Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ . $P$ là một điểm bất kì nằm trên $AD$. Vẽ đường tròn $\left ( O \right )$ tâm $P$ tiếp xúc $AB,AC$. 2 tiếp tuyến từ $B,C$ đến $\left ( O \right )$ khác $AB,AC$ cắt nhau ở $S$. Một đường thẳng bất kì qua $S$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Phân giác trong của $\widehat{BMS}$ cắt $BP$ tại $K$.  Phân giác trong của $\widehat{CNS}$ cắt $CP$ tại $L$

CMR $\widehat{KAL}=\widehat{BAP}$

Cho đoạn thẳng AB và 3 điểm X,Y,Z bất kì không thuộc AB. CMR: Khi A hoặc B là trực tâm tam giác XYZ, 3 đường tròn Euler của 3 tam giác XAB, YAB, ZAB có 2 điểm chung.

Có 2 điểm K, lấy điểm K khác phía với A so với BC thì đúng!

Mình nghĩ đề là điểm K khác phía với A bờ BC

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$

CMR  $\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz}\geq 3\sqrt{2}$

tìm $a,b,c\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $b^{2}-c^{2}=2ac$ và tồn tại số nguyên m để đa thức $P\left ( X \right )=x^{4}+mx^{3}+ax^{2}+bx+c$ có 4 nghiệm nguyên dương phân biệt

Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$

CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$ và$\sum a^2=1$

Tìm min $A=\sum \frac{x^3}{(1-x^4)^2}$

Sau một tuần không có ai giải bài em xin đưa ra gợi ý sau:

Thực chất bài trên là 2 bài sau:

Bài 1: Cho tam giác $ABC$.$(O)$ qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$.$BE,CF$ cắt nhau tại $H$.$OK\bot AH\left ( K\in AH \right )$.Trung trực $BE$ cắt $KE$ tại $L$.Khi đó $AL$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ ứng với góc $A$..

Bạn có thể up lời giải bài 1 được không

Ak` uk

Mình hơi nhầm.

Muộn qua rồi nên dễ viết nhầm.

Bây giờ tỉnh rồi chắc bạn nhận ra viết sai dấu bằng rồi chứ?

Mình nghĩ đề điều kiện là $x,y,z>0$

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$A\geq \frac{1}{3}\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )(\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}})$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ có:

$\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1 }{1-x^{4}} \right )^{2}$

Do đó,

$A\geq \frac{1}{9}\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \frac{1}{1-x^{4}} \right )^{2}$

Lại áp dụng $Chebyshev$ ta có:

$(1+1+1)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Đoạn này mình tưởng là Holder

Cho biểu thức $B=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}$. 

Với a,b,c khác nhau thỏa mãn $a+b+c=2016$ thì giá trị B=?

áp dụng đẳng thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ (cái này bạn chỉ cần ghép hai cái đầu và hai cái cuối với nhau để phân tích thành nhân tử là được)

nên B=2016

$M=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{abc^{2}}{ac+abc^{2}+abc}=\frac{1}{b+c+bc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+b+bc}=1$

Bài này là đề chọn tuyển China 2003 nên không có trong sách đâu bạn

Có đó anh. Phần tỉ số kép vs góc định hướng. Cơ mà trong sách ko dẫn nguồn nên bây giờ em mới biết là China 2003 

1) pt$\Leftrightarrow 8.\tan x - 3\tan x=5\Leftrightarrow \tan x=1\Rightarrow x=45^0$

3) áp dụng bđt BCS. $3\sin x+4\cos x\leq \sqrt{(3^2+4^2)(sin^2x+cos^2x)}=5$

Dấu bằng khi$tanx=\frac{3}{4}$

3a, bđt $\Leftrightarrow x+y-\frac{2xy}{x+y}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2-2xy}{x+y}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ (đúng)

Cho a,b,c đôi 1 khác nhau

CMR $\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}\geq \frac{9}{4}$

Với a,b,c$\geq$0. CMR $2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$

Ta có bđt$\Leftrightarrow (x-y)^2+2xy\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0\Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0$ (đúng)

Dấu bằng là No dương của hệ $\left\{\begin{matrix} xy=1\\ x=y+\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Cho $1\leq a,b,c\leq 2$

Tìm Min P$=\frac{(a+b)^2}{c^2+4(ab+bc+ca)}$

Cho $a,b,x,y\in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn$a^5+b^5=2$ và $x,y\leq 4$

Tìm min P$=\frac{x^2+2y^2+24}{xy(a^2+b^2)}$

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ và $\sum a\geq 12$ . Tìm min

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ac}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$

từ gt suy ra$m + n\mid 2(m+n)+2$$\Rightarrow m+n\mid 2\Rightarrow m+n=$ 1 hoặc 2

Do $m,n\geq 1$ nên m=n=1

Với $0\leq x\leq 32$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}+\sqrt[4]{x}\sqrt{32-x}\leq 12$

Với x=16 thì VT=14

Câu 3b ngày hai

Gọi 

MQ cắt NP tại X. QT,PT cắt (T) tại Y,Z.

Dễ thấy $\angle YNC=\angle ONC=90^0\Rightarrow \overline{Y,O,N}$

Tương tự $\overline{M,O,Z}$

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm Y,M,P,Q,N,Z ta có $\overline{X,O,T}$ suy ra đpcm

$2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=2b^2c^2+2c^2a^2-(a^2+b^2)^2-c^4+4a^2b^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)=...=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)$