1.Liên thông đường

Định nghĩa 1.1 Một đường trong $X$ là một ánh xạ liên tục $f:I\rightarrow X$. Nếu $f(0)=a$ và $f(1)=b$, ta nói $f$ là một đường từ $a$ đến $b$.

Định nghĩa 2.1 Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường nếu, với mọi $a,b\in X$, tồn tại một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$.

Định lý 1.3 Nếu $X$ liên thông đường thì $X$ liên thông.

Chứng minh

Nếu $X$ không liên thông thì tồn tại $A,B\neq \varnothing$ là các tập mở trong $X$ sao cho $A\cap B = \varnothing$ và $A\cup B=X$. Lấy $a\in A$ và $b\in B$, xét $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$. Ta có

\[ f(I)=(A\cap f(I))\cup (B\cap f(I)).\]

Do đó $f(I)$ không liên thông. Điều này mâu thuẫn vì $f(I)$ phải liên thông.     $\square$

Định lý 1.4 Nếu $f:X\rightarrow Y$ liên tục và $X$ liên thông đường, thì $f(X)$ liên thông đường.

Chứng minh

Ta có, với mỗi $y_{1}$, $y_{2}$ $\in f(X)$ thì tồn tại $x_{1}$, $x_{2}$ $\in X$ sao cho $f(x_{1})=y_{1}$, $f(x_{2})=y_{2}$. Do $X$ liên thông đường nên tồn tại $h:I\rightarrow X$ liên tục sao cho $h(0)=x_{1}$, $h(1)=x_{2}$. Xét hàm $g=f \circ h$, khi đó $g:I\rightarrow Y$ liên tục và $g(0)=y_{1}$, $g(1)=y_{2}$ nên $f(X)$ liên thông đường.    $\square$

2. Thành phần đường

Định lý 2.1 Nếu $X$ là một không gian topo, thì quan hệ hai ngôi $\sim$ trên $X$ xác định bởi "$a\sim b$ nếu và chỉ nếu có một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$" là một quan hệ tương đương.

Chứng minh

• Tính phản xạ: Nếu $a\in X$, hàm hằng $f:I\rightarrow X$ với $f(x)=a$ $\forall x\in I$ là một đường từ $a$ đến $a$.
•  Tính đối xứng: Nếu $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$, thì $g:I\rightarrow X$ sao cho $g(x)=f(1-x)$ $\forall x \in I$ là một đường từ $b$ đến $a$.
•  Tính bắc cầu: Nếu $f$ là một đường từ $a$ đến $b$ và $g$ là một đường từ $b$ đến $c$ thì $h:I\rightarrow X$ xác định bởi:

      \[  h(t)= \begin{cases} f(2t) \ \text{nếu}\ 0\leq t\leq 1/2 \\ g(2t-1) \ \text{nếu}\ 1/2 \leq t\leq 1.\end{cases}\]

    khi đó $h$ liên tục nên $h$ là đường từ $a$ đến $c$.   $\square$

Định nghĩa 2.2 Các lớp tương đương trong $X$ xác định dưới quan hệ tương đương $\sim$ trong định lí trên được gọi là các thành phần đường trong $X$.

Các thành phần đường của $X$ là các tập con liên thông đường lớn nhất của nó. Hơn nữa, mọi tập con liên thông đường của $X$ là tập con của một thành phần đường duy nhất của $X$.

Định nghĩa 2.3 Ta sẽ kí hiệu tập các thành phần đường trong $X$ là $\pi_{0}(X)$. Đồng thời xác định $\pi_{0}(f):\pi_{0}(X)\rightarrow \pi_{0}(Y)$ là ánh xạ biến mỗi thành phần đường $C\subset X$ thành một thành phần đường của $Y$ chứa $f(C)$.

Định nghĩa ánh xạ $\pi_{0}(f)$ ở trên là một định nghĩa tốt do ảnh của một tập liên thông đường qua một ánh xạ liên tục cũng là một tập liên thông đường, hơn nữa chỉ có duy nhất một thành phần đường $Y$ chứa $f(C)$.

Định lý 2.4 $\pi_{0}:\textbf{Top} \rightarrow \textbf{Sets}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $f\simeq g$, thì $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.

Chứng minh

Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng $\pi_{0}$ bảo toàn phần tử đơn vị và bảo toàn phép hợp thành, từ đó kết luận được $\pi_{0}$ là một hàm tử.

Nếu $f\simeq g$ thì tồn tại $F:X\times I\rightarrow Y$ liên tục sao cho $F(x,0)=f(x)\forall x\in X$ và $F(x,1)=g(x)\forall x\in X$. Nếu $C$ là thành phần đường của $X$ thì $C\times I$ là liên thông đường, nên $F(C\times I)$ là liên thông đường. Ta có:

    \[ f(C)=F(C\times {0})\subset F(C\times I)\quad \text{và} \quad F(C\times I)\supset F(C\times {1})=g(C).\]

 Khi đó, thành phần đường $Y$ chứa $F(C\times I)$ cũng chứa $f(C)$ và $g(C)$. Vậy nên $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.    $\square$

Hệ quả 2.5 Nếu $X$ và $Y$ có cùng dạng đồng luân thì $\pi_{0}(X)$ đẳng cấu với $\pi_{0}(Y)$.

Định nghĩa 2.6  Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường địa phương nếu, $\forall x\in X$ và mọi lân cận mở $U$ chứa $x$, tồn tại một tập mở V với $x\in V\subset U$ sao cho bất kì hai điểm nào trong $V$ cũng có một đường trong $U$ đi từ điểm này đến điểm kia. 

Định lý 2.7 Một không gian $X$ là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu các thành phần đường của một taappj mở là tập mở. Nói riêng, nếu $X$ liên thông đường địa phương thì các thành phần đường của nó đều mở.

Chứng minh

Giả sử $X$ là liên thông đường địa phương và $U$ là một tập mở trong $X$. Lấy $C$ là một thành phần đường trong $U$, và với mỗi $x\in C$ tồn tại một tập mở $V$ sao cho $x\in V\subset U$ thỏa mãn với mỗi điểm trong $V$ thì đều có một đường từ điểm đó tới $x$ trong $U$. Vì thế mỗi điểm trong $V$ đều thuộc cùng một thành phần đường chứa $x$ nên $V\subset C$. Vậy, $C$ mở.

Ngược lại, cho $U$ là một tập mở trong $X$, với $x\in U$, gọi $V$ là thành phần đường của $x$ trong $U$. Theo giả thiết $V$ mở. Vậy nên $X$ là liên thông đường địa phương.      $\square$

Hệ quả 2.8  $X $ liên thông đường địa phương nếu vầ chỉ nếu, với mỗi $x\in X$ và với mỗi lân cận mở $U$ của $x$ tồn tại một tập mở liên thông đường $V$ sao cho $x\in V\subset U$.

Hệ quả 2.9 Nếu $X$ liên thông đường đại phương thì các thành phần của mỗi tập mở trùng với các thành phần đường của nó. Đặc biệt, các thành phần của $X$ trùng với các thành phần đường của $X$.

Hệ quả 2.10 Nếu $X$ liên thông và $X$ liên thông đường địa phương thì $X$ liên thông đường.

Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên quyển Topo đại số của Rotman.

Trước hết, mình sẽ trình bày về các khái niệm đồng luân, null- homotopic, contractible và topo thương.

1. Đồng luân

Định nghĩa 1.1. Xét \(X,Y\) là hai không gian topo và hai ánh xạ liên tục \(f, g: X\rightarrow Y\). Khi đó \(f\) gọi là đồng luân với \(g\) nếu như tồn tại một ánh xạ liên tục \(F: X\times I \rightarrow Y\) mà \(F(x,0) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x)\). Kí hiệu \(f\simeq g\).

Nếu như \(f\) đồng luân với \(g\) thì có thể ví như có thể dời, làm biến dạng từ \(f\) được thành \(g\), và \(f_{t}(x)=F(x,t)\) miêu tả sự "biến dạng" tại thời điểm t.

Ví dụ: Xét \(\gamma_{i}:I\rightarrow \mathbb{C}\) với \(i=0,1\) là hai hàm liên tục mà ảnh của chúng là hai đường cong trong mặt phẳng phức. Nếu ta xét \(F(x,t)=t\gamma_{1}(x)+(1-t)\gamma_{0}(x)\) thì dễ thấy \(\gamma_{0}\simeq \gamma_{1}.\)

Bổ đề 1.2. Giả sử không gian X là hợp hữu hạn các tập đóng \(X_i\) và \(f_i\) là các ánh xạ liên tục từ \(X_i\) vào \(Y\) thỏa mãn \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) thì tồn tại duy nhất \(f: X \rightarrow Y\) liên tục mà \(f|X_i = f_i\).

Chứng minh

Hiển nhiên từ X là hợp của các tập \(X_i\) và \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) ta thấy rằng ánh xạ f được xác định duy nhất.

Giả sử C là một tập đóng của Y, khi đó:

  \[ f^{-1}(C) = f^{-1}(\bigcup C \cap f(X_i)) = \bigcup f^{-1}(C \cap f(X_i)) = \bigcup f^{-1}_i(C \cap f_i(X_i)).\]

Vì \(C \cup f_i(X_i)\) đóng trong \(f_i(X_i)\) nên \(C \cup f_i(X_i)\) đóng trong \(X_i\).    $\square$

Từ đó ta có \(f^{-1}(C)\) và suy ra f liên tục.

Định lý 1.3. Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục đi từ X vào Y.

+  Tính phản xạ: Xét \(F(x,t) = f(x) \forall (x,t) \in X\times I\), rõ ràng \(F\) liên tục nên \(f\simeq f\).

+  Tính đối xứng: Nếu \(F(x,t)\) liên tục, \(F(x,0) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x)\) thì \(G(x,t) = F(x,1-t)\) liên tục, \(G(x,0) = F(x,1) = g(x)\) và \(G(x,1) = F(x,1) = f(x)\). Do đó nếu \(f\simeq g\) thì \(g\simeq f\).

+  Tính bắc cầu: Giả sử \(F:f\simeq g\) và \(G:g\simeq h\). Khi đó xác định:

\[H(x,t)=\left\{\begin{matrix} F(x,2t),\quad \forall 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ G(x, 2t -1),\quad \forall \frac{1}{2} \leq t \leq 1.\end{matrix}\right.\]

Ta có \(H(x,0) = f(x)\) và \(H(x,1) = g(x)\). Hơn nữa H liên tục là hệ quả trực tiếp từ bổ đề 1.2, do đó \(f\simeq h\).    $\square$

Định nghĩa 1.4. Nếu \(f: X\rightarrow Y\) là ánh xạ liên tục thì lớp tương đương đồng luân được định nghĩa như sau:

   \[ [f]=\{\text{ánh xạ g liên tục từ X vào Y}: f\simeq g\}.\]

Để kết luận rằng đồng luân là một congruence trên \(\textbf{Top}\) thì ta chỉ còn cần chứng minh định lý sau:

Định lý 1.5. Cho \(f_i: Y\rightarrow Z\) và \(g_i: X\rightarrow Y\) với \(i=0,1\) là các ánh xạ liên tục thỏa mãn \(f_0 \simeq f_1\) và \(g_0 \simeq g_1\). Khi đó \([f_0\circ g_0] = [f_1 \circ g_1]\).

Chứng minh

Đầu tiên ta khẳng định rằng \(f_{0}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{0}\).Giả sử \( F:f_{0}\simeq f_{1}\) Xét \(G(x,t)=F(g_0(x),t)\) và C là tập mở trong Y, từ đó ta có \(F^{-1}(C)\) mở trong \(X\times I\).

Khi đó \(X\times I\) có cơ sở là \(U\times V\) với U và V lần lượt là tập mở trong X và trong I. Hơn nữa, nếu đặt \(h(x,t)=(g_0(x),t)\) thì \(G=F\circ h\) và:

      \[ h^{-1}(U\times V)= \bigcup_{t\in V}h^{-1}(U\times \{t\}) =\bigcup_{t\in V}g^{-1}_{0}(U)\times\{t\} = g^{-1}_{0}(U)\times V \]

mở trong\(X\times I\).

Do đó G là một ánh xạ liên tục, từ đó dễ dàng suy ra \(f_{0}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{0}\). Tương tự, ta cũng có \(f_{1}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{1}\) và định lý được chứng minh.    $\square$

Hệ quả 1.6. Đồng luân là một congruence trên $\textbf{Top}$

Khi đó ta xây dựng được một phạm trù thương trên \(\textbf{Top}\) với \(Hom(X,Y)=[X,Y]\) và phép hợp hai cấu xạ \([f]\circ [g]=[f\circ g]\).

Phạm trù thương được xác định như trên được gọi là phạm trù thương đồng luân, và được kí hiệu là \(\textbf{hTop}\).

2. Null-homotopic và định lý cơ bản của đại số

Định nghĩa 2.1. Ánh xạ k được gọi là ánh xạ hằng trên $X$ nếu tồn tại \(y\in Y\) sao cho \(k(x)=y\) với mọi \(x\in X\). Một ánh xạ \(f:X\rightarrow Y\) liên tục được gọi là null-homotopic nếu tồn tại ánh xạ hằng \(k\) trên $X$ mà \(f\simeq k\).

Nói cách khác, một ánh xạ $f$ là null-homotopic nếu như nó "co được" về một điểm.

Định lý 2.2. Cho \(f:\mathbb{S}^{n}\rightarrow Y\) là ánh xạ liên tục vào không gian Y nào đó. Các điều kiện sau là tương đương:

1. f là null-homotopic
2. f có thể thác triển thành một ánh xạ liên tục \(g:\mathbb{D}^{n}\rightarrow Y\)
3. Nếu \(x_0 \in S^{n}\) và \(k:\mathbb{S}^{n}\rightarrow Y\) là ánh xạ hằng tại \(f(x_0)\) thì tồn tại một đồng luân \(F:f\simeq k\) với \(F(x_0,t) = f(x_0)\) với mọi \(t\in  I\)

Chứng minh

     \((1) \Rightarrow (2)\): Xét \(F: f\simeq k\) với k là ánh xạ hằng, \(k(x)=a\) với mọi $x$. Định nghĩa:

\[g(x)=\left\{\begin{matrix} a, \quad \forall 0\leq ||x|| \leq \frac{1}{2} \\F\big(\frac{x}{||x||},2-2||x||\big),\quad \forall \frac{1}{2}\leq ||x|| \leq 1.\end{matrix}\right.\]

 Dễ thấy rằng \(g\) liên tục nhờ bổ đề 0.2

     \((2)\Rightarrow (3)\):Xét \(F(x,t) = g((1-t)x + tx_{0})\). Ta kiểm tra lại được rằng F liên tục, \(F(x,0) =f(x)\) và \(F(x,1) = f(x_{0}\) nên \(F: f\simeq k\). Hơn nữa \(F(x_0,t)=g(x_{0})=f(x_{0})\)

  \((3)\Rightarrow (1)\): Hiển nhiên.    $\square$

Định lý 2.3. Giả sử \(\Sigma_{\rho}\subset \mathbb{C}\) là đường tròn tâm 0 bán kính \( \rho\) và kí hiệu \(f^{n}_{\rho}:\Sigma_{\rho} \rightarrow \mathbb{C}-\{0\}\) là hạn chế của \(z\mapsto z^{n}\) trên \(\Sigma_{\rho}\). Nếu không có ánh xạ \(f^{n}_{\rho}\) nào là null-homotopic thì định lý cơ bản của đại số là đúng.

Chứng minh

+) Xét đa thức \(g(x)= x^{n}+...+a_{0}\). Ta xây dựng ánh xạ đồng luân giữa \(g\) hạn chế trên \(\Sigma_{\rho}\) và \(\rho >0\) nào đó và \(f^{n}_{\rho}\) sau:

      \[  F(x,t)= x^{n}+ (1-t)(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}). \]

 Khi đó rõ ràng \(F\) liên tục, \(F(x,0)= g(x)\) và \(F(x,1) =f^{n}_{\rho}(x)\). Giờ ta chỉ cần chứng minh \(g_{t}(x) := F(x,t)\) nằm hoàn toàn trong \(\mathbb{C}-\{0\}\) là xong.

 Thật vậy, chọn \(\rho\) sao cho \(\rho > 1 + max_{1\leq i\leq n}\big|a_{i}\big|\). Giả sử tồn tại x,t mà \(F(x,t)=0\), ta có:

Điều này không thể xảy ra vì \(\rho >0\).

+) Giả sử \(g\) không có nghiệm phức, khi đó xét \(G(x,t)=g((1-t)x)\). Vì \(g\) không có nghiệm phức nên \(G\) nằm hoàn toàn trong \(\mathbb{C}-\{0\}\). Dễ thấy rằng \(G:g|\Sigma_{\rho}\simeq k\) với \(k:z\mapsto a_{0}\). Do đó ta phải có \(f^{n}_{\rho}\simeq k\), tức \(f^{n}_{\rho}\) là null - homotopic.

    Điều này mâu thuẫn với điều ta giả sử.    $\square$

3. Contractible và không gian thương

Định nghĩa 2.4. Tập con $X$ của \(\mathbb{R}^{n}\) được gọi là lồi nếu với mọi \(x,y\in X\) và \(t\in I\) thì \(tx+(1-t)y\in X\).

Định nghĩa 2.5. $X$ được gọi là contractible nếu \(1_{X}\) là null-homotopic.

Một cách không chặt chẽ, ta có thể nói rằng không gian $X$ là contractible nếu nó "co được" về một điểm.

Định lý 2.6. Nếu $X$ lồi thì $X$ cũng là contractible.

Chứng minh

     Xét \(x_{0}\in X\) và \(F(x,t)=tx + (1-t)x_{0}\), vì X lồi nên ta luôn có \(tx+(1-t)x_{0}\in X\). Khi đó dễ thấy rằng \(F:1_{X}\simeq k\) với k là ánh xạ hằng trên X và \(k(x)=x_{0}\) .    $\square$

Định nghĩa 2.7.  Xét $X$ là một không gian topo và \(Y=\{X_{i}\}\) là một phân hoạch của $X$. Lúc này, ánh xạ tự nhiên của $X$ là \(v:X\rightarrow Y\) được xác định bởi \(v(x)=X_{i}\) và topo trên $Y$ gồm họ các tập $U$ mà \(v^{-1}(U)\) mở trong $X$ được gọi là topo thương trên $Y$.

Ta quan tâm hai trường hợp đặc biệt sau đây:

  + Nếu xét $A$ là một tập con của $X$ thì phân hoạch của $X$, kí hiệu là $X/A$ gồm các tập con một phần tử của \(X-A\) và chính tập $A$. Khi đó không gian thương $X/A$ được tạo bởi "chập" các điểm của $A$ trong $X$ thành một điểm

  + Trường hợp thứ hai là xét một quan hệ tương đương \(\sim\) trên $X$ và phân hoạch $Y$ chính là họ các lớp tương đương của quan hệ \(\sim\). Khi đó ánh xạ $v$ được xác định bởi \(v:x\mapsto [x]\) Không gian thương trên $Y$ khi đó được kí hiệu bởi \(X/\sim\) .

Ví dụ:

Ta xét một ví dụ về topo thương sử dụng quan hệ tương đương, đặt \(X=I\times I\) và xác định \(\sim\) là quan hệ tương đương mà \((x,0)\sim (x,1)\). Khi đó \(X/\sim\) sẽ đồng phôi với một cái ống \(S^{1}\times I\). Hơn nữa, nếu $\sim$ thỏa mãn $(1,y)\sim (0,y)$ thì $X/\sim$ sẽ đồng phôi với một hình xuyến (torus) $S^{1}\times S^{1}$.

Một tập A được gọi là sum - free nếu không tồn ại $x;y;z$ thuộc A mà $x+y=z$. Chứng minh với mọi tập A gồm một số số nguyên dương; tồn tại B là con của A mà B là sum - free và $|B|>|A|/3$

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho f bị chặn; khả vi trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn

i)$\left | f\left ( 0 \right )-f\left ( 1 \right ) \right |>2$

ii)$f'\left ( x+y \right )\geq f\left ( x \right )f'\left ( y \right )$ mọi số thực x;y mà $y\in \left ( 0;1 \right )$\

iii) f' liên tục trên $\mathbb{R}$

Gọi $\omega(n)$ là số ước nguyên tố của $n$ .Chứng minh với mọi $c<1$ thì tồn tại $n$ sao cho :

$\sum_{k=2}^{n} \omega(k) \geq cn.log(log(n))$

[log ở đây mình ký hiệu thay cho $log_e$]

Cho điểm $O$ và $n$ hình tròn đóng đơn vị phân biệt trên mặt phẳng thỏa mãn

$i.$ Không có hình tròn nào có biên đi qua $O$

$ii.$ Hình đóng tâm $O$ bán kính $k + 1$ chứa tâm của ít nhất $k$ trong số các tâm của $n$ hình tròn trên

Chứng minh tồn tại đường thẳng qua $O$ mà nó có điểm chung với ít nhất $\frac{2}{\pi}.log(\frac{n+1}{2})$ hình tròn đã cho 

P/s: "Ăn cắp" từ một bài của Romania

 

Title: The Riemann Hypothesis

 

Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from $1859$. I will present a new simple proof using a radically new approach. It's based on work of von Neumann ($1936$), Hirzebruch ($1954$), Dirac ($1928$).

 

Cực kì phấn khích vì tin này dù chưa biết sẽ ra sao.

Ơ em tưởng cái up trên fb là meme; hóa ra thật à

Cho trước một đồ thị $G =(V;E)$ là một đồ thị đơn. Ta sẽ nêu thêm một số định nghĩa sau

 Đồ thị $G'=(V';E')$ là phần bù của G nếu nó là một đồ thị đơn sao cho $V=V'$ và nếu hai cạnh giữa $u;v \in V$ được nối trong G thì không được nối trong G' [và ngược lại]

 Gọi ánh xạ $\phi_G$ là ánh xạ nhận diện của đồ thị G đặt tương ứng cạnh của G với hai đầu mút của nó [là một cặp không sắp thứ tự]; . 

 Đồ thị $G=(V;E)$ và đồ thị $H=(V";E")$ đẳng cấu với nhau nếu tồn tại hai song ánh $\alpha:V\rightarrow V"$ và $\beta: E\rightarrow E"$ thỏa mãn nếu $ \phi_H(e) =uv$  thì $\phi_G(\beta(e)) = \alpha(u)\alpha(v)$

 Đồ thị G là tự hoàn chỉnh nếu nó và phần bù của nó đẳng cấu với nhau

a]Chứng minh đồ thị G hoàn chỉnh thì nó có số đỉnh chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

b]Chứng minh tồn tại một đỉnh có bậc $2k$ trong một đồ thị hoàn chỉnh có $4k+1$ đỉnh

Các bạn học sinh xếp hàng dọc sao cho đếm từ trái sang, hàng thứ nhất có n bạn, hàng thứ 2 có n-1 bạn,... cho đến hàng thứ n có 1 bạn. Các bạn đều quay mặt về phía hàng thứ nhất. Ví dụ với $n=5$ (mỗi dấu * đại diện cho một bạn):

*

* *

* * *

* * * *

* * * * * (hàng thứ nhất)

Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đề trong 2 mệnh đề dưới đây để phát biểu ( trừ bạn đứng đầu hàng):

 

Mệnh đề 1: "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối."

 

Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói thật."

 

Với n=2015. Hãy tìm số người nói thật nhiều nhất có thể

 

P/s: Mọi người giải thích kĩ giúp mình một chút , nói thật nói dối nó cứ loạn xì ngầu ra ấy

Xin phép đào mộ tí ; bài này anh chôm từ VMEO mà. Đề có ở đây

https://diendantoanh...-toán-xếp-hàng/

Ý là mỗi học sinh được chọn một trong hai mệnh đề trên [trừ bạn đầu hàng ra]; và các bạn đầu hàng là nói dối hoặc nói thật tùy ý. Khi đó các bạn đứng liền trước với các bạn đầu hàng kiểm tra xem mệnh đề mình chọn có đúng hay ko [Nếu đúng thì là nói thật; sai thì ngược lại]; Quá trình tiếp tục cho đến bạn cuối cùng. Khi đó đếm số bạn nói thật ra. Mục đích là các bạn ko đứng đầu hàng sẽ chọn mệnh đề và các bạn đứng đầu hàng sẽ nói dối hoặc thật sao cho ng nói thật nhiều nhất

Hãy sử dụng các kiến thức đã học qua để cmr

1+1= "Quả cam"

P/s: Nghiêm cấm tuyên truyền dưới mọi hình thức tới trẻ em dưới 6 tuổi và trẻ em đang tính bằng que tính

1+1 khác "Quả cam" chứ

Một nửa cái phao cộng với một nửa cái phao sao thành hình cầu được

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi ]

Như đã hẹn; bài toán số 3 vẫn chưa có người giải nên mình post bài mới:

Bài toán 4:

Gần đây; cảnh sát đang điều tra một vụ đánh cắp tài khoản ngân hàng. Để tìm ra tài khoản của hung thủ; ta cần biết một số thông tin: tài khoản ngân hàng gồm 14 chữ số từ 0 tới chín. Mỗi tài khoản được đánh dấu là đáng nghi nếu bị nghi ngờ là tài khoản của hung thủ; còn không đáng nghi trong trường hợp ngược lại. Sau khi điều tra; người ta thấy rằng nếu tài khoản $x_1x_2x_3...x_{14}$  đáng nghi thì trong các tài khoản $y_1y_2y_3...y_{14}$ thỏa mãn tồn tại tập $S$ sao cho $S\subset \left\{1;2;...;14\right\}$ và $|S|=13$ sao cho $x_i=y_i \forall i\in S$; có ít nhất chín tài khoản đáng nghi. Tìm số nhỏ nhất các tài khoản đáng nghi

Bài 1: Ta xếp 2017 số$a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{2017}$ lên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ ( cho dễ nhìn)

Như vậy theo đề bài thì $\exists 1$ số trên đường tròn sao tổng k số về 2 phía của số đó >0

Vì giả thiết đúng với mọi k nên cho $k=2$

=> $\exists a_{i}$ mà $a_{i}+a_{i-1}>0;a_{i}+a_{i+1}>0$

=>$a_{i}=a_{i-1}=a_{i+1}=1$

Tức là nếu với 1 số lượng số bằng $-1$ mà $\exists$ 1 dãy không có 3 số 1 đứng liền nhau sẽ vô lý

Dễ thấy nếu có $673$ số bằng $-1$

Có dãy $-1;1;1;-1;1;1;...;-1;1;1;-1$ không thỏa mãn bài

 

Nếu có $672$ số $-1$ khi đó tồn tại $3$ số $1$ đứng cạnh nhau

chọn $a_{i}=1$ khi đó $\exists a_{i}$ thỏa mãn bài

P/s: Theo mk hiểu đề bài  thì là dãy số trên đúng với mọi cách chọn với số lượng các số -1 hay tìm sao cho $\exists$ 1 dãy với số lượng các số  -1 tm bài ???

Chỉ cần tồn tại chứ không cần đúng với mọi cách chọn các số 1 và -1. Tức là nói theo cách khác; khi xếp trên đường tròn; nếu có một điểm mà tổng thành phần gồm các số liên tiếp nhau bắt đầu từ điểm đó theo mọi phía là một số dương thì số lớn nhất các số -1 là bao nhiêu. Mình nghĩ bạn hiểu sai đề ở chỗ nào đó; hoặc là mình không hiểu lời giải của bạn

Em cho anh email rồi anh gửi cho.

 

Hơi tò mò chút, nhưng anh chưa rõ em định đọc gì ở trong cuốn đó. Có lẽ ngoại trừ nguyên lý Hasse - Minkowski ra thì không có gì trong đó mà cấp 3 có thể tận dụng được cả. Lý thuyết modular trong đó cũng không hề giống với mấy cái các em học ở cấp 3 đâu.  

Mail của em : [email protected] Thật ra lý do đơn giản là có người nhờ em kiếm thôi

Ý em có phải là cuốn A course in arithmetic của J.P.Serre? 

Đúng rồi anh

Có ai có quyển này ko; cho em xin

Xác định đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(f(-1))^2 + (f(1))^2 \ne 0$ và với mọi $n$ nguyên dương đủ lớn thì $f(n!) \vdots 2n+1$ 

Bài toán : Trên mặt phẳng lưới ô vuông đơn vị; ta định nghĩa hình chữ nhật A chia được trong hình chữ nhật B nghĩa là khi ta dùng các đường thẳng song song với các cạnh của ô vuông đơn vị thì chia được hình chữ nhật B thành các hình chữ nhật có cùng kích thước với A. Cho họ các hình chữ nhật $M$ thỏa mãn : nếu cho 2 hình chữ nhật A ;B thuộc họ trên thì nếu hình chữ nhật C chia được trong A và B thì tồn tại một hình chữ nhật khác có diện tích $\frac{s_{A}^n+s_{B}^n}{s_{C}}$ cũng thuộc $M$ với mọi $n\leq 2017$. Biết rằng số các kích thước khác nhau của các hình chữ nhật thuộc $M$ là hữu hạn. Tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất sao cho hình chữ nhật này chứa ít nhất $2018^{2019}$ hình chữ nhật thuộc $M$.

Chú ý: -Các hình chữ nhật ở trên đều có đường thẳng chứa cạnh trùng với các đường thẳng chứa cạnh của các ô vuông đơn vị

           -Một hình chữ nhật nào đó có kích thước $m\times n$ mà thuộc $M$ thì tất cả các hình chữ nhật có kích thước $m\times n$ cũng thuộc $M$ (kích thước $m\times n$ và $n\times m$ được coi là như nhau)

           -Hai hình chữ nhật có cùng diện tích nhưng không cùng kích thước mà một hình thuộc họ $M$ chưa chắc hình kia đã thuộc $M$

           -Kí hiệu $s_{A}$ là diện tích của hình A

P/s: Làm con siêu phẩm đầu năm học năm ngoái chế ra nhưng hnay mới up :V

Bài toán 1: Cho $2017$ số thực là $a_{1};a_{2};...;a_{2017}$ trong đó $a_{i} \in \left\{1;-1\right\}$ . Giả sử tồn tại một số $a_{i}$ thỏa mãn

$a_{i}+a_{i+1}+...+a_{i+k}>0$ và $a_{i}+a_{i-1}+...+a_{i-k}>0$ trong đó $a_{2017+l}=a_{l}$ với mọi $l$ nguyên và $k$ nguyên thỏa mãn $1\le k < 2017 $

Tìm số lớn nhất các số là $-1$ trong các số thực đã cho.

Sau khi đã bàn bạc với NHoang1608 một số mem khác của diễn đàn; mình quyết định mở lại topic này để khuấy động bầu không khí hè của diễn đàn cũng như tạo nơi để giao lưu; trao đổi về các bài toán nói chung và tổ hợp rời rạc nói riêng. 

Thôi; không dài dòng nữa; mình xin được trích các quy định trong topic trước của anh bangbang1412

Các quy định phải tuân thủ : 

 1. Chỉ đăng các bài toán về tổ hợp rời rạc

 2. Không được giải bài toán do chính mình đề xuất , không được đăng bài toán của các cuộc thi vẫn chưa kết thúc ở các tạp chí , diễn đàn , ....

 3. Ghi rõ nguồn bài toán nếu có . ( nếu tự nghĩ bạn có thể ghi tên mình ) 

 4. Không spam , lời giải rõ ràng , không vắn tắt làm khó hiểu người đọc . 

 5. Mỗi bài đăng của bạn sẽ theo form sau mỗi khi bạn giải xong bài toán thứ n

    Lời giải bài toán n : 

   Bài toán n+1 ( nguồn ) : Tiếp đó là bài mà bạn đề xuất

6. Không đăng các bài toán mở , các giả thuyết , ...

7. Nếu một bài toán trong 4 ngày không được giải chúng ta sẽ đăng bài toán khác và đánh dấu lại bài toán đó . 

8. Các bài toán đăng lên độ khó nhất định , có thể không quá khó nhưng yêu cầu tư duy và suy nghĩ .

9. Lưu ý nếu một bài toán khó các bạn có ý tưởng cũng có thể chia sẻ để mọi người cùng nhau giải .

Topic này không giới hạn độ tuổi và kiến thức [chỉ có giới hạn là toán rời rạc sơ cấp thôi ]

Bài 5: Cho một số các hộp nhỏ chứa tổng cộng 64 quả bóng [số bóng ở mỗi hộp không nhất thiết khác nhau]. Ở mỗi bước; ta chọn hai hộp $A$ có $p$ quả bóng và $B$ có $q$ quả bóng [$p\le q$] và bỏ $p$ quả bóng từ $B$ sang $A$. Chứng minh sau một số hữu hạn bước như vậy; ta có thể bỏ hết tất cả các quả bóng vào cùng 1 hộp.

Cách khác cho câu hai:
Xét dãy số $x_n$:$\left\{\begin{matrix} x_1=0\\ x_n =x_{n-1}^2 +1 \end{matrix}\right.$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $P(x_n)=x_n^2-x_n+1$
Mặt khác; lại có $x_n$ là một dãy tăng nên đa thức $P(x)-(x^2-x+1)$ có vô hạn nghiệm thực
Vậy $P(x)=x^2-x+1$ với mọi x là số thực

Mấy tên đạt giải nhất quốc gia bị tạch hết, rất bất ngờ AK các anh em

Bình thường mình thấy nhất quốc gia không hay vào quốc tế; mà tuyển quốc tế toàn nhì; nhiều năm thế rồi chứ không riêng năm nay nên ko bất ngờ mấy

ÂU MÀI GÓTTTTTTTTT !!!!!!!!!!
 
DIẾN ĐÀN TA ĐÃ VÀO TOP 1000

Năm nay bất ngờ thật, Thanh Nghệ Tĩnh không có ai, có Đồng Tháp, Hải Phòng (2 người ), mà thành viên của Ams là anh Đức cũng khá bất ngờ Xin chúc đội tuyển thành công trong kì thi IMO 2018 sắp tới.

Năm ngoái là Bà Rịa - Vũng Tàu; năm nay là Đồng Tháp; biết đâu lại làm phát điểm cao nhất giống năm ngoái