x^2+xy+2xz}\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3xz}\geq \frac{3}{2}$

Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1) $P=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)$

 

$(x^2-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow x^2y+1\geq x^2+y\geq x^3+y^3\Leftrightarrow 1\geq x^3+y^3-x^2y$

Tương tự, rồi cộng lại ta được $3\geq 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)$

 

$P\leqslant \frac{4}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}+4}}-\frac{9}{\frac{3(a+b)}{3}\frac{a+b+4c}{2}}\leqslant \frac{4}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}+4}}-\frac{9}{\frac{16(a+b+c)^{2}}{24}}$

Đến đây ta xét hàm $f(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})$

 

 $\sqrt{(a+2c)(a+2b)}\leq a+b+c$ mà

Cho x,y,z là các số thực dương, x + y + z = 3 , a $\geq$ 1. CMR

$\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}} \geq \frac{x}{a^{x}} +\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$

Với x=1 bđt luôn đúng.

Với $x>1$, ta có 

$\sum (x-y)(\frac{1}{a^x}-\frac{1}{a^y})\leq 0\Leftrightarrow 2\sum \frac{x}{a^x}\leq \sum \frac{y+z}{a^x}\Rightarrow 3\sum \frac{x}{a^x}\leq (x+y+z)(\frac{1}{a^x}+\frac{1}{a^y}+\frac{1}{a^z})\Leftrightarrow \sum \frac{x}{a^x}\leq \sum \frac{1}{a^x}$

Cho 3 số dương là x, y, z thỏa mãn $xyz=1$ tìm giá trị lớn nhất của:

    $P=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$

Giả sử z=max{x,y,z}, ta có $z\geq 1, xy\leq 1$

$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}\Rightarrow VT\leq \frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}$.

Ta sẽ chứng minh $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\sqrt{2z(z+1)}+2\leq 3(1+z)\Leftrightarrow (\sqrt{1+z}-\sqrt{2z})^2\geq 0$